《直线的参数方程(第2课时)》教学设计

直线的参数方程（第二课时）(谷杨华)

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，了解直线参数方程的其它形式、灵活应用参数的几何意义，学会选择适当的参数方程，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的优越性．

（二）学习目标

1．根据实际问题选择适当的直线参数方程．

2．掌握直线标准参数方程中参数的几何意义，通过参数几何意义，树立数形结合的思想．

3．灵活利用直线参数方程解决有关几何问题，体会参数方程的优越性．

（三）学习重点

1．直线参数方程的应用．

2．直线参数方程中参数的几何意义．

（四）学习难点

1 / 30

1．对直线标准参数方程与其它形式的参数方程之间联系的理解．

2．对直线标准参数方程中参数的几何意义的灵活应用．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

读一读：阅读教材第36页至第39页，填空：

xx0tcos(t为参数)yytsin0直线l的参数方程为与曲线f(x,y)0交于M1,M2两点，对应的参数分别为

t1,t2，则：

（1）曲线的弦长

M1M2 t1t2

t1t2（2）线段M1M2的中点M对应的参数t=2

2．预习自测

（1）下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )

x＝1＋t，x＝1－t，A.(t为参数) B.(t为参数) y＝3＋ty＝5－2t 2 / 30

x＝2＋25t，5x＝1－t，

C.(t为参数) D.(t为参数)

5y＝3－2ty＝5＋5t

【知识点】直线的参数方程

【解题过程】将选项中的参数方程消去参数化为普通方程，选项A对应的普通方程为：xy20，选项B：2xy30；选项C：2x－y＋1＝0

【思路点拨】将参数方程化为普通方程验证可得

【答案】C

x34t(t为参数,)y43t（2）已知直线，下列说法错误的是( )

A．直线过点(7,1)

3B．直线的斜率为4

C．直线不过第二象限

D．是定点M0(3,4)到该直线上对应点M的距离

t【知识点】直线的参数方程

3(x3)4，验证可知A,B,C正确，而选项D只有

【解题过程】将参数方程化为普通方程得：

y4在标准参数方程下才具有上述几何意义，显然所给的参数方程不是标准参数方程

3 / 30

【思路点拨】熟记直线标准的参数方程及参数的几何意义

【答案】D

3x5t2(t为参数)x53ty21t(t为参数)y2t2（3）曲线与曲线表示的 同一曲线。（填“是”或“不

是”）

【知识点】直线的参数方程

【解题过程】将上述参数方程都化为普通方程得：

y23(x5)3，所以表示同一直线

【思路点拨】熟练掌握常规的参数方程与普通方程的互化

【答案】是．

1AM（4）已知直线l与x轴不垂直，且直线l过点M(2,0)与抛物线y4x交于A,B两点，则

221BM2

【知识点】直线参数方程、直线与抛物线的位置关系

x2tcosl:(t为参数,为倾斜角)2ytsiny【解题过程】设，代入4x得

t2sin24tcos80 ，所以

4 / 30

1AM21BM216cos21624211(t1t2)2t1t2sinsin12264t12t2t12t242sin

【思路点拨】熟练运用直线标准参数方程中参数的几何意义求解

1【答案】4

(二)课堂设计

1．知识回顾

xx0tcos(t为参数)yy0tsin（1）过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为，这种形式称

为直线参数方程的标准形式．

（2）参数t的几何意义是：直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t|.

（3）若t0，则M0M的方向向上；

若t0，则M0M的方向向下；

若t0，则M与M0重合．

2．问题探究

5 / 30

探究一 结合实例，认识直线参数方程★

●活动① 得出直线参数方程的另外形式

参数方程不仅可以用来表示曲线，同时还可以来描述事物运动变化规律，并且，由于选择的参数不同，得到的参数方程也可以有不同的形式，但它们表示的曲线却可以相同．先看下面例子：

动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9,12，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹的参数方程．

