2020年湖南省邵阳市中考数学试题和答案

2020年湖南省邵阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）2020的倒数是（ ） A．﹣2020

B．2020

C．

D．﹣

2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ） A．3.45×1010元 C．3.45×108元

B．3.45×109元 D．3.45×1011元

4．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ） A．3

B．﹣

C．

D．﹣2

5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平

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移后的函数图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

6．（3分）下列计算正确的是（ ） A．5

+

＝8

B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3 D．

＝a﹣2

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2

7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（ ）

A．AE＝CF FCD

B．∠AEB＝∠CFD D．BE＝DF

C．∠EAB＝∠

8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

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A．（a，b）

B．（﹣a，b）

C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）

9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）

A．6m2

B．7m2

C．8m2

D．9m2

10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作： （1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．

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若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（ ）

A．135°

B．120°

C．112.5°

D．115°

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）因式分解：2x2﹣18＝ ．

12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是 ．

13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

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14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；

（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E； （3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线段AD的长度约为 cm．（结果保留两位小数，参考数据：

＝1.414，

＝1.732，

＝2.236）

15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为 ． 31

2 3

6

16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为8平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ．

17．（3分）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该

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弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为 ．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝

，过

点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为 ．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19．（8分）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+20．（8分）已知：|m﹣1|+（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．

21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．

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|﹣2sin60°．

＝0，

（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若AC＝4，求⊙O的半径．

22．（8分）2019年12月23日，湖南省批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

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xx学校“停课不停学”网络学习时间

调查表 亲爱的同学，你好！

为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．

平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 A B C D

学习时间（小时）

0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤5 t＞5

（1）本次接受问卷调查的学生共有 人； （2）请补全图①中的条形统计图；

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为 度； （4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？

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24．（8分）2020年5月，全国“”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

25．（8分）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．

（1）请你猜想AF与DM的数量关系是 ．

（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．

①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）

②求证：AF⊥DM；

③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求

的值．（可不写过

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程，直接写出结果）

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣

x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒

5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值； （4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

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答案

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．参：解：∵2020×∴2020的倒数是故选：C．

2．参：解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意； B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意； 故选：A．

3．参：解：根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450亿＝345000000000＝3.45×1011． 故选：D．

4．参：解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，

由根与系数的关系：x1+x2＝故选：A．

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＝1

，

，

5．参：解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3， 解得

，

，

， ，

∴正比例函数解析式为

设正比例函数平移后函数解析式为把点（1，﹣1）代入∴

，

， 得

∴平移后函数解析式为故函数图象大致为：

．

故选：D． 6．参：解：A.

，故A选项错误；

B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项错误； C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项错误； D.故选：D．

7．参：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF， ∴∠ABE＝∠CDF，

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，故D选项正确．

A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；

B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；

C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；

D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意． 故选：A．

8．参：解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．

A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；

C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意； 故选：B．

9．参：解：假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：

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，

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：故选：B．

10．参：解：∵折叠，且∠P1MA＝90°， ∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°， ∵折叠，

∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°， ∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°， 故选：C．

，解得x＝7．

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11．参：解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）， 故答案为：2（x+3）（x﹣3）．

12．参：解：设点A的坐标为（xA，yA），AB⊥y， 由题意可知：∴yA•xA＝4，

又点A在反比例函数图象上，

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，

故有k＝xA•yA＝4． 故答案为：4．

13．参：解：甲的“送教上门”时间的平均数为：

，

乙的“送教上门”时间的平均数为：甲的方差：乙的方差：因为

，

，

， ，

所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定． 故答案为：甲．

14．参：解：由作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝AB＝5cm，AE＝AD， ∴AC＝

∴AE＝AC﹣CE＝5∴

故答案为：6.18．

15．参：解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：

，

设第二行中间数为x，则设第三行第一个数为y，则∴2个空格的实数之积为故答案为：

cm， cm，

cm．

，解得

，解得．

，

，

．

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16．参：解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12， ∴矩形的长为（x+12）． 依题意，得：x（x+12）＝8． 故答案为：x（x+12）＝8．

