第２９卷第４期 企业技术开发 ２０１０年２月 Ｖ０１．２９ ＮＯ．４ ＴＥＣＨＮＯＬ０ＧＩＣＡＬ ＤＥＶＥＬ０ＰＭＥＮＴ ＯＦ ＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥ Ｆｅｂ．２０１０ ．产 停止损失序的研究及应用 余安娜。陈英，方忠梅 （湖北大学数学与计算机科学学院，湖北武汉４３００６２） 摘要：文章将停止损失序扩展到一个广义的序，讨论该广义序的相关性质及成立的充分必要条件，最后给出它 在同单调性中的应用，建立了该序与同单调性的一些联系。 关键词：风险；序；广义；同单调性 中图分类号：０２１２．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—８９３７（２０１０）０４—０１６６—０２ 给定一个概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｐ），称一个非负的、期望有 首先证明（ａ）（ｂ）。 限的随机变量ｘ为一个风险，记其分布函数分别为Ｆｘ。 设Ｇ）（和Ｇ 分别为随机变量Ｍ（ｘ）和Ｍ（Ｙ）的分布函 在风险理论中，比较常见的风险序有随机序，停止损 数，因为Ｍ（ｘ）递增连续可导，故有Ｍ（。。）＝ｌｉｍ Ｍ（ｘ） 失序，凸序，相关序，指数序等。在很多文献中，我们已经 ｏｏ 对风险序的定义，性质，互相之间的关系有了较为详细的 ：。。，又因为Ｍ（Ｏ）＝０，所以对任意常数Ｃ≥０，均有ｔＩ＞０， 研 ｌ＿２】。 使得。Ｍ（ｔ）＝ｃ Ｔｏｍａｓｚ Ｒｏｌｓｋｉ等［ １对随机控制序，停止损失序的性质 令ｖ－－Ｍ（ｘ），则由积分换元定理可得 特征已经研究的比较深入，ｓｈａｕｎ ｗａｎｇ和Ｊｉｍ ＤｈａｅｎｅＩ １研 究了停止损失序与相关序之间的关系，Ｄｈａｅｎｅ Ｊ 给出了 』 ｍ（ｘ）［ （ｘ）一 （ｘ）］ｄｘ＝Ｊｔ ｍ（ｘ） 同单调性的相关结论。本文将停止损失序进行一个扩展， ［Ｐ（Ｙ≥Ｘ）一Ｐ（Ｘ≥ｘ）Ｊｄｘ 通过引入一个可测连续的正函数ｍ（ｘ）作用于分布函数 ＝得到一个广义的序≤ ，并讨论了该序的相关性质及成立 ｆｔ ｍ（ｘ）［Ｐ（Ｍ（Ｙ）≥Ｍ（ｘ））－Ｐ（Ｍ（Ｘ）≥Ｍ（ｘ））ｌｄｘ 条件，最后从随机向量的角度，建立了该序与同单调性的 ，∞ 一些联系。 ＝Ｊ．ｍ（ｘ）［＿ＹＭ（ｘ）一一ｘＭ（ｘ）］ｄｘ １序≤ 的给出及其成立的充要条件 ，Ｍ（∞） ＝ＪＭ（Ｉ）［ Ｙ（ｖ） ｘ（Ｖ）］ｄ Ｖ 定义ｌ对于风险ｘ和Ｙ，若 ｊｆ ＝Ｊ．【Ｇ Ｙ（ ）一Ｇ ｘ（ｖ）Ｊｄ Ｖ． ｆ ｉｎ（ｘ）Ｆ 一 ｘ（ｘ）ｄｘ≤Ｊｆ ｆ ｍ（ｘ）一 Ｆ Ｙ（ｘ）ｄｘ，（ｘ）ｄｘ，Ｖｔ≥ 当ｘ≤ 时，根据上式可知 ０ （１） ∞ 则称在广义的停止损失序下小于Ｙ，记为ｘ≤ 。其 Ｊ。ｆ （ ）～一Ｇ ｘ（ｖ）］ｄ ＝ｍ（ｘ）［＿Ｙ（ｘ）一＿ｘ（ｘ））ｄｘ 中ｉｎ（ｘ）为ｆ０，＋∞）上可测的连续正函数，且使得上述不 （３） 等式两端均有限。 由Ｃ的任意性有Ｇ ≤ 。即由ｘ≤ ｌＹ可以得出Ｍ 注意：①ｍ（ｘ）当为常数时，≤ 等价于≤ ，即停止损 （Ｘ）≤ Ｍ（Ｙ）。 失序≤ 为序≤ 的特殊情况。 同样，若（ｂ）成立，由上述积分换元知Ｍ（Ｘ）≤ Ｍ（Ｙ） ②当ｉｎ（ｘ）＝ｅ ，ｒ＞０为常数时，≤ 等价于≤ ，即指 可以推出ｘ≤ ｍＹ。 数序≤～为序≤ 的特殊情况。 其次证明（ｂ）（ｃ） 为便于下列定理的叙述，需给出一个辅助的积分Ｍ 由停止损失序的等价定理 （ｘ）。