根据题意：点M的轨迹的参数方程可以直接写为：

x19t(t为参数)y112t，

消去t，得4x3y10．所以直线的参数方程也可写为：

xx0at(t为参数)yy0bt

其中x0,y0为直线上定点M0的坐标(x0,y0)，a,b为常数，t为参数，此时参数t没有明确的几何意义，

22只有当ab1且b0时,参数t才有意义．

【设计意图】结合实例，由特殊到一般，得到直线的参数方程的另外形式．

●活动② 认识差异、合理运用

6 / 30

由于上述直线的参数方程中的参数参数t没有明确的几何意义，能否将其转为标准的参数方程形式？

x＝x0＋at，

给出直线的非标准式参数方程

y＝y0＋bt

0

(t为参数)时：

（Ⅰ）当系数b0，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角

x＝x＋

函数的性质知其平方和为1，所以可以化为

y＝y＋

0

aa2＋b2b×a2＋b2t，a2＋b2ta2＋b2

×

(t为参数)，再进一步

令cos α＝

aa2＋b2

，sin α＝

ba2＋b2

，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把

x＝x0＋t′cos α，

a2＋b2t看成相应的参数t′，即得标准式的参数方程

y＝y0＋t′sin α

(t′为参数)．

x＝x0＋at，

由转化的过程可以看出，在一般参数方程

y＝y0＋bt

(t为参数)中，a2＋b2t具有标准式参数

方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘

a2＋b2即可继续使用标准形式中参数的几何意义．

7 / 30

（Ⅱ）当b0，将参数方程转化为普通方程，得到直线的斜率

cos,sin，从而得出直线标准的参数方程．

ktanb(a0)a，在进一步求出

【设计意图】得出同一曲线不同参数方程形式，体会直线参数方程的特点．

探究二 探究直线标准参数方程与曲线位置关系中的应用★▲

●活动① 巩固理解，加深认识

xx0tcos(t为参数)yytsin0直线l的参数方程为与曲线f(x,y)0交于M1,M2两点，对应的参数分别为

t1,t2，则：

（1）曲线的弦长

M1M2t1t2

x1x0t1cosx1x0t1cosyytsinyytsinM(x,y)M(x,y)0111，222，则1设1，101，

M1M2(x1x2)2(y1y2)2=

t1t2

t1t2（2）线段M1M2的中点M对应的参数t=2

设M(x,y)，对应的参数为t，则

xx1x2x0t1cosx0t2costtx012cos222

8 / 30

t1t2所以，t=2

【设计意图】通过对参数t的进一步分析，加强对参数t的理解，培养学生逻辑推理的能力．

●活动② 理论实践、综合应用

x2y21M(2,1)l164例1 经过点作直线，交椭圆于A,B两点．如果点M恰好为线段AB的中点，求直

线的方程．

【知识点】直线的参数方程的应用．

【数学思想】转化与化归的思想

x2tcos(t为参数)y1tsin【解题过程】设过点M(2,1)的直线l的参数方程为

22(3sin1)t4(cos2sin)t80 代入椭圆方程，整理得

由t的几何意义知

MAt1,MBt2，因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以

4(cos2sin)3sin21

t1t2t1t202由点M为线段AB的中点，所以，即 cos2sin0

9 / 30

于是直线l的斜率为：

ktan12

1y1(x2)2所以直线l的方程是，即x2y40.

【思路点拨】通过参数方程中参数的几何意义求解．

【答案】x2y40．

y2y2x12同类训练 已知点M(2,3)和双曲线x2-2=1,求以M为中点的双曲线的弦AB所在的直

2线l的方程．

【知识点】直线的参数方程的应用．

【数学思想】转化与化归的思想

x2tcos,【解题过程】根据条件可设直线l的参数方程为y3tsin(t为参数),

代入双曲线的方程可得

(3tsin)22(2+tcosα)2-=1.整理可得(2cos2α-sin2α)t2+(8cosα-6sinα)t-3=0.

设弦的两个端点A,B对应的参数分别为ta,tb,因为M(2,3)为弦AB中点,所以tA+tB=0,

10 / 30

8cos6sin22由二次方程根与系数的关系可得2cossin=0,即得8cosα-6sinα=0.

3x2t,544y34t5(t为参数). 易得tanα=3,即直线的斜率为3,可得参数方程为则直线的普通方程为

y34(x2)3即4x3y10.

【思路点拨】通过参数方程中参数的几何意义求解．

【答案】4x3y10．

【设计意图】巩固加深对参数方程中参数的几何意义的理解．

●活动③ 强化提升、灵活应用

x1tcos,例2 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为： y2tsin,（t为参数, 0a）,以O为

{极点, x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程6sin.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

P1,2PAPB（2）若点,设曲线C与直线l交于点A,B,求的最小值.

