基于高中数学核心素养提升的深度教学方法探究

-----以《平面向量共线的坐标表示》教学为例 通过谢海燕老师的悉心指导，我对深度教学有了更深层次的认识．了解了深度教学的高阶性、持续性、自主性、迁移性、联系性等特点．2017版高中数学新课程标准首次提出高中数学核心素养，培养好数学抽象、逻辑推理、

数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养．深度教学是一种面向真实

情境和复杂环境的教学方式和教学理念，是实现核心素养的重要途经．深度教学倡导深度加工知识信息，深度理解复杂概念，深度掌握内在含义，主动建构与整合知识体系并注重迁移与应用，要求学习过程中了解学习目标，自主地对学习产生兴趣，对学习过程和结果进行评价和反思．高中数学教学中，实施深度教学，培养深度学习习惯，可以使教学更为科学，是实现有意义教学的有效方式．

新课程改革以来，高中数学课堂普遍呈现出“以学生为中心”的教学模式，增加了学生自主学习、合作交流的环节，改变了教与学的顺序，转变了传统以“灌输”为主的教学模式，体现了以学生为主体的理念，课堂气氛活跃，教学效果不错．可是当真正从高中数学教学的实际出发时，我发现在这样的教学模式下，学生的学习还是或多或少地存在浅层的、被动的现象，学生停留在对知识的机械重复记忆上，知识的掌握缺乏必要的深度，数学素养和能力得不到有效的提升，因此“深度教学”成为每一位高中数学教师必须思考的问题．

如何开展高中数学深度教学，培养学生的数学核心素养，我结合《平面向量共线的坐标表示》的课堂教学设计谈谈我的个人体会和认识． 【教材分析】 （一）地位和作用

本节内容在教材中起着向量坐标运算延伸的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量共线的坐标表示，对解析几何、立体几何的教学均有着深远的意义，可使平面图形、空间结构系统地代数化，把几何形式的

研究从“定性”推到“定量”的深度. （二）学情分析

学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且学习了平面向量共线的相关概念和坐标表示的简单运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础．他们已经具备了初步归纳的能力,但是要加强他们全面深入探究问题的能力，通过本节课的学习使学生在自主探究和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分锻炼他们的思维能力. （三）教学目标

(1)知识与技能：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式,了解线段定点分点坐标公式；通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力．

(2) 过程与方法：通过观察、归纳、猜想、证明、应用，使学生获取基本活动经验，认识研究问题的一般方法．

(3) 情感态度价值观：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识，学会用数学的眼光观察、表达、研究世界. (四)教学重点和难点

(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：向量共线的坐标表示的理解和灵活应用. 【教法分析】

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质渗透数学学科核心素养. 针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法.

教学手段：多媒体课件、101PPT软件、班级优化大师软件. 【学法指导】

本节课主要调动学生积极思考主动探索，增加学生参与教学活动的时间，我采用了以下学法指导：

1.探究式指导法：应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入“λ”从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征；

2.归纳式指导法:三点共线问题的实质是向量共线问题．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．

3.迁移式指导法：引导学生推导平面上两点间的中点坐标公式及线段定比分点坐标公式. 【教学过程设计】 一、新知导入

以本章章头图导语，引出课题，激发学生研究向量运算的兴趣.

[设计意图]本章章头图有这样一段话：“没有运算向量只是路标，有了运算向量威力无穷．”激发学生进一步研究向量运算的兴趣． 二、授新课：

（一）复习回顾，温故知新 师生共同回顾共线向量定理. （二）问题引入，激发求知

判断下列几组向量是否共线，并说明理由： (1)a＝(0，0)，b＝(1，2)； (2)a＝(3，9)，b＝(1，3)； (3)a=(-2，5)，b=(3，4)； (4)4a＝(－4，－8)，b＝(3，6)

问题1：以上4组向量是否共线，并说明理由.

[设计意图]设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，同时引导学生为理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析理解问题的能力. （三）小组合作，大胆探究

问题2：共线的向量之间坐标存在什么样的关系？ 问题3：你们能证明自己猜想的结论吗？

[设计意图]通过小组合作交流，相互激发。比较共线向量坐标之间的关系与不共线向量坐标的异同，由学生自己探索发现，而不是老师直接给出．数学抽象就是要能从实际例子中提炼出一般结论．只有给学生机会，让学生不断经历数学抽象的过程，才能使这一核心素养得到潜移默化的提升．营造合作交流的氛围，提高深度学习的能力． （四）展示交流，相互借鉴

请小组派出代表，展示小组探究的结果，相互借鉴，不断完善，提升数学逻辑的素养．

（五）师生共同探究平面向量共线的坐标表示，得出探索：

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，其中b是非零向量,a、b共线，当且仅当

x1y2x2y10

（六）巩固新知，灵活运用 1．根据共线求未知数，确定向量

例6、已知a=（4，2），b=(6，y),且a∥ b求y. 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.