由于ｍ（ｘ）为『Ｏ，＋ ）上的连续函数，故可定义变上 Ｘ≤ Ｙ Ｅ（Ｘ—Ｃ）＋≤Ｅ（Ｙ—ｃ）＋，Ｖ Ｃ∈Ｒ， 限积分。 可知，对于随机变量Ｍ（ｘ）和Ｍ（Ｙ），当Ｍ（ｔ）＝ｃ时， ｆ Ｍ（ｘ）＝ｊ １ＴＩ（ｔ）ｄｔ （２） 也满足上述等价条件，即有 Ｍ（Ｘ）≤ Ｍ（Ｙ）ＥＩＭ（Ｘ）一Ｍ（ｔ）］＋￣ＥＩＭ（Ｘ）一Ｍ（ｔ）】＋（４） 又因为ｍ（ｘ）＞０且非递减，所以Ｍ（ｘ）＞０且递增 连续可导。Ｍ（ｘ）≤ｓｔＭ（Ｙ） ２序≤ 在同单调性中的研究 定理１设ＥＭ（Ｘ）＜∞，ＥＭ（Ｙ）＜∞则可得如下等价 条件： 下面给出多个风险之间的一种关系，即同单调性。首 先给出其等价定义如下： （ａ）Ｘ≤ Ｙ 定义２（Ｘ ，Ｘ：，．．．，Ｘ ）设为ｎ任意个风险，称随机向 （ｂ）Ｍ（Ｘ）≤ Ｍ（Ｙ 量 （ｃ）Ｅ［Ｍ（ｘ）一Ｍ（ｔ）】＋≤Ｅ［Ｍ（Ｙ）一Ｍ（ｔ）］＋ ｘ：（Ｘｌ，Ｘ２…．，Ｘ ）∈Ｒ（Ｆ１，Ｆ２一．，Ｆｎ） 各个分量之间是同单调的，如果以下两个等价条件 作者简介：余安娜，湖北大学数学与计算机科学学院。 第２９卷第４期 余安娜，等：广义的停止损失序的研究及应用 成立。 １６７ 中任意一个成立： ①存在一个非减函数ｇｉ和ｉ．１…２．，ｎ任意一个定义在 概率空间上的随机变量ｚ，使得ｘ与（ｇｌ（ｚ）…．岛（Ｚ）同分 布。 因为Ｘｉ≤ ，Ｙｉ，ｉ＝ｌ…２…ｎ故由定理１有： Ｅ［（Ｍ（Ｘ ）一Ｍ（ｔ）】＋≤Ｅ【（Ｍ（Ｙｉ）一Ｍ（ｔ）】＋，Ｖ ｔ≥０． ②对于任意服从于（０，１）上均匀分布的随机变量ｚ， 有ｘ与（ｇｉ（Ｚ）一．，岛（ｚ）同分布。 又因为Ｍ（ｘ）递增连续可导且Ｍ（ｏ）＝０，所以不妨设对 于上述的每一个ｄｉ＞０，存在相应的 ＞０，使得Ｍ（ｔｉ）＝ｄ。，则 上式可化为： Ｅ［（Ｍ（ｘｉ）－ｄ’ ］＋≤Ｅ［（Ｍ（Ｙｉ）－ｄ’ 】＋，ｉ－１，２…，ｎ （８） 引理１『４】若随机向量ｘ＝（Ｘ。，Ｘ …．，Ｘ ）是同单调的， 记ｓ ｘｉ，则对任意ｄ＞Ｏ，存在ｄ．使得Ｅ［（Ｓ．－ｄｉ）＋】， （５） 故由（６），（７），（８）式可得 Ｅ［（Ｍ（Ｙ－）一Ｍ（Ｙ２）＋…＋Ｍ（Ｙｎ）一ｄ】＋＝Ｅ（Ｍ（Ｙ－）一ｄ’－）＋＋（Ｍ（Ｙ２） １ ｌ 其中ｄ ∈ＦⅪ ｄ）（ （ｄ）），ｉ＝ｌ，２…，ｎ，盯ｄ∈【０，１】使得 Ｆｓｒ『 ‘ ｄ）（Ｆ （ｄ））＝ｄ。 引理２设（ｘ。，ｘ 一．，Ｘ ）是同单调的，若Ｙｉ＝￡（Ｘｉ），则 （Ｙ。，Ｙ：……Ｙ）也是同单调的。其中￡是任意单调不减函 数。 定理２设两个随机序列（ｘ ，ｘ …．，ｘ ），（Ｙ ，Ｙ：，．．．， Ｙ ）其中（Ｙ ，Ｙ：，．．．，Ｙ ）是同单调的。 若Ｘｉ≤ ｎＹ ，ｉ＝ｌ，２，．．．，ｎ， 则有Ｍ（Ｘ。）＋Ｍ（Ｘ２）＋…＋Ｍ（Ｘ ）≤ Ｍ（Ｙ）＋Ｍ（Ｙ）＋…＋Ｍ （Ｙ ）。 证明由引理２可知，因为（Ｙ ，Ｙ ，…，Ｙ ）是同单调的 ，ｘ 且Ｍ（ｘ）＝Ｊ ｍ（ｔ）ｄｔ为单调不减函数，则Ｍ（Ｙ。），Ｍ（Ｙ ）…， Ｍ（Ｙ ）亦为同单调的。再由引理１可知，Ｖｄ＞０，ｄｉ＞０使 得ｄ－－ｄ’ｌ＋ｄ。２十…．，ｄ’ ，且有Ｅ【Ｍ（Ｙ１）＋…＋Ｍ（Ｙ１）＋】＋＋…＋Ｅ（Ｍ （Ｙ１）一ｄ。）＋＋…＋Ｍ（Ｙ ）＋ ． （６） 取任意常量向量（ｍ ，ｍ 一．，ｍ ）∈Ｒ“，对于上述 ｄ＝ｄ’ｌ＋ｄ’２＋…．，ｄ。 我ｆ『１有。 （ｍｌ，ｍ２，…，ｍｒ广ｄｎ）＋ ＝［（ｍ。