【知识点】圆的极坐标方程、直线参数方程的应用．

11 / 30

26sin【解题过程】（1）由得6sin

22x2y39xy6y化为直角坐标方程为,即.

2（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程,得

t22cossint70,

因为

4cossin4702故可设t1,t2是方程的两根,

t1t22cossint1t27所以.

又直线l过点P（1,2）,结合t的几何意义得：

PAPBt1t2t1t2t1t224t1t2 324sin232427,

所以原式的最小值为27. 【思路点拨】利用直线参数的几何意义及三角函数有界性，可求

PAPB 的最小值.

【答案】（1）

x2y392；（2）27．

xatcosxOy同类训练 已知直线l在直角坐标系中的参数方程为ytsin（t为参数，为倾斜角），以

坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为

cos24cos0．

12 / 30

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

1122Q(a,0)A,B|QA||QB|lC（2）点，若直线与曲线交于两点，求使为定值的a值．

【知识点】直线参数方程的应用．

2222cos4cos0,cos4cos0， 【解题过程】：（1）∵

2222xyx4x0y∴，即4x．

xatcos(t为参数，为倾斜角)2ytsiny（2）把为代入4x得：

t2sin24tcos4a0

t1t24cos4a,tt12sin2sin2

211t12t216cos28asin222222tt(tt)16a2QAQB121211

11122∴当a2时，|QA||QB|为定值4．

【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．

2y【答案】（1）4x；（2）a2

13 / 30

【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．

2.课堂总结

知识梳理

xx0tcos(t为参数)yy0tsin直线l的参数方程为与曲线f(x,y)0交于M1,M2两点，对应的参数分别为

t1,t2，则：

（1）曲线的弦长

M1M2

t1t2

t1t2（2）线段M1M2的中点M对应的参数t=2

重难点归纳

x＝x0＋at，

（1）直线的非标准式参数方程

y＝y0＋bt先化为标准的直线参数方程才能应用．

(t为参数)中的参数t不具有明确的几何意义，必须

（2）直线的参数方程应用广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦长、最值等时，可以利用直线标准参数方程中参数的几何意义，从而简化解题过程，优化解题思路．

（三）课后作业

14 / 30

基础型 自主突破

x＝1＋t，

1．已知直线l的参数方程为

y＝2－3t

(t为参数)，则直线l的斜率是( )

11A．3 B．3 C．3 D．3

【知识点】直线参数的方程．

【解题过程】将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3．

【思路点拨】根据参数方程与普通方程互化．

【答案】A

4

2．过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－的直线l的参数方程是( )．

5

x＝5＋5t，A.

y＝－4－9t

x＝5－5t，

(t为参数) B.

y＝－4＋4t

(t为参数)

x＝5＋5t，C.

y＝－4＋4t

x＝5－5t，

(t为参数) D.

y＝－4－4t 15 / 30

(t为参数)

【知识点】直线的参数方程．

【解题过程】根据题意将选项中的参数方程转化为普通方程进行验证．

【思路点拨】熟练直线的参数方程与普通方程互化．

【答案】B

1x1t,2y23t2(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段3．已知P1，P2是直线P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是( )．

tlt2t1t2t1t2t1t2A.

2 B.

2 C.

2 D.

2

【知识点】直线的参数方程．

t1t2

【解题过程】由t的几何意义可知，P1P2的中点对应的参数为2，P对应的参数为t＝0，∴它

t1t2到点P的距离为

2.

【思路点拨】正确理解参数t的几何意义．

【答案】B

16 / 30

x＝3t，

4．若直线

y＝1－4t

x＝3cos θ，

(t为参数)与圆

y＝b＋3sin θ

(θ为参数)相切，则b＝( )

