(完整版)圆的参数方程练习题有答案

1.已知曲线C的参数方程为x＝2cos θ

，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A(2，0)，



y＝3sin θB

－3，3

2是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A(2，0)的坐标代入x＝2cos θcos θ＝1，＝3sin θ，得

ysin θ＝0.

由于0≤θ<2π，

解得θ＝0，所以点A(2，0)在曲线C上，对应θ＝0.

将点B－3，3x＝2cos θ2的坐标代入，

y＝3sin θ

－3＝2cos θ，

得

32＝3sin θ，

cos θ＝－32，

即

sin θ＝1

2.

由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π

6

，

所以点B－3，352在曲线C上，对应θ＝π

6

. 2.已知曲线C的参数方程是x＝2t

，(t为参数

y＝3t2－1)．

(1)判断点M1(0，－1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系； (2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．

[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．

[解] (1)把点M，－1)的坐标代入参数方程x＝2t，0＝1(0

y＝3t2－1，得2t

2－1，∴t＝

－1＝3t0.

即点M1(0，－1)在曲线C上．

把点Mx＝2t，2(4，10)的坐标代入参数方程4＝2t



y＝3t2－1，得，方程组无解． 10＝3t2－1即点M2(4，10)不在曲线C上． (2)∵点M(2，a)在曲线C上，

∴

2＝2t，

a＝3t2－1. ∴t＝1，a＝3×12－1＝2. 即a的值为2.

3.已知曲线C的参数方程为x＝t2＋1



y＝2t，(t为参数)．

①判断点A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线C的位置关系； ②若点F(10，a)在曲线C上，求实数a的值． 解：①把点A(1，0)的坐标代入方程组，解得t＝0， 所以点A(1，0)在曲线上．

把点B(5，4)的坐标代入方程组，解得t＝2， 所以点B(5，4)也在曲线上．

把点E(3，2)的坐标代入方程组，得到

3＝t2＋1，t＝±2，＝2t，即2t＝1.

故t不存在，所以点E不在曲线上． ②令10＝t2＋1，解得t＝±3，故a＝2t＝±6.

4.(1)曲线C：x＝t

，(t为参数)与y轴的交点坐标是____________

y＝t－2．

解析：令x＝0，即t＝0得y＝－2，∴曲线C与y轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)

(2)在直角坐标系xOy中，已知曲线C：x＝t＋1

1y＝1－2t，(t为参数)与曲线C2：



x＝asin θ，(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴，则a＝________．

y＝3cos θ 解析：由y＝0知1－2t＝0，t＝113π

2，所以x＝t＋1＝2＋1＝2.令3cos θ＝0，则θ＝

2＋kπ(k∈Z)，sin θ＝±1，

所以33

2＝±a.又a>0，所以a＝2.

答案：32

5.已知某条曲线C的参数方程为x＝1＋2t

，(其中t为参数，a∈R)．点

y＝at2M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．

解析：∵点M(5，4)在曲线C上，

∴5＝1＋2tt4＝at2，解得＝2，

∴a的值为1. 

a＝1.答案：1

6.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的一个参数方程为____________．

解析：令x＋12＝cos θ，y－1

2＝sin θ得x＝－1＋2cos θy＝1＋2sin θ(θ为参数)．

答案：

x＝－1＋2cos θy＝1＋2sin θ

(θ为参数)(注本题答案不唯一)

7.已知圆的普通方程x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，则它的参数方程为____________．

解析：由x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，得(x＋1)2＋(y－3)2＝1.

令x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，所以参数方程为x＝－1＋cos θ

y＝3＋sin θ，(θ为参数)．

答案：

x＝－1＋cos θ，(θ为参数)(注答案不唯一)



y＝3＋sin θ8.圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为( )

A.x＝2＋4cos θ

y＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.x＝－2＋4cos θy＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.x＝2－4cos θ，(y＝3－4sin θθ为参数) D.x＝－2－4cos θ，(θ为参数) y＝3－4sin θ

解析：选B.∵圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为

x＝a＋rcos θy＝b＋rsin θ，(θ为参数)



∴圆(x＋2)2＋(y－3)2＝16的参数方程为

x＝－2＋4cos θy，(θ为参数)



＝3＋4sin θ9.已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是____________．

解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，∴它的

一个参数方程为x＝1＋cos θ



y＝sin θ(θ为参数)．

答案：x＝1＋cos θ



y＝sin θ(θ为参数)

10.已知圆P：x＝1＋10cos θ

y＝－3＋10sin θ

，(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是( )

A．P(1，3)，r＝10 B．P(1，3)，r＝10 C．P(1，－3)，r＝10

D．P(1，－3)，r＝10

解析：选C.由圆P的参数方程可知圆心P(1，－3)，半径r＝10.

11.圆的参数方程为x＝2＋2cos θ

，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( 

y＝2sin θ )

A．(0，2) B．(0，－2)

C．(－2，0) D．(2，0) 解析：选D.由x＝2＋2cos θ

得(x－2)2＋y2＝4，其圆心为(2，0)，半径r＝y＝2sin θ2.

12.直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cos θ



y＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )

A．相切 B．相离 C．直线过圆心

D．相交但直线不过圆心

解析：选D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝9

5

<2，故选D.

13.已知圆C：x＝－3＋2sin θ

，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则

y＝2cos θ

|AB|＝________．

解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π3ππ

2或2，当θ＝

2时，x＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x＝－3＋2sin 3π

2

＝－5，故|AB|＝|－1＋5|＝4.