规律归纳：遇到与共线有关的问题时，我们只需要把向量共线的条件转化为坐标运算，一般选用x1y2－x2y1＝0. 小试牛刀，自我检测：

1.若向量a(5,x) 与 b(x,10)共线且方向相同，求x.

学生计算结束，利用“班级大师优化”APP，随机提问，以了解同学们的学习情况.并利用“班级大师优化”APP对前面单独积极回答问题的同学及时进行课堂评价记录.

2．向量共线在平面几何中的应用

例7、 已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），试判断A，B，C三点之间的位置关系．

小试牛刀，自我检测：

2.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

利用“101PPT”APP的手机电脑同步传输功能，对部分同学的解答过程进行现场拍照上传分析．

点评：利用平面向量共线的充要条坐标表示解决平面几何问题.

[设计意图]引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线和两直线平行.引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式. 3．共线向量与线段定比分点坐标问题：

例8、设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

解：(1)由向量的线性运算可知

x1x2y1y21,). OP= (OP1+OP2)=(

222x1x2y1y2,.) 所以点P的坐标是(

22(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即

P1P1PP=或1=2. PP22PP2如果

P1P1=,那么 PP221P1P2 3OP=OP1P=OP1+P1+

1=OP+(OP2-OP11)

321=OP+OP2 133=(

2x1x22y1y2,). 332x1x22y1y2,). 33即点P的坐标是(

请同学们展示其它运算方法，启发学生多角度思考解决问题．

如果

x2x2y12y2P1P（1,）. =2,那么点P的坐标是

33PP2请同学们分组采用不同方法解决． 探究：当P1PPP2时,点P的坐标是什么？ 请同学们分组采用不同方法解决．

[设计意图]充分让学生思考,实际上此题给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.并提出这一结论可以推广吗?让学生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广．得到线段的定比分点公式，鼓励学生积极探索,这是学习数学的重要品质.

4．共线向量与解析几何求轨迹问题：

已知圆C： (x-3)2 +(y-3)2 =4 及点A（1,1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN,求点N的轨迹方程.

分析:用几何画板演示动点N随M的运动所形成的轨迹,增强直观性.把题目关键条件转化为向量共线,进而用坐标运算来解决,达到活学活用. (七）对照目标，反思总结

呈现学习目标，引导学生总结本节课所学习的知识、能力、基本活动经验和核心素养.

[设计意图]与学生一起总结本节学习的数学方法,归纳和迁移的发散思维。强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.小结是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力.

（八）完成作业，巩固拓展 基础作业

1．课本：101页练习第6题、习题2.3B组第2题； 拓展作业

2.ABC中，BC的中点记为D，三条中线的交点称作重心，记为G，且AG2GD, （1）已知点A（x1,y1)、B(x2,y2)、C（x3,y3),求重心G的坐标； 2）已知点A(3，（3),B(3，6)，点C在圆x2y29上运动，求ABC的重心G的轨迹方程.[设计意图]为尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，分两部分来布置作业，一部分是课本的习题，要求学生必做，巩固基础知识；另一部分是课外选题，用于深化学生的思维深度. （九）课堂评价，学习之星

充分利用“班级优化大师APP”，记录总结学生的课堂表现，最后利用实时积分功能进行总结，将数据评价引入课堂，培养学生良好的数学学习习惯，激发学生数学学习的兴趣. 【板书设计】

主板书区 课题 主要知识： 1. 共线向量的坐标表示 2. 线段中点坐标公式 3. 线段定比分点坐标公式 总之，深度教学是相对于浅层教学而言的，是注重批判性的理解、整合学习内容、建构知识体系和有效进行知识迁移的教学活动．深度教学理念下的高中数学教学能有效克服数学浅层次的学习，能充分促进学生数学核心素养的发展，是高效课堂顺利实现的保障．

多媒体辅助区 副板书区 课件展示、手机跟拍、实例题分析计算过程 时传输、课堂评价