武汉理工控制工程第四章习题解答.

4-1 负反馈系统的开环传递函数GsFsKG，试绘制闭环系统的根轨迹。

ss1s2解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。a1，a180,60。实轴上的根轨迹是（-∞，-2]及[-1,0]。

d(s33s22s)0 ds可得，s10.422，s21.578；s10.422是分离点。 根轨迹见图4-28。

图4-28

4-2系统的开环传递函数为GsFsKG，试证明点s11j3在根轨

s1s2s4迹上，并求出相应的根轨迹增益KG和开环增益K。

解：若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图4-29所示。

图4-29

对于s11j3，由相角条件

G(s1)H(s1)0(1j31)(1j32)(1j34)

0236

满足相角条件，因此s11j3在根轨迹上。将s1代入幅值条件：

G(s1)H(s1) KG1j311j321j341

所以，KG12 ， KKG3 82

4-3 已知开环零点z，极点p，试概略画出相应的闭环根轨迹图。 （1）z2，6，p0，3； （2）p0，2，z1,24j4； （3）p11，p2,32j1； （4）p0，1，5，z4，6； 解：

图4-30（1） 图4-30（2）

图4-30（3） 图4-30（4）

4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为

GsKGss1s3.5s32js3j2

试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。 解：系统有五个开环极点：

p10,p21,p33.5,p43j2,p53j2

1.实轴上的根轨迹：,3.5, 1,0

13.5(3j2)(j32)2.1a52.渐近线： 

(2k1)3,,a5553.分离点：

111110 dd1d3.5d3j2d3j2d10.45 , d22.4 (舍去) , d3、43.25j1.90

4.与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

42Re(j)K10.579.50

53Im(j) 43.545.50可得， 0K0 ，1.02K71.90，6.52K15546.3（舍去）

5.根轨迹的起始角为：

p418075..9690135146..392..74

由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图习题4-31所示。



图4-31

4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数

Gs30sb ss10试作出以b为参量的根轨迹图。 解：作等效开环传递函数G(s)=

30b

s(s40)1.实轴上的根轨迹：40,0 2.分离点：

110 dd40解得：d20 根轨迹如图4-32所示。

图4-32

4-6 单位反馈系统的开环传递函数为

KG(s22s5) G(s)

(s2)(s0.5) 试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的KG值范围。

解：根轨迹绘制如下：

图4-33

1.实轴上的根轨迹： 2,0.5 2.分离点：

1111

d0.5d2d1j2d1j2可得： d10.41 3.与虚轴交点：

D(s)(s2)(s0.5)KG(s22s5)0

把s=j代入上方程，令

Re(D(j))(1KG)25KG10 Im(D(j))(1.52KG)00解得： 

K0.2G1.25 K0.75G

根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的KG值范围为0.2KG0.75；又 K5KG，

所以系统稳定的K值范围为1K3.75。

4-7 系统的框图如图4-26所示，试绘制以为变量的根轨迹图。

图4-26

解:系统的开环传递函数为系统闭环传递函数

G(s)1s(s1)

y(s)G(s)1 2u(s)1G(s)s(1)s1系统闭环特征方程1G(s)0，即

s2(1)s10

s2s1s0

除以(ss1)得 得等效开环传递函数

21ss2s10

G(s)ss2s1 令s2s10

s1,21j3/2，为0时原系统的闭环极点。 2得等效开环极点

1j3/2按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点：2，终点：0，-∞； s2s1ds210（2）实轴上根轨迹：（-∞，0]区段；（3）分离点：，ds， sd1，

取d1，分离角

a(2k1)90。画出根轨迹如图4-34所示。 l

图4-34

4-8实系数特征方程A(s)s5s(6a)sa0 要使其根全为实数，试确定参数a的范围。 解：作等效开环传递函数 G(s)32a(s1)a(s1) 32s5s6ss(s2)(s3)当a0时，需绘制常规根轨迹。

1.实轴上的根轨迹： 3,2，1,0

2312a312.渐近线： 

(2k1)a3123.分离点：

1111 dd2d3d1解得 d2.47

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。

当a0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：,3，2,1， 0,。

由图4-35(2)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为

0a0.4147或a0。因此所求参数a0的范围为0a0.4147

图4-35(1) 图4-36(2)

4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程

K1(s14)(s22s2)0

1. 绘制系统根轨迹图(02. 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0.5的K1值。 解：1.系统的开环传递函数

G(s)K1(s14)(s22s2)

(1)根轨迹的起点为：p1,21j，p314，终点在无穷远处（无有限零点）。 (2)分支数n3。

(3)实轴上根轨迹为(-∞，-14]区段。 (4)渐近线为nm3条。

pzjnmiaj1i1nm165.33 360(k0)(2k1)(2k1)180a180(k1)nm3300(k2) (5)根轨迹离开复极点的出射角 由公式k1800ii1ikj1mnj

k11800(904)86

k286

根轨迹如图4-37所示

图4-37

2.

