证明数列收敛

证明数列收敛(总8页)

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本文讨论了一类递推数列xn1f(xn)的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.

运用单调有界性来证明收敛，而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况：

易知单调递增或递减，需证有上界或下界。 易知有上界或下界，需证单调递增或递减。 易知既有上界又有下界，需证单调。 易知单调，需证既有上界又有下界。

①用导数来求证xn1f(xn)单调有界性

如果f(x)0，即函数

'f(x)单调递增时，数列xn具有单调

性是可以肯定的，而研究递增递减那要看x1跟x2的比较了(如果

x1=x2的话，那么x1=xn)具体的说

若x1若x1

2

x2时，由f(x1)f(x2),那么可以判定xn为减数列。

x2时，由f(x1)f(x2),那么可以判定xn为增数列。

例题1.

2x1=0,当n1时，xn+1=2-cosxn,证明数列xn收敛并且极限值位于，23'证：记f(x)=2-cosx,则f(x)=sinx0

因为x10，x2=1，则x10x2=13，由于

f(x)在0，上递增3

所以f(x1)f(x2)f(x3)，即x2x33

那么xn具有单调有界性，上界为3 然后对数列两边取极限，记极限为A 则A=2-cosA.

设函数g(x)=x-2+cosx，其中A为方程g(x)的根，

'g(x)0，30，3g内可导，则(x)=1-sinx0 由于在上连续，在24-100,g()0 所以函数递增，又由于g()=2236所以g(x)的根在，内。 23-42

3

如果f(x)0，即函数

'f(x)单调递减时，数列xn肯定不具

有单调性的．但是，它的奇数项子数列x2n1和偶数项子数列x2n都可以看作是通过单调增加函数g(x). 其中[g(xn)ff(xn)f(xn1)xn2] 所以肯定具有单调性，而且其增减性恰好相反．

1x例题1.当x1=1，n1时，xn1=1+xn，证明数列n收敛，并求

其极限值。 证：设函数f(x)'f易知(x)=-1,则函数在0,上连续，在0,内可导， 1+x10。 2(1x)所以f(x)1在0,上递减。 1+x121由于x1=1,x2=,x3=,可知x1x3x2，又f(x)在0,231+x上递减。

所以有fx1fx3fx2,即x2所以x2x4x3,

x4x3x1

可推得x1x3x5...x2n-1x2n...x6x4x2

1

由此可知奇数项子数列x2n1单调递减有下界x2=，偶数项子数

2

列x2n单调递增有上界x1=1，则两子数列都收敛。

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设奇数项子数列x2n1收敛于P，偶数项子数列x2n收敛于Q。

1P=1+Q1x=对n11+xn两边去极限得：Q=1

1+P解方程得P=Q=5-1 25-1那么数列xn收敛于。

2

②利用不动点与导数的结合来证单调有界性。

定义：对于函数

f(x),若存在实数C,使得f(C)=C，则称C为

f(x)的不动点。

命题1.设函数

f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f'(x)0,

f(a)a,f(b)b.设x1=a，则递推数列xn1f(xn)收敛。

命题2.设函数

f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，且f'(x)0,

f(a)=a,f(b)b.设x1=b，则递推数列xn1f(xn)收敛。

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命题3.如果函数该不动点。

f(x)在a,b有唯一的不动点，那么数列必收敛于

axnbx推论：对于递推数列n1xnc, 如果

(acb,a、b、c、x1都为正数,n1、2、3...)，那么数列收

(ac)(ac)24b敛，且收敛于L，其中L=。

2

3(xn1)n1,2,3,例题1.设0x13， xn1xn3 （

证:数列xn收敛,并求其极限。 解：数列xn的迭代方程f(x)），求

63(x1)f'(x)0 ，2(x3)x3f(3)3。

(3x1)(3x1)0，即f(x1)x1。 又f(x1)x13x1故数列敛。 又

xn在区间[x1,3]上满足命题1的条件,于是数列xn收

f(x)在[x1,3]上有唯一的不动点

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xn3,于是limn3。

1x1例题2.已知函数f(x)xx，且存在x0(0,)，使

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32f(x0)x0.设x10,xn1f(xn) ,y11，yn1f(yn),其2中n1,2,,证明:xnxn1x0yn1yn。

32证：由数列xn的迭代函数f(x)xxx21得 4f'(x)3x22x1113(x)20,

362从而在区间(0,x0)上，由命题1的结论得

0xnxn1x0，

1在区间(x0,)上，由命题2的结论得

2x0yn1yn1， 2于是有

xnxn1x0yn1yn．

证毕．

③利用单调性的定义或数学归纳法。 例题1. 设a1c, an1anc,证明数列an极限存在。

[思路：先试求an1anc的极限，对两边取极限，解得

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1+1+4climanx2为证明这个猜想。] 证：易从an1,猜想它是数列的一个上界，那么问题就转换

anc看出数列an递增。

。

1+1+4c接下来用数学归纳法求证an有上界

21+1+4c1+1+4c显然a1c,假设an-1，便有了

221+1+4c1+1+4canan1cc22递增有上界的数列，故数列

。则

an为单调

an收敛。

a1b1,b2a1b1, 例题3. a1b10,a22anbn一般地an+1,bn1anbn,证明数列an与bn收敛。2

nZ,a1b10。证：利用数学归纳法对n进行归纳证明，

当n=1时已知成立。假设an-1bn10,

an-1bn-1an-1bn-1=bn0,因此由重要不等式得：an2bn-1an-10,故数列an有下界0，且当n2时，anan-12数列an

单调递减，即数列an收敛。

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此外由数列an单调递减，a1anbn0,即数列bn有上界

bnan-11,故数列bn单调递增，即a1，并且当n2时，=bn-1bn-1数列bn收敛。

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