一ｄ１）＋（ｍＥ－ｄ２）＋…＋（ｍ 一ｄ ）］ ≤【ｍ１一ｄＩ）＋（ｍｒｄ２）＋…＋（ｍｔ广ｄ ）＋】＋ ＝（ｍ１一ｄ１）＋（ｍｒｄ２）＋…＋（ｍ 一ｄ ）＋ 则对于随机变量序列Ｍ（ｘ ），Ｍ（ｘ：）…．，Ｍ（ｘ ）也 有： Ｅ［（Ｍ（Ｘ１）＋…＋Ｍ（Ｘｎ）一ｄＪ＋≤Ｅ【（Ｍ（Ｘ１）－ｄ－】＋＋…＋Ｅ【（Ｍ（Ｘｎ）一ｄｎＪ 上 （７） 一ｄ’２）＋…＋（Ｍ（Ｙ ）一ｄ ）＋ ≥Ｅ【（Ｍ（Ｘ１）一ｄ’１）＋＋Ｅ（Ｍ（ｘ２）一ｄ’２）＋＋…＋Ｅ（Ｍ（Ｘｎ）一ｄ‘ｎ）＋ ≥Ｅ［（Ｍ（Ｘ－）－ｄ’１）＋＋（Ｍ（ｘ２）－ｄ’２）＋＋…＋（Ｍ（ｘｎ）一ｄ’ ）＋ ＝Ｅ［（Ｍ（Ｘ１）＋Ｍ（ｘ２））＋＋…＋Ｍ（ｘｎ）一ｄ］＋ 即Ｅ【（Ｍ（Ｘ１）＋Ｍ（Ｘ２））＋＋…＋Ｍ（Ｘｎ）－ｄ】≤Ｅ【（Ｍ（Ｙ ）＋Ｍ（Ｙ２））＋＋． ．＋Ｍ（Ｙｎ）一ｄ】＋ 再由停止损失序的等价条件及ｄ的任意性有： （Ｍ（Ｘ１）＋Ｍ（ｘ２））＋＋…＋Ｍ（Ｘｎ）≤ （Ｍ（Ｙ ）＋Ｍ（Ｙ２））＋＋…＋Ｍ（Ｙｎ）， 即证。 参考文献： 【ｌ】Ｔｏｍａｓｚ Ｒｏｌｓｋｉ，Ｈａｎｓｐｅｔｅｒ Ｓｃｈｍｉｄｌｉ，Ｖｏｌｋｅｒ Ｓｃｈｍｉｄｔ． Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｆｏｒ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ａｎｄ ｆｉｎａｎｃｅ［Ｍ］． Ｂｒｉｔｉｓｈ：Ｌｉｂｒａｒｙ Ｃａｔａｌｏｇｕｉｎｇ ｉｎ Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ Ｄａｔａ，１９９９． ｆ２１ Ｇｅｒｂｅｒ Ｈｕｎｓ．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｒｉｓｋ ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＰＡ：Ｓ Ｈｕｅｂｎｅｒ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｎｎｓｙｌｖａｎｉａ，１９７９． ［３ ｓ３］ｈａｕｎ ｗａｎｇ，Ｊａｎ Ｄｈａｅｎｅ．Ｃｏｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ，ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｐｒｅｍｉｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓＶ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ １９９８，（２２）：２３５—２４２． ［４】Ｄｈａｅｎｅ Ｊ．，Ｄｅｎｕｉｔ Ｍ．，Ｇｏｏｖａｅｒｔｓ Ｍ Ｊ Ｋａａｓ Ｒ．，Ｖｙｎｃｋｅ Ｄ．．Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｃｏｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｉｎ ａｃｔｕａｒｉａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ ｎａｄ ｆｉｎａｎｃｅ：ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００２，（３１）：３—３３．