时滞微分方程解的存在性

时滞微分方程解的存在性

时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。从而证明了该方程解的存在性。具体过程如下：

令E为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:和

E0，*

，

Emaxt[h,0](t)0，同时,

BX(y0,r){yX:yy0Xr},

其中，XE或E0，, 表示E和E*中的元素的内积。考虑如下Banach空间分数阶微分方程的初值问题：

Du(t)f(t,ut),t0,01,u0E0(2.0.1)

其中D是Caputo 分数阶导数。f:[0,+∞)×E0→E。同时对于任意u∈C([−h,0],E)函数utE0,t0,定义为成ut(s)=u(t+s),s∈[−h,0]。

我们现在重温[5]中的两个定义。令E是E被赋予弱拓扑的空间，我们考虑空间

E0,C([h,0],E)E。我们说unuE0,在0,中如果

un(sn)u(s)在E任意sns。

unEMEtt,ss0,0n我们说函数f是在有界集上序列弱连续的如果n在中并且

E对于所有n，意味着f(tn,un)f(t,u)在0,中。同时，我们说f有界，如果f把[0,+∞)×

E0的有界子集映射到E的有界子集。

定义2.0.1 映射u:[h,T]E被称为方程(2.0.1)的解如果u0，u()连续

且满足：

1t(t)1f(,u)d()0对于任意t[0,T] (2.0.2)

u(t)u(0)我们重提[19]中的一般的关于奇异核的Gronwall 不等式，此定理会在结果中

用到。

引理2.0.2 令v:[t0,b][0,)是实函数并且w()非负，在[t0,b]上局部可

积且存在正常数a>0 和0tv(s)dst0(ts)v(t)w(t)a

对于任意的t[t0,b]，存在常数KK()满足：

tw(s)dst0(ts)v(t)w(t)Ka

这个引理是我们从一篇参考文献中摘出，是推广的Gronwall 不等式。由[5]中注3我们得到如果E是可分的,f:[0,+∞)×E0→E在有界集上是序列弱连续的且映射t续的，那么有tf(t,ut)utE0是连

强可测。更进一步，如果我们假设映射f是有界的，那么我们有

utE0是连续的，那么映射是连续的，因

f(,u)L1(0,T;E)。如果f:[0,+∞)×E0→E和t1(0,T;E)f(,u)L此强可测。更进一步，如果我们假设映射f是有界的，那么我们有。

定理2.0.3 假设E是自反的可分空间，令f:[0,+∞)×E0→E在有界集合上序列弱连续,并且对于t[0,)和utE0存在正常数K1和K1满足

f(t,ut)K1K2utE0 (2.0.3)

则存在b>0使得在区间[0,b]上方程(2.0.1)至少有一解。

1(1)bK2证明： 我们取正常数b满足，对于任意[0,t][0,b]，对于任意

0[0,t][0,b]，令u，对于任意n我们定义如下递推关系：

un(t)(0)1(t)(1)f(,un1)d,()un(s)(s),s[h,0] (2.0.4)

其中t[0,b]。由(2.0.3) 中的假设,我们有

u1(t)(0)1t1f(,u0)d(t)()01t1(KKE(t))d12E000()i1tK2EtK1tK210EE(1)00(1)(1)(1)i0

tK因此，对于[0,t][0,b]

itK11tK211u(t)maxu(ts)E(1)0E0s[h,0](1)i0

对n进行数学归纳我们可得到

itK1ntK2nu(t)E(1)0E0(1)i0

对[0,t][0,b]。

由于t[0,b]，对于所有[0,t][0,b]和任意nN，

ibK1nbK2nuEM(1)0E0(1)i0 (2.0.5)

其中，我们使用记号

bK1(1)M:E0(1)(1)K2b

令t,s[0,b]，并且ts。之后我们有

ts11n1n1)d(t)f(,u)d(s)1f(,u0()01s1(t)1f(,un1)d1t(t)1f(,un1)d(s)()0()s1s1(t)1(KKM)d1t(t)1(KKM)d(s)1212()0()sKK2M2(K1K2M)1(st2(ts))ts(1)(1)(2.0.6)

un(t)un(s)由于E是自反的，由(2.0.5) 我们推断对任意t[0,b],序列在E 中是相对紧的.运用对

n()}{uu()角线法则和[5]中定理4的相关证明，我们得到连续解函数的存在性和函数列(仍nu记作)满足

un(t)u(t)在E,对于任意t[0,b] (2.0.7)

n(t)u(t)tnt0[0,b]uEn0。实际上，对任意vE*我们有 我们将证明如果,在中有

(un(tn)u(t0),v)(un(tn)un(t0),v)(un(t0)u(t0),v)

由(7)和(8), 对任意0,存在N()满足对任意nN()我们有：

2

(un(tn)un(t0),v)un(tn)un(t0)v和

2

(un(t0)u(t0),v)un(t0)u(t0)v因此

(un(tn)u(t0),v)n(t)u(t)un0在E当tnt0[0,b]。这暗 ，所以

示对于任意的[0,b],对于sns[h,0],在E中：

n(s)un(s)u(s)u(s)unn

nuu在E0,中。 因此，

最后我们证明u()是方程(2.0.1)的解。为了这个目的我们将利用下面积分的

极限：

1t1f(,un1)d,t[0,b](t)()0

un(t)(0)由于f在有界集合上序列弱连续，对任意t[0,b] 我们有

n)f(,u)f(,u在E

n)KKuf(,u12tE0K1K2M然后由和Lebesgue 理论我们得到对

于任意vE有

*t(t)1f(,un1)d,v0t(t)1f(,un1),vd0tt1f(,u)d,v(t)1f(,u),vd(t)00,

因此

1t1f(,u)d,v0(t)()(u(t),v)((0),v)

1f(,u)L1(0,t;E)*(t)其中我们使用。由vE的任意性，我们得到：

u(t)(0)1t1f(,u)d(t)()0对任意t[0,b]，

这个定理的证明完毕。□

定理2.0.4 假设定理2.0.3 中的假设成立。如果有(2)的某个解u()在[0,b)上存在最大值，那么b= +∞，也就是说u()是一个全局解。

u(ts)E0。另一方面，

证明：令t[0,b]并且s[h,0]。如果ts[h,0]，那么

ts[0,b]我们有：

1tsu(ts)u(0)(ts)1f(,u)d()01tsE(ts)1(K1K2uE)d00()0tsK1(ts)KE2(ts)1uEd00(1)()0

因此，

ttK1KutEmaxu(ts)E2(t)1ud00E0(1)()0s[h,0](2.0.8)

应用引理2,我们推断存在K>0满足：

tK1KK2tK11utEE(t)Ed0000(1)()(1)KK2EtKK1K2Et2100EM10(1)(1)(21)tKKK2EtKK1K2Et2100M1:E0(1)(1)(21)tK(2.0.9)

由(2.0.3)中的条件可得f有界。然后由方程解的定义可以得到u()在[0,b)上一致连续。因此极限limtbu(t)u*存在。然后利用初值条件：

*(s)u*s0,u(sb)s[h,0),

和定理2.0.3,可得到结论u()可以延拓到[0,b),0,就得到了矛盾。□

通过稍微地改变定理2.0.3的证明且利用定理2.0.4,我们有

推论2.0.5 假设定理2.0.3 中的条件成立。问题

u(t)f(t,u),t0,01,Dstu0E0

至少有一解。更进一步，所有局部解都是全局解。