arccos0.560，按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点s1，为所求之闭环极点

用幅值条件可得(s11j1.6):

K11s1p1s1p2s1p30.63.213.125.1

G(s1)H(s1)

4-10 系统的特征方程为s(sa)k(s1)0

1. 画出a2，a1，a6，a9，a10时的根轨迹。 2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时a值的范围。 解：1）a1时，特征方程为(s1)(sk)0 根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38(a)。 a1，特征方程可写为

221k(s1)0 s2(sa)开环传递函数

G(s)k(s1)s2(sa)

3支根轨迹，起于0，0，a，止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是2，交点为

aa12 a1，a0；a1，a0

在实轴上的分离会合点按下述方法计算。

d(s1)3d(s3as2)2(sas)(s1)0 dsdss(2s2(a3)s2a)0

解得 s10

s2,3(a3)(aa)(a9)4a

当a2时，实轴上根轨迹是[-1,2]，

211.5 2s2,3(23)(3)(11)

4s21.186，s31.686(不在根轨迹上，舍去)

分离点是1.186，对应的k0.524 根轨迹见图4-38(b)

a6，实轴上根轨迹是[-6,-1]

a612.5 2(63)(5)(3)

4s2,3s2，s3是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)

a9，实轴上根轨迹是[-9,-1]

a914 2s2,33

对应的k27。根轨迹见图4-38(d)

a10，实轴上根轨迹是[-10,-1]

a1014.5 2(103)(9)(1)，s22.5，s34

4s2,3对应的k231.25，k332。根轨迹见图4-38(e)

2）当分离会合点s2,3不是实数时，系统没有非零分离会合点

(a1)(a9)0

1a9

图3-38(a) 图3-38(b)

图3-38(c) 图3-38(d)

图3-38(e)

4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)Ks2(s1)，

试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点a(0a1)，对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。 解：

1.

G(s)Ks2(s1)时，

(1)根轨迹起始于-1，0，0，终止于三个零点(为无限零点)； (2)根轨迹分支数n3；

(3)实轴上的根轨迹位于（-∞，-1]区段； (4)渐近线nm3条。

pzjnmiaj1i1nm13

a(2k1)(2k1)18060,180,300nm3 k0,1,2

由图4-39（1）可见，三条根轨迹分支，有两条位于s右半平面。当K从0→∞时，三个闭环极点中有两个位于s右半平面，所以系统不稳定。

图4-39（1） 图4-39（2）

2.增加负实零点(a)时，

G(s)K(sa)s2(s1) (0a1)。

由图4-39（2）可见，根轨迹渐近线

a1a(2k1)a90，，由三条变为二32条。根轨迹向左半s平面变化，闭环极点全部处于左半s平面，K从0→∞时，控制系统是稳定的。

4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)K(s1)s(s2)(s3)

1. 绘制系统的根轨迹图（不要求求出分离点）；

2. 已知系统的一个闭环极点为-0.9，试求出其余的闭环极点；

3. 该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理由。

解：1. 绘制系统的根轨迹(Kr0)，步骤如下：

(1) 根轨迹起始于开环极点0，-2，-3；终止于开环零点-1和两个无限零点∞。 (2) 根轨迹的分支数n3条。

(3) 实轴上的根轨迹区间为[-3,-2]，[-1,0]。

(4) 根轨迹的渐近线，有nm2条，与实轴的交点a、交角a为：

pzjnmiaj1i1nm2312 2a(2k1)(2k1)18090 nm3(5) 根轨迹的分离点位于[-3,-2]区段内。绘制出系统根轨迹如图4-40所示。

图4-40

2. 已知p10，p22，p33，z1；s10.9，设其余二个闭环极点为s2,s3。 用幅值条件可以求得

Krs1p1s1p2s1p3s1z0.91.12.120.79

0.1将其代入系统特征方程1G(s)0，即

s(s2)(s3)20.79(s1)0

(s0.9)(s24.1s23.1)0

解得 s2,32.05j4.35

3.由s10.9和z1构成一对闭环偶极子，故系统可以降阶为二阶系统，其闭环传递函数为

23.1y(s)20.79(s1)2 u(s)(s0.9)(s2.05j4.35)(s2.05j4.35)s4.1s23.1

4-13 单位负反馈系统的根轨迹如图4-27所示。

1. 求系统的闭环传递函数；

2. 设计补偿器，使系统在任意k值时都稳定。

图4-27

解：1）由根轨迹图知系统有3个开环极点：0，0，-8，没有开环零点，因此开环传递函数为

G(s)ks2(s8)

单位负反馈系统的闭环传递函数为

(s)G(s)k31G(s)s8s2k

2）采用比例微分控制sa，增加一个开环负实数零点，开环传递函数

G(s)k(sa)s2(s8)

这时渐近线与实轴正方向夹角为90。只要渐近线和实轴交点是负数，系统的根轨迹就在左半s平面。由

a8a0，a0 20a8