17．参：解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10π， ∴OB＝

，

，

在Rt△AOB中，AB＝

所以该圆锥的母线长AB为13． 故答案为：13．

18．参：解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形， ∴AB＝BE＝

，

又∵∠ABE＝30° ∴在RT△BHE中，EH＝根据题意，AB∥CF，

根据平行线间的距离处处相等， ∴HE＝CG＝

，

，

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∴Rt△ABC的面积为故答案为：．

．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19．参：解：原式＝1+2+（＝1+2+＝2．

20．参：解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0， 解得：m＝1，n＝﹣2，

（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn， 当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0． 21．参：（1）证明：如图：连接OA， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵AB＝AC， ∴∠OBA＝∠C， ∴∠OAB＝∠C， ∵∠CAD＝∠C， ∴∠OAB＝∠CAD， ∵BD是直径， ∴∠BAD＝90°，

∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，

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﹣1）﹣2×

﹣1﹣

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，

∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°， ∴∠B＝∠C＝30°， 在Rt△ABD中，BD＝∴OB＝

，

．

＝

＝

，

∴⊙O的半径为

22．参：解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2

均为矩形，

∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，

∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m， ∴AB＝2BO＝2×38＝76m；

在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，

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∴∴

， ，

．

即管道AB和BC的总长度为：

23．参：解：（1）15÷15%＝100（人）． 故答案为：100；

（2）如图，选B的人数：100﹣40﹣15﹣5＝40（人）． 条形图补充如下：

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为：360o×故答案为：18；

＝18o．

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（4）1500×＝600（人）．

故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有600人．

24．参：解：（1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元， 依题意，得：解得：

．

，

答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇（100﹣m）台， 依题意，得：解得：71≤m≤75， 又∵m为正整数，

∴m可以取72、73、74、75，

∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台；方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台；方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台；方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台．

25．参：解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD，∠ADC＝90°， 在△ADF和△CDE中，

，

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，

∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴AF＝CE， ∵M是CE的中点， ∴CE＝2DM， ∴AF＝2DM，

故答案为：AF＝2DM；

（2）①AF＝2DM仍然成立，

理由如下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN， ∵M是CE中点， ∴CM＝EM， 又∠CMN＝∠EMD， ∴△MNC≌△MDE（SAS），

∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE， ∴CN∥DE， 又AD∥BC ∴∠NCB＝∠EDA， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF， ∴∠ADF＝∠DCN，

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∴△ADF≌△DCN（SAS）， ∴AF＝DN， ∴AF＝2DM； ②∵△ADF≌△DCN， ∴∠NDC＝∠FAD， ∵∠CDA＝90°， ∴∠NDC+∠NDA＝90°， ∴∠FAD+∠NDA＝90°， ∴AF⊥DM； ③∵α＝45°，

∴∠EDC＝90°﹣45°＝45° ∵∠EDM＝2∠MDC， ∴∠EDM＝∠EDC＝30°， ∴∠AFD＝30°，

过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，

∴△ADG是等腰直角三角形，

设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝

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k，

FG＝AG÷tan30°＝∴FD＝ED＝故

＝

k，

k﹣k，

．

，

26．参：解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入得解得

，

；

，

∴抛物线的解析式为：

（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，

∵C（8，0），B（0，6）， ∴OC＝8，OB＝6． ∴BC＝10．

∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC， ∴△BOC～△CED． ∴

．

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∴CE＝3，DE＝4． ∴OE＝OC+CE＝11． ∴D（11，4）．

（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t， 当△BON～△CDM，则当△BON～△MDC，则

，即，即

不成立，舍去； ，解得：

；

若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t． 当△BON～△MCD，则∴

．

，即

，

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t． ∴解得t1＝

，

（舍去），t2＝

．

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16 ∴

，无解；

，即

，

当△BON～△DCM，则∴ON＝30﹣6t；

当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t， ∴30﹣6t＝16﹣4t， 解得t＝7（舍去）；

当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16， ∴30﹣6t＝4t﹣16，

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解得．

时，△BON～△MDC；t＝

时，△BON～△

综上所示：当MCD；

时，△BON～△DCM；

（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，

∵点D（11，4）， ∴点F（11，﹣4）． 由

得对称轴为x＝5，

∴点Q（5，4）． ∴∴

故A'Q+QN+DN的最小值为

．

，

．

．

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