初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题05 数与形的第一次联姻_答案

例1 12 提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个． 例2 B 提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．

∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b

－c）(c－a）＞0，③正确；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确． 例3 原点O在线段AC上．

例4 ①3，3，4 ②|x＋1| 1或－3 ③－1≤x≤2 ④997 002

例5 如图，用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给x1，x2，

x3，x4，x5台电脑．依题意得：7＋x1－x2＝11＋x2－x3＝3＋x3－x4＝14＋x4－x5＝15＋x5－x1＝10．得x2＝x1－3，x3＝x1－2，x4＝x1－9，x5＝x1－5．本题要求y＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|的最小值，依次代入，可得y＝|x1|＋|x1－3|＋|x1－2|＋|x1－9|＋|x1－5|．

由绝对值几何意义可知，当x1＝3时，y有最小值12．此时有x2＝0，x3＝1，x4＝－6，x5＝－2． 所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，

这样调动的电脑总台数最小为12台．

例6 （1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动． 当点A运动到点C左侧时，

∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14． 当点A运动到点C右侧时，

∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18． 综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．

（2）当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别

为：6t－30，10＋3t，18＋3t．

（3）∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点． ∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：6t30103t183t，，．且点M始终在点N左侧．

222①若点P在M，N左边，则PM＝

103t6t30183t6t30－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t． 2222∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝

28． 36t30103t－＝－20＋1．5t，

22②若点P在M，N之间，则PM＝PN＝

183t6t30－＝24－1．5t． 22∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2， ∴t＝

44． 36t30103t6t30183t－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋

2222③若点P在M，N右边，则PM＝

1．5t．

∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2， ∴t＝12．

但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立 ． 综上可知，t＝ A级

1．2m 2．2或8 3.

2844或时符合题意． 3351571719， 提示：AB的长为2＝，A对应的数为3－＝，点A移动的距离

4222442为

719－（－3）＝． 444．b＜－a＜a＜|b| 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 5

10．－30．06 提示：设K0点表示的有理数为x，则K1，K2，…，K100点所表示的有理数分别为

x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94． 11．（1）M点对应的数为

20100120＝40． （2）相遇时间为＝12秒，C点对应的数为100264－12×6＝28． （3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．

B级

1．－2 2．1

3．24或40． 提示：设N点对应的数为x．根据绝对值的几何意义可知|x|＝4|x－30|．对x分情况

讨论得出x＝24或x＝40．

4.b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C 9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9． ∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立； |y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．

∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3． 10．调运后各仓库的存货量都相等，应为

131×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨． 6设A库运往B库xB吨，B库运往C库xC吨，C库运往D库xD吨，D库运往E库xE吨，E库运往

F库xF吨，F库运往A库xA吨，故有:50＋xA－xB＝84＋xB－xC＝80＋xC－xD＝70＋xD－

xE＝55＋xE－xF＝45＋xF－xA＝64．

所以，xB＝xA－14，xC＝xB＋20＝xA＋6，xD＝xC＋16＝xA＋22，xE＝xD＋6＝xA＋28，xF＝xE－9＝xA＋19．

若使调运量最小，则有y＝|xA|＋|xB|＋|xC|＋|xD|＋|xE|＋|xF|

＝|xA|＋|xA－14|＋|xA＋6|＋|xA＋22|＋|xA＋28|＋|xA＋19|取最小值．

而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤xA-6时，y有最小值，此时，-33xB-20，-13xC0，3xD16，9xE22，0xF13.

当xA=-19时，xB=-33, xc=-13，xD=3, xE=9, xF=0.即A库运往B库-33吨，亦即B库运往A库33吨.B库运往C库-13吨，亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨，D库运往E库9吨，E库运往F库0吨，F库运往A库19吨，总调运量为77吨.

11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.

因为2006=4×501+2，8×501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.

另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后

一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.

综上所述，n的最小值是2005.