指数函数与对数函数

【知识点归纳】

Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）arasars； （2）arars； （3）abarbr；

sr（4）anam；

mn（5）amn1nama,n奇 （6）nan|a|,n偶

2. 指数函数：

指数函数 01 图 象 表达式 yax 定义域 R 值 域 (0,) 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增 【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便

yxx-y1、若10=3,10=4,则10=

3110.010.25282、计算=______________________

1303、若

a333,b42

4，则ab的值是…………………………………( )

D、25

A、1 B、5 C、-1

4、526的平方根是______________________ 5、 已知a2，anmn16，则m的值为………………………………………………( )

36A．3 B．4 C．a D．a

1b(ab)a22abb2ba7、化简

的结果是………………………………( )

D、2bbaa

A、aab B、aba C、baa

11111(1)(12)(14)(18)(116)22222=__________________ 8、化简

4313a8ab10、已知a0.001，求：a2ab4b32323(123b)a=_________________

323212、已知xx13，求（1）xx=________________（2）xx=_________________

121215、若xxyy22，其中x1,y0，则xyxy______________

类型二：指数函数的定义域、表达式

指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数yaf(x)的定义域与f(x)的定义域相同

24a4a1312a，则实数a的取值范围是………………………………( ) 9、若6 A、a2

B、a1 2

C、a1 2

D、任意实数

1、函数y21x3的定义域是_______________值域是_______________

131x2、若集合A={

xy},B={

xs2x1},则AB____________________

1xyf(2)的定义域是________ [1,2]yf(x)3、如果函数的定义域是,那么函数

14、下列函数式中，满足f(x+1)=2f(x)的是……………………………………………( )

1x1A、2

类型三：复合函数 1形如a○

2xx

B、

14

C、2

x

D、2

xb•axc0的方程，换元法求解

f(x)2函数ya的定义域与f(x)的定义域相同 ○

f(x)yaf(x)3先确定的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定的值域 ○

涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”

（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数

391的值域 1、求函数y2g

2、当1x0时，函数y2______________

11x1x3、已知x[-3,2]，求f(x)=42的最大值是______________，最小值是______________

x2xx3g4x的最大值是______________，最小值是

（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数

12x28x11、函数y=(3) (-3x1)的值域是______________，单调递增区间是

_________________

1x22x55、已知函数y=(3)，求其单调区间_____________________及值域

____________________ 类型四：奇偶性的判定

利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分

x2xf(x)(1a)a1、函数是……………………………………………( )

A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数

2x1x2、函数y=21是……………………………………………………………( )

A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

a2xa2(xR)x213、设aR,f(x)= ，试确定a的值，使f(x)为奇函数

ax1(a1)xa15、已知函数f(x)=

(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。

类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用

xaa0a11、已知，且，解不等式

26a5x

x22x52x23x1aa2、已知f(x)=,g(x)= (a＞0且a≠1),确定x的取值范围,x1使得f(x)＞

g(x).

Ⅱ.对数与对数函数 1、对数的运算：

1、互化：abNblogaN 2、恒等：alogaNN 3、换底：

logablogcblogca

推论2 logab•logbclogac

推论1 logab1 logbannlogblogab(m0) m 推论3 am4、logaMNlogalogaMlogaN

MlogaMlogaNN

5、logaMnnlogaM

2对数函数：

对数函数 01 图 象 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 【基础过关】

ylogax (0,) R (1，0) 单调递减 单调递增 类型一：对数的基本运算

此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意

1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为lgN ○

2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为lnN ○

3零和负数没有对数，且loga10,logaa1 ○

112lg0.81lg0.0082232、(1)、 (2)、lg2lg5lg20

lg2lg9

(3)、

(4)、log

2log43log83(log35log95)(log52log252)

3log34log45log56log67log78

4、已知

logax2,logbx3,logcx6求 logabcx的值．

log5352log12log55、计算:

2116log5145081

34类型二：指数，对数的混合运算

x指数函数ya(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)的图象与性质

函数a图象定义域值 域过定点y=ax01y01yx=1axO1x1aO1y=1x1OxO1(- ,+) (0,+)(0,1)，即x =0时，y=1.(0,+)(- ,+)(1,0)，即x=1时，y=0.00;x>1时，y<0.在(0,+)内是 减函数01时，y>0.在(0,+)内是 增函数

x<0时，y>1;x<0时,00时，00时，y>1.单调性在(- ,+)内是在(- ,+)内是 减函数 增函数1、若loga2m,loga3n,则a3m2n_________ 2、若a1且0b1，则不等式alogb(x3)1的解集为________

113、已知3a5bA,且2，则A的值是________

ab4、已知3a2，那么log382log36用a表示是…………………………( ) A、a2 B、5a2 C、3a(1a)2 D、 3aa2 【能力提升】

类型三：对数函数的定义域与解析式

注意复合函数的定义域的求法，形如yfg(x)的复合函数可分解为基本初等函数

yf(u),ug(x)，分别确定这两个函数的定义域。

y1log1(2x)2函数的定义域是____________

5f(log3(x))2x22已知，则f(0)=___________

6已知f(x)log2x，那么f(8)=____________

类型四：对数函数的值域

注意复合函数的值域的求法，形如yfg(x)的复合函数可分解为基本初等函数

yf(u),ug(x)，分别确定这两个函数的定义域和值域。

ylog1(x26x17)1. 函数

2的值域是________

12. 设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为2，则

a=___________

3. 函数

f(x)axloga(x1)在[0,1]上最大值和最小值之和为a，则a的值为

_______________

类型五：对数函数的单调性、奇偶性 1、设函数ylog(a2)x在(0,)上是减函数，则a的取值范围是________

2、函数

ylgx的单调递增区间是_______

3、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( ylog1(x1)A.

2 B.

ylog2x21 ylog1C. 3xylog1(x24x3) D.3

ylog21(x3x2)4、函数

2的递增区间是_______________

ylg5、函数

21x1的图像关于………………………………………………………( A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线yx对称 6、函数

f(x)lgx21x是 （奇、偶）函数。

10x7、已知函数

x)10xf(10x10x，判断f(x)的奇偶性和单调性。

)

) 类型六：对数中的不等关系 比较同底数的两个对数值的大小 比较两个同真数的对数值的大小

1、设

alog0.70.8blog20.9clog45，则a,b,c的大小关系是_______

2alge,b(lge),clge,则a,b,c的大小关系是_______ 2、设

3、如果4、如果

log31m5，那么m的取值范围是______

loga3logb30，那么a,b的关系是…………………………………………( )

A. 0ab1 B. 1ab C. 0ba1 D. 1ba 5、已知6、若

loga(x21)loga(2x4)0，则不等式解集为_______

f(x)logax在[2,)上恒有f(x)1，则实数a的取值范围是________

类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）

1、方程

log2(x2)2x的实数解的个数是_______

2f(x)lg(a)1x2、设是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是________

3、已知集合

Axlog2x2,B(,a)，若AB则实数a的取值范围是(c,)，

其中c= . 4、若

x1满足2x+2=5,

xx2满足2x+2log2(x1)=5,

x1x2+

＝………………………( )

57 A.2 B.3 C. 2 D.4