A．－4或6 B．－6或4

C．－1或9 D．－9或1

【知识点】直线的参数方程与普通方程互化．

【数学思想】转化与化归思想

【解题过程】直线4x＋3y＝3，圆x2＋(y－b)2＝9，圆心(0，b)，半径r＝3，由直线与圆相切知|4×0＋3b－3|

圆心(0，b)到直线的距离d＝＝3⇒b＝6或b＝－4，故选A．

5

【思路点拨】转化为普通方程求解．

【答案】A

x＝x0＋at，

5．若直线

y＝y0＋bt

(t为参数)上两点A、B对应的参数分别为t1、t2，则|AB|＝________．

【知识点】直线的参数方程．

17 / 30

x＝x＋

【解题过程】原参数方程可化为

y＝y＋

00

aa2＋b2b(a2＋b2t)＝x0＋t′cosθ，a2＋b2t)＝y0＋t′sinθa2＋b2

(

(其中sinθ＝

ba2＋b2

，cosθ＝

aa2＋b2

，t′＝a2＋b2t，且t′为参数)，

于是|AB|＝|t′1－t′2|＝|a2＋b2t1－a2＋b2t2|＝a2＋b2|t1－t2|．

【思路点拨】正确理解标准参数方程中参数的几何意义．

【答案】a2＋b2|t1－t2|．

x＝t－1，

6.已知直线C1的参数方程

y＝2t＋1

(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线

C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝ ．

【知识点】直线的参数方程、圆与直线的位置关系．

【数学思想】转化与化归思想

【解题过程】曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，

18 / 30

x＝t＋1

将C1：

y＝2t＋1

代入C2得5t2－6t－2＝0，

62

则t1＋t2＝，t1t2＝－，

55

∴|AB|＝1＋22|t1－t2|＝5t1＋t22－4t2

95. 1t2＝5

【思路点拨】熟练掌握直线的参数方程．

【答案】

25

95．

能力型 师生共研

x＝1＋1t，2

7．直线

3

y＝－33＋2t

( )

(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为

A．(3，－3) B．(－3，3)

19 / 30

C．(3，－3) D．(4,0)

【知识点】直线的参数方程、直线与圆的位置关系．

【数学思想】转化与化归的思想

132(1t)2(33t)1622【解题过程】 ，

得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，t1＋t2

2

＝6.

x＝1＋1×6，

2

因此中点为

3

y＝－33＋2×6

x＝4，∴y＝0.

．

【思路点拨】两个集合相等，则两个集合的元素对应相等．

【答案】D．

x53t(t为参数)8．设直线的参数方程为y104t．

（1）求直线的普通方程；（2）化直线的参数方程为标准形式．

20 / 30

【知识点】直线的参数方程．

【数学思想】转化与化归的思想

10y10y【解题过程】(1)由y104t,得

t4,代入x53t,得x534化简得直线的普通方程为4x3y500.

x53(5t)5(2)把方程变形为y1045(5t)

x53u5(u为参数)令u5t,则参数方程的标准形式为y1045u.

【思路点拨】利用一般形式和标准形式互化求解．

x535u(u为参数)【答案】（1）4x3y500；（2）y1045u．

探究型 多维突破

21 / 30

,

x＝1＋t，2

9．已知直线l：

3

y＝2t

x＝cos θ，

(t为参数)，曲线C1：

y＝sin θ

(θ为参数)．

(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

13

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍．得到曲线C2，设

22点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

【知识点】直线的参数方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离．

【数学思想】转化与化归的思想

【解题过程】(1)直线l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.

y＝3x－1

联立方程组

x2＋y2＝1

，

13(,)22得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.

22 / 30

(2)曲线C2

x＝1cos θ，2为

3

y＝2sin θ

(θ为参数)，

13(cos,sin)2∴P2，P到l的距离d＝



33

cos θ－sin θ－332sin()22244＝，

2

sin()14当时，dmin＝

6

(4

2－1)．

【思路点拨】利用转化为普通方程和利用参数方程设点的方法求解．

6

【答案】（1）|AB|＝1；（2）(4

2－1)．

x2tcos{xOy10．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是ytsin（t为参数），以O为极点， x轴的

22229cos16sin144，且直线l与曲线C交于C正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

P,Q两点.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；

23 / 30

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

APAQ9，求直线l的普通方程.

【知识点】参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与普通方程的互化、直线与圆锥曲线的位置关系．

【数学思想】转化与化归的思想

x2y21A2,0【解题过程】（Ⅰ）因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C： 169，直线l恒过定点为.

97sint（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得： 2236tcos9120.

