定义 命题与定理

【教学目标】：

1、了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）

和结论，奠定推理论证的基础；

2、初步体会公理化思想，了解公理与定理的异同。

【重点难点】：

1、重点：定义、命题、公理、定理的概念；找出命题的题设和结论。

2、难点：体会公理化思想；认识到推理证明的必要性。

【教学过程】：

一、创设问题情境引入

情境1：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》。

小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了。” 小刚：“是的，现在英特网广泛运用于我们的生活中，给我带来了方便，但„„” 坐在旁边的两个人一边听着他的谈话，一边也在悄悄议论着。 “这个黑客是个小偷吗？” “可能是喜欢穿黑衣服的贼。” 你看完这幅漫画，有何想法？

同学们各抒己见，老师给予同学的各种回答评价后，发表自己的看法：在日常生活中，我们会遇到许多概念，假如不对这些概念下定义，别人就无法理解这些概念，以致无法进行正常的交流。同样，在数学学习中，要进行严格的论证，也必须首先对所涉及的概念下定义。本节我们就一起来学习——§24.3命题与证明的第一节定义、命题与定理。

二、共同探索获得新知

1、试一试：感受学过的定义

你是如何找出图中的直角三角形呢？

“有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形”这句话 说明了直角三角形的含义以及区别于其他图形的特征。

你还能举出一些其他的例子吗？ 例如：（1）有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2） 有六条边的多边形，叫做六边形．

（3） 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．

一般地，像这样能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。 2、想一想：体会命题的含义

思考：试判断下列句子是否正确。

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）三角形的内角和是180°； （3）同位角相等；

（4）平行四边形的对角线相等； （5）菱形的对角线相互垂直 根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．

像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题． 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 练习：

（1）下列句子哪些是命题？

①动物都需要水； ②猴子是动物的一种； ③玫瑰花是动物； ④美丽的天空；

⑤对应角都相等的两个三角形一定全等； ⑥负数都小于零； ⑦你的作业做完了吗？ ⑧所有的质数都是奇数；

⑨过直线L外一点作L的平行线； ⑩如果ab，ac，那么bc。

3、细观察：发现命题结构。

观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同样交流。 （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；

（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； （3）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；

（4）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形； （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形。

总结：在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果„„那么„„”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论。

例、把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果„„那么„„”的形式，并分别指出命题的题设与结论． 解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”。

4、追溯根源：明确定理的含义

问题：如何证实一个命题是真命题呢？

用我们以前学过的观察、实践、验证特例等方法。这些方法往往并不可靠。

能不能根据已经知道的真的命题证实呢？那已知知道的真命题又是如何证实呢？ 哦„„那可怎么办？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名叫《原本》。为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中数学名词称为原名，公认的真命题称为公理。即数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

小组竞赛：

请你说出学过知识中，哪些是公理，哪组说的又多又准就是获胜者。 如：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那

么这两个三角形全等；

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等

此外，我们把等式、不等式的有关性质以及等量代换（即在等式或不等式中，一个量用它的等量替代）都作为逻辑推理的依据．

有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）． 例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”

男女对抗赛：由男女同学各说定理，并分别由对方判断正误，说对一个定理得1分，高分都获胜。

三、回顾思考、归纳总结

同学们，本节你学到了哪些知识？有何体会？还有什么疑惑呢？若同学有疑惑，还可一起讨论，帮助解惑。

四、作业

必做题：

选做题：定义“等和数列”：在按一定次序排列的一列数中，如果每一个数与它后面的一个数的和都为同一个常数，那么这列数就叫做等和数列，这个常数叫做这列数的公和. 已知一列数是等和数列，且第一个数是2，公和为5，那么第18个数是 ；这列数中前n个数的和S 的计算公式为： .