补充习题(二)：正方形的性质与判定

一、你能填对吗

1．一个正方形的面积为8cm2，则其对角线的长为___________cm。 2．如图19－2－45，正方形ABCD的面积为cm2，M是对角线AC上的一点，且ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，则ME＋MF＝___________cm。

3．如图19－2－46，正方形ABCD的对角线长为10㎝，M是AB边上一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME＋MF＝__________㎝。

4．有边长为a的正方形，若在每个角上剪去一个边长为b的小正方形，则所得图形的周长为___________。

5．对角线__________的四边形是正方形。

6．正方形既是有___________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形。 7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 是 ．

2EC．其中正确结论的序号

ADPFBEC

二、选一选

8．如图19－2－47，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一棵树，且AB＝BC＝CD＝3m，现用长为4m的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）

A．A处

B．B处

C．C处

D．D处

9．如图19－2－48，在等腰直角三角形ABC中，ABAC32cm， M，N 分别是AC，AB上的点，P，Q两点在BC上，且四边形NPQM是正方形，则这个正方形的周长是（ ）

A．4 cm

B．6 cm

C．8 cm

D．12 cm

10．正方形ABCD中，连接两条对角线，则共可得到等腰直角三角形（ ） A．4个

B．8个

C．6个

D．10个

11．给出下列条件：①正方形具有平行四边形的一切特征；②正方形具有矩形的一切特征；③正方形具有菱形的一切特征；④正方形共有两条对称轴；⑤正

方形共有四条对称轴，其中正确的结论有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

12．如图22-61，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC．P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ）．

2 2A． B．

1 2 C．3 2 D．

2 3

三、解答题

13．如图22-65，AD是ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：

⑴四边形AEDF是菱形；

⑵当ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形

14．如图19－2－49，正方形ABCD中，F是CD延长线上的一点，CF⊥

AF于E，交AD于M，求∠MFD的度数。

四、思维拓展

15．如图19－2－52，正方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转的过程中，观察两个正方形重叠部分的面积是否保持不变，如果保持不变，求出它的值，反之，请说明理由。

16．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的四部分，道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修路方案。

17．如图19－2－53，已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点NM⊥DM，且交∠CBE的平分线于N。

（1）求证：MD＝NM；

（2）若将上述条件中的“M是AB上的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，结论“MD＝NM”还成立吗如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

五、中考热身

18．已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图19－2－所示排列，则图中阴影部分的面积为＿＿。

19．如图19－2－55，设四边形ABCD是边为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去。

（1）记正方形ABCD的边长为a11，按上述方法所作的正方形边长依次为a2,a3,a4，…，an，请求出a2,a3,a4的值：

（2）根据以上规律写出第n个正方形长an的表达式。

20.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理由

答案

1．4 2．8 3．5 4．4a 5．相等且互相垂直平分 6．一组邻边；直角 7．①②④⑤．

8．B 9．C 10．B 11．D 12．A

13．⑴证明：∵AD是ABC中∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝1∠BAC．

∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四边形AEDF是平行四边形． 又∵DE∥AC，∠FAD＝∠EDA． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝ED． ∴AEDF为菱形．

⑵ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形． 14．∠MFD＝45°。提示：先证Rt△CDM≌Rt△ADF。 15．不变，为

14 提示：如图，连接BD ∵E为正方形ABCD的中心， ∴BD过点E， ∵ABCD是正方形，

∴BE＝CE，∠EBM＝∠ECN＝45° ∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠2

2∴△BEM≌△CEN ∵△BEC≌△DEC

S四边形CNEM＝SBEC∴

11

　　　　＝S正方形ABCD＝44

16．如图所示。

17．（1）取AD的中点F，连MF

11则DF＝AD＝AB＝MB

22∵∠DMN＝90°∴∠AMD+∠BMN＝90° ∵∠A＝90°，∴∠FDM＋∠AMD＝90° ∴∠FDM＝∠BMN

∵AM＝AF∴△AMF是等腰直角三角形 ∴∠AFM＝45°∴∠DFM＝135° ∵∠ABC＝90°BN平分∠CBE

∴∠MBN＝90°+45°＝135° ∴∠DFM＝∠MBN

FDM＝BMN在DFM和MBN中， DF＝MBDFM＝MBN∴△DFM≌△MBN（ASA）∴MD＝NM。

（2）仍然成立，证明：在AD上截取AG＝AM，连MG，同（1）的方法类似，证得△DGM≌△MBN，从而有MD＝NM成立。

18．

19．（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，又∠B＝90°，∴AC＝AB2BC2＝2同理，AE＝2，EH＝22∴a22，a32,a422 （2）∵a11(2)0，a2(2)1a32(2)2，a422(2)3 ∴an(2)n1(n1,n是自然数) 20.略