乘除法巧算

教学目标：

掌握巧算中经常要用到的一些运算定律，如乘法交换律、结合律、分配律以及除法分配律等变式定律与性质。

1. 乘法中常用的几个重要式子

2×5=10；4×25=100；8×125=1000；4×75=300；4×125=500；2. 乘法的几个重要法则

⑴去括号和添括号原则

在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号

变“÷”，“÷”变“×”；如果括号的前面是“×”，那么不论是去掉括号或添上括号，括号里面运算符号都不改变。

例题. ① a×(b÷c) ＝a×b÷c ②a÷(b÷c) ＝a÷b×c

⑵带符号“搬家”

在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的符号。不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变。

⑶乘法交换律 a×b＝b×a

⑷乘法结合律 a×（b×c）＝(a×b) ×c

⑸乘法分配律 a×（b＋c）＝a×b＋a×c；a×（b-c）＝a×b-a×c

⑹逆用乘法分配律 a×b＋a×c ＝a×（b＋c）；a×b-a×c＝a×（b-c）

3. 除法的几个重要法则

⑴商不变性质

被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即a÷b＝（a×n）÷（b×n） (n≠0)a÷b＝（a÷m）÷（b÷m） (m≠0)

⑵当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）。如：

（a±b）÷c＝a÷c±b÷c； a÷c±b÷c ＝（a±b）÷c

例1. 计算下列各题

⑴【05年吉林省小学毕业试题】 ⑵【06年浙江省夏令营试题】

37×4×25 2×4×5×8×25×125

练习：⑴ 17×4×25 ⑵ 125×19×8 ⑶456×2×125×25×5×4×8

例2. 分解因数，凑整先求。

⑴【2000年武汉一中初中招生试题】 ⑵【06年广东省“育苗杯”试题】

25×32×125 937×125×25××5

练习：⑴ 【01年四川省夏令营试题】 ⑵ 125×5×32×5 ⑶56×125

80×16×25×125

例3. 利用乘法分配律解题

⑴【05年广东省小升初试题】 ⑵【01“我爱数学”夏令营试题】

46×101 17×999

练习：⑴【02年武汉名校摸底试题】 ⑵ 37×99 ⑶ 234×102 ⑷（100－4）×25

125×98

例4. 逆用乘法分配律进行巧算

⑴【附中首届“幼苗杯”试题】 ⑵【03年第二届“走向北大杯”竞赛试题】

95×71＋95×29 ×25＋35×25＋25

⑶【2000年广东化州市竞赛试题】 ⑷【03年第十三届“祖冲之杯”竞赛试题】

123×235－24×235＋235 586×124＋29×586

－586×53

练习：

⑴ 62×38＋38×38 ⑵ ×1－45×－×9 ⑶ 67×12＋67×35＋67×52＋67

例5.利用商不变的性质进行巧算

【2000年华罗庚邀请赛集训试题】

21000÷125

练习：⑴ 110÷5 ⑵ 44000÷125 ⑶47700÷900

例6.利用除法分配律进行巧算

⑴ 【头脑奥林匹克模拟试题】 ⑵ 【02年华师附小试题】

（99＋88）÷11 25÷13＋14÷13

练习：⑴ 13÷9＋5÷9 ⑵ 21÷5－6÷5 ⑶（12＋24＋36＋48）÷6

⑷【04年希望杯试题】 ⑸187÷12－63÷12－52÷12

31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5

例7. 利用乘除法的带符号“搬家”进行巧算

⑴ 360×40÷60 ⑵【01年吉林省第七届竞赛试题】

99×88÷33÷22

练习：⑴ 27×8÷9 ⑵ 6÷8×4

例8. 乘除同级运算的去括号法则

⑴ 25×（4×43） ⑵45000÷（25×90） ⑶ 【吉林省第六届数学冬令营试题】

562×397÷（281×

练习：⑴5600÷（1400÷4） ⑵ 125×（8×37）

例9. 乘除同级运算的加括号法则

⑴【01年四川省夏令营试题改编】 ⑵ 1320×500÷25031000÷8÷125

练习： ⑴ 37500÷4÷25 ⑵61000÷125÷8 【05年四川省毕业试题】 ⑶ 35×222÷111

【补充趣题】

1. 【第六届三年级“走美”试题】

777＋777－777×777÷777 （要求20秒内算出此题）

2.将数字0、1、3、4、5、6填入下面的内，使等式成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。

【开心一笑】

滥用成语

刚上二年级的小明在爸爸出差的时候给爸爸写了一封信，信的内容如下：我最亲密无间的爸爸：你好！ 最近身体是否健壮如牛，工作是否蒸蒸日上。我现在正在奋不顾身的学习，前天，老师表扬了我的丰功伟绩，我听了以后沾沾自喜。您批抨我爱滥用成语，我以后一定前功尽弃，卷土重来。祝爸爸万古长存！您独一无二的儿子小明。

计算下列各题。

⑴、23×11 ⑵、68×11

⑶、235×11 ⑷、285×11

思路导航：

⑴一个两位数与11乘的方法是：用两位数的头做积的头，用两位数的尾作积的尾，用这个两位数两个数字之和作积的中间数。

⑵一个两位数与11乘的方法是：用两位数的头做积的头，用两位数的尾作积的尾，用这个两位数两个数字之和作积的中间数，相加满十则把和的十位数“1”加到头上。

⑶一个三位数与11乘的方法是：用三位数的头作积的头，用三位数的尾作积的尾，用三位数前两位与后两位数的和作中间数。若和满100则向前进“1”。

练习一：

计算下列各题。

①、18×11 ②、76×11

③、125×11 ④、837×11

⑤、36×11 ⑥、98×11

⑦、326×11 ⑧、287×11

⑨、27×11 ⑩、256×11

一：凑整法

“凑整”不仅在加减法的速算中广泛应用，在乘除法的计算中也是很重要的提高速度的计算方法。计算前，有两个比较特殊的数相乘的结果，同学们要牢牢记住：25×4=100，125×8=1000。

例1： 125×3×8 25×7×4

所以以上两题可以先把这两组数乘起来，

125×3×8=（125×8）×3=3000；25×7×4=（25×4）×7=700。二：转化法

转化法主要指在乘除混合计算中，根据计算定律和性质调换乘数或除数的位置，或者给算式添上括号或去掉括号，把较复杂的计算转化为简单的计算。例2： 146×31÷73

1248÷96×16

500÷（125÷4） 如

146×31÷73=146÷73×31=62， 要注意的是，如果在除号后面加括号，后面是乘号的要变成除号，是除号的要变成乘号，如

1248÷96×16=1248÷（96÷16）=1248÷6=208；如果要去掉除号后面的括号，括号里的乘号要变成除号，除号要变成乘号。500÷（125÷4）

=500÷125×4=500×4÷125=2000÷125=16三：拆数法

拆数法指两数相乘时把其中一个因数拆成两个数的和或积，再与另一个因数相乘，使算式简便。例3： 35×24 44×25 480÷32

35×24=35×（2×12）=35×2×12=70×12=840；44×25=（40 + 4）×25=40×25 + 4×25=1100

两数相除时，一般把除数拆成两个数的积，用被除数连续除以这两个数。如 480÷32=480÷（8×4）=480÷8÷4=60÷4=15

当然，很多题目有多种方法进行简算，同学们要根据自己的喜好和平时的积累，选择适合自己的方法，快速准确的运算。试一试：

25××125

4500÷（25×30）