考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷61 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． (Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．
正确答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜
B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
2． 设f(x)=求f’(x)．
正确答案：当｜x｜当x1时，f’(x)=1；又，则f(x)在x=-1处不连续，故也不可导．由f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0得f(x)在x=1处连续．因为所以f(x)在x=1处也不可导， 涉及知识点：高等数学部分
3．
正确答案：d(x2lnx)=ln｜x2lnx｜+ C． 涉及知识点：高等数学
4． 设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
正确答案：因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=A(Aβ)=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3．设存在常数k1，k2，k3，使k1β+k2Aβ+k3A2β=0，进而得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．由于α1,α2,α3线性无关，于是有其系数行列式故k1=k2=k3=0，所以，β，AB，A2β线性无关．
解析：本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
5． 证明：对任意的χ，y∈R且χ≠y，有
正确答案：今f(t)＝et，因为f〞(t)＝et＞0，所以函数f(t)＝et为凹函数，根
据凹函数的定义，对任意的χ，y∈R且χ≠y，有． 即 涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用
6． 设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
正确答案：由α1，α2，…，αt线性无关β，α1，α2，…，αt线性无关，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，∵β，α1，α2，…，αt线性无关∴k=k1=…=kt=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关． 涉及知识点：线性代数
7． 计算
正确答案：积分区域D为扇形 所以原式＝ 涉及知识点：二重积分
8． 设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．
正确答案：令φ(χ)＝χ2f(χ)，由积分中值定理得f(1)＝2χ2f(χ)dχ＝c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(χ)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)一0．而φ′(χ)＝2χf(χ)＋χ2f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0． 涉及知识点：一元函数积分学
9． 设α，β都是n维列向量时，证明： ①αβT的特征值为0，0，…，0，βTα． ②如果α不是零向量，则α是αβT的特征向量，特征值为βTα．
正确答案：记A＝αβT，则A2＝αβTαβT＝(βTα)A，于是A的特征值都满足等式λ2＝(βTα)λ，即只可能是0和βTα． 如果βTα＝0，则A的特征值都是0． 如果βTα≠0，则A的所有特征值之和为tr(A)＝βTα，它们一定是n－1个为0，一个为βTα． ②仍记A＝αβT，则Aα＝αβTα＝(βTα)α，因此则α是A的特征向量，特征值为βTα． 涉及知识点：特征向量与特征值、相似、对角化
10． 设α＝为A＝的逆矩阵A-1的特征向量．求χ，y，并求A-1对应的特征值μ．
正确答案：令Aα＝μ0，即，解得μ0＝4，χ＝10，y＝－9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知μ＝． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
11． 已知α=是可逆矩阵A=的伴随矩阵A*的特征向量，特征值λ．求a，
b，λ．
正确答案：由A可逆知α也是A的特征向量有Aλ=λ0α．于是可如同上题，求出a，b和λ0．而λ=｜A｜／λ0．于是3+b=λ0，2+2b=λ0b，1+a+b=λ0，第1，3两式相减a=2，从而求出｜A｜=4．由第1，2两式得2+2b=(3+b)b，即b2+b-2=0．解得b=1或-2．当b=1时，λ0=4，λ=1，当b=-2时，λ0=I，λ=4． 涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
12． 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．
正确答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，两边对x求导得f”(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，则方程f”(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．令f”(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x． 涉及知识点：高等数学部分
设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．
13． 证明：
正确答案：因为n=r(CA+DB)= 涉及知识点：线性方程组
14． 设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：考ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．
正确答案：因为只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关． 涉及知识点：线性方程组
15． 设X与Y独立，证明：对任意实数x1，x2，y1，y2(x1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容