答案：4

14.已知动圆x2＋y2－2xcos θ－2ysin θ＝0.求圆心的轨迹方程．

解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－2xcos θ－2ysin θ＝0得： (x－cosθ)2＋(y－sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ，

∴x＝cos θ

这就是所求的轨迹方程． 

y＝sin θ

15.P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6，0)，M是PQ中点， (1)画图并写出⊙O的参数方程；

(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，

⊙O的参数方程x＝2cos θ，



y＝2sin θ.

(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因Q(6，0)， x＝6＋2cos θ

∴M的参数方程为2

，y＝2sin θ

2，

即x＝3＋cos θ，

y＝sin θ. 16.已知点P(2，0)，点Q是圆x＝cos θ

y＝sin θ上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨

迹是什么曲线．

解：设Q(cos θ，sin θ)，PQ中点M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝2＋cos θ1

2＝

2cos θ＋1，y＝0＋sin θ1

2＝2

sin θ.

x＝1

cos ∴所求轨迹的参数方程为2

θ＋1(θ为参数)



y＝12

sin θ消去θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1

4，

它表示以(1，0)为圆心、半径为1

2

的圆．

17.设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x21－y2

1，x1y1)的轨迹方程是

____________．

解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．

则x＝x21－y2

1＝cos 2θ，x＝cos 2θ，y＝x1y1＝1

2sin 2θ.即y＝12

sin 2θ，为所求． 答案：

x＝cos 2θy＝1

2

sin 2θ18.已知P是曲线x＝2＋cos α

，(α为参数)上任意一点，则(x－1)2

y＝sin α＋(y＋1)2的最大值

为________．

解析：将x＝2＋cos α

代入(x－1)2＋(y＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋



y＝sin α2cos α＋3＝

22sinπ

α＋4＋3， ∴当sinα＋π

4＝1时有最大值为3＋22. 答案：3＋22

19.已知点P(x，y)在曲线C：x＝1＋cos θ

，(θ为参数)上，则x－2y的最大值为( 

y＝sin θ )

A．2 B．－2 C．1＋5

D．1－5

解析：选C.由题意，得x＝1＋cos θ，



y＝sin θ，

所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－521

5sin θ－5cos θ

＝1－5sin(θ－φ)其中tan φ＝12， 所以x－2y的最大值为1＋5.

20.已知曲线C的参数方程为x＝1＋cos θ

，(θ为参数)，求曲线C上的点到直线l

y＝sin θ：x

－y＋1＝0的距离的最大值．

解：点C(1＋cos θ，sin θ)到直线l的距离 d＝|1＋cos θ－sinθ＋1|

12＋12

＝

|2＋cos θ－sin θ|

2

2＋2cosθ＋π＝

4

≤2＋2

2

2＝2＋1，

即曲线C上的点到直线l的最大距离为2＋1.

21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线Cx＝acos t，1的参数方程为

y＝1＋asin t，(t

为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，



ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 所以a＝1.

22.若P(x，y)是曲线

x＝2＋cos α，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2＝sin α

的最大

y值为( )

A．36 B．6 C．26

D．25

解析：选A.依题意P(2＋cos α，sin α)，

∴(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝3

5

)

∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋π

2

＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.

23.已知点P132，2x＝cos θ，Q是圆，(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最大值是

y＝sin θ

________．

解析：由题意，设点Q(cos θ，sin θ)， 则|PQ|＝

122

cos θ－2＋sin θ－32

＝2－3sin θ－cos θ ＝

2－2sinθ＋π6 故|PQ|max＝2＋2＝2. 答案：2

24.已知曲线方程x＝1＋cos θ

，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离



y＝sin θ的最小值为________．

解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，

则|PA|＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝

9＋42sinθ＋π4

， 故|PA|min＝9－42＝22－1. 答案：22－1

25.已知圆Cx＝cos θ



y＝－1＋sin θ，与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．

解：法一：∵

x＝cos θ，消去θ，得x2＋(y＋1)2θ

＝1.

y＝－1＋sin ∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d＝|0－1＋a|

2≤1.

解得1－2≤a≤1＋2.

法二：将圆C的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a＝0，

即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sinθ＋π4. ∵－1≤sinθ＋π

4≤1，∴1－2≤a≤1＋2.

26.设P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．

①求2x＋y的取值范围；

②若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．

解：圆的参数方程为x＝cos θ

，(θ为参数)

y＝1＋sin θ．

①2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.

②若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R成立．

且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sinθ＋π

4－1的最大值是2－1，则当c≥2－1时，x＋y＋c≥0恒成立．

27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcosθ－π

4

＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcosθ－π

4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x2＋y2－4x－4y＋6＝0，

∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，3分 令x－2＝2cos α，y－2＝2sin α，

得圆的参数方程为x＝2＋2cos α

y＝2＋2sin α

，(α为参数)6分

(2)由(1)知x＋y＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sinα＋π

4，9分 又－1≤sinα＋π

4

≤1， 故x＋y的最大值为6，最小值为2.12分

28.圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．

解：如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．

圆的参数方程为x＝5cos θ，



y＝5sin θ(θ为参数)．易知点C(－1，0)，D(1，0)．

因为点P在圆上，所以可设P(5cos θ，5sin θ)． 所以|PC|＋|PD|

＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos2θ.

当cos θ＝0时，|PC|＋|PD|有最大值为226.

29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，π

2

. (1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为

x＝1＋cos t，

y＝sin t(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，

所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝π

3.

故D的直角坐标为1＋cosπ3，sin π333，即2，2

.