由t的几何意义知

APt1，

APt2，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，

所以

t1t2363363=922AP•AQ=tt=91297sin，因为，即97sin，

所以

sin2=33tan=（0，）2， 7，因为，所以

因此，直线l的方程为

y3x22.

【思路点拨】（1）利用三种方程的转化方法，求出普通方程，即可求曲线C的普通方程及直线l恒过的定点A的坐标；

（2）要充分利用参数的几何意义灵活解题，本题就利用了t的几何意义，

24 / 30

t表示定点A（2,0）

到直线与曲线交点的距离，从而借助韦达定理，目标

APAQ9就可以转化为所求量的方程问题.

x2y231yx2A2,01692【答案】（1）C： ，直线l恒过定点为；（2）．

自助餐

x＝1－11．以t为参数的方程

2

t3



y＝－2＋2t

A．过点(1，－2)且倾斜角为π

3

的直线

B．过点(－1,2)且倾斜角为π

3

的直线

C．过点(1，－2)且倾斜角为2π

3

的直线

D．过点(－1,2)且倾斜角为2π

3

的直线

【知识点】直线的参数方程．

表示( 25 / 30

)

x＝1－1t2

【解题过程】化参数方程

3

y＝－2＋2t

2π

－2)，斜率为－3，倾斜角为．

3

为普通方程得y＋2＝－3(x－1)，故直线过定点(1，

【思路点拨】利用直线的参数方程的定义．

【答案】C

422．过抛物线C： y2px(p0)焦点F作斜率为3的直线l与C及其准线分别相交于A,B,D三点，AD则BD的值为（ ）

111A. 2或2 B. 3或3 C. 1 D. 4或4

【知识点】直线的参数方程、直线与圆锥曲线的位置关系．

【数学思想】转化与化归的思想

【解题过程】如图所示，

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4pp4pyxD,x32，令2可得点D的 坐标为23由题意可得，直线AB的方程为

p，

p3t25{t为参数44ypt35直线l的参数方程为： ，

x22144t750pt625t0, 联立直线与抛物线的方程整理可得：

即：6t25p24t25p0，解得：

t12525p,t2p624，

AD由直线参数方程的几何意义可得： BDt21t14，

AD同理，当点A位于下方，点B位于上方时可得BD4.

1综上可得BD的值为4或4.

AD本题选择D选项.

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【思路点拨】灵活应用直线标准参数方程中参数的几何意义．

【答案】D

x＝1－2t，

3．已知直线l1：

y＝2＋kt

x＝s，

(t为参数)与直线l2：

y＝1－2s

(s为参数)垂直，则k值为 ．

【知识点】直线的参数方程、直线与直线位置关系 ．

4＋kk【解题过程】直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率

222为－2.

k∵l1与l2垂直，

∴(－)×(－2)＝－1⇒k＝－1．

2

k【思路点拨】熟练直线的参数方程与普通方程的互化．

【答案】－1．

x＝a－2t，

4．已知直线l的参数方程为

y＝－4t

x＝4cos θ，

(t为参数)，圆C的参数方程为

y＝4sin θ

(θ为

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参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

【知识点】直线、圆的参数方程、直线与圆的位置关系．

【数学思想】转化与化归的思想

【解题过程】(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

|－2a|

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5

解得－25≤a≤25.

【思路点拨】已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，可把把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

【答案】（1）直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16；

（2）－25≤a≤25.．

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5．经过抛物线y2px(p0)外的一点A(2,4)且倾斜角为4的直线与抛物线分别交于M1,M2．如果

AM1,M1M2,AM22成等比数列，求p的值．

【知识点】直线与圆锥曲线的关系、等比数列．

x＝－2＋2t，

2

【解题过程】直线l的参数方程为(t为参数)，代入y＝2px得到：

2

y＝－4＋2t

2

t2－22(4＋p)t＋8(4＋p)＝0.

由根与系数的关系得到：

t1＋t2＝22(4＋p)，t1t2＝8(4＋p)．

因为|M1M2|2＝|AM1|·|AM2|，所以(t1－t2)2＝|t1|·|t2|＝t1t2，即(t1＋t2)2＝5t1t2，所以[22(4＋p)]2

＝5×8(4＋p)，即4＋p＝5，即p＝1.

【思路点拨】根据直线的参数方程中参数的几何意义求解．

【答案】p＝1

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