二元一次方程应用归纳

重点：列方程解应用题

知识要点梳理：

知识点一：列二元一次方程解应用题的方法和一般步骤

列方程解实际应用题的关键是从问题中找出一个相等关系，然后恰当地设出未知数，把相等关系中的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样就可列出方程，这一过程可

以简单表述为：问题

方程解答．在设未知数和解答时，应注意量的单位．

综上所述，列方程解应用题的方法步骤可概括为：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．

注意：①设未知数和写答案时，单位要写清楚．

②列方程时，方程两边所表示的量应该相同，并且各项的单位要一致． ③对于求得的方程的解，还要看它是否符合题意．

知识点二：常见的一些等量关系

1. 销售中的盈亏问题：

（1）

（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)； （3）实际售价＝标价×打折率；

（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率； 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

2. 积分问题：积分问题多出现在球赛和知识竞赛中，赛事的规则不同，得分也不一样，一般地，球赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分；知识竞赛得分＝对题得分＋错题得分＋不做题得分。

注意：从比赛的规则入手正确找出相等关系是列方程的关键。

3．行程问题：

（1）路程=速度×时间 （2）相遇路程=速度和×相遇时间 （3）追及路程=速度差×追及时间 （4）顺流速度=静水速度+水流速度

（5）逆流速度=静水速度－水流速度 （6）顺水速度－逆水速度＝2×水速。 4．形积变化中的方程 (1)相关公式

①长方体体积＝长×宽×高。 ②圆柱体体积＝底面积×高。 ③长方形面积＝长×宽；长方形周长＝2×(长＋宽)。 ④圆的面积＝π×半径2；圆的周长＝直径×π。 (2)“等积变形”中常见的情况

①形状发生了变化，而体积没变。 ②形状、面积发生了变化，而周长没变。 ③形状、体积发生了变化，但根据题意能找出体积之间的关系，

把这个关系作为等量关系。

④形状、周长发生了变化，但概括题意能找出周长之间的关系，求面积。 (3)形积变化问题

形积变化，即图形的形状改变时，面积也随之发生变化。

注意：在形积变化时，图形的形状和面积都发生了变化，应注意在已知题目中找出不变的，

也就是找出等量关系列出方程。

5．工程问题： 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．

6．银行存贷款问题：

（1）利息=本金×利率×期数 （2）实得利息=利息-利息税 （3）利息税=利息×利息税率 （4）年利率＝月利率×12

（5）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

7．数字问题： 已知各数位上的数字。写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：a，b分别为一个两位数的个位上，十位上的数字，则这个两位数可以表示为10b+a．

8．调配问题： 从调配后的数量关系中找等量关系，注意弄清调配对象流动的方向和数量．

9．浓度问题： 溶液质量=溶质质量+溶剂质量

浓度= 溶质质量=溶液质量×浓度．

知识点三：设计方案的选择问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

经 典 例 题

类型一：销售中的盈亏问题

1、某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率等于5%的售价打折出售，售货员应该打几折出售此商品?

思路：根据利润率=，利润=售价－进价，若设售货员可以打x折出售此商品，

则售价为，利润为

元，

解：设售货员最低可以打x折出售此商品，得，。

总结升华：打1折就是乘，打2折就是乘，打折就是乘。因为打x折出售，即

售价。列方程解应用题主要有两方面的困难：一是找不到等量关系；二是找出等量关

系后不会列方程，找等量关系要充分利用题目给出的已知条件，着重分析已知量与未知量之间的数量关系，列出含有未知量的具有等量关系的两个不同的代数式，用“＝”号连接两个代数式，从而得到方程。

类型二：积分问题

2、阳光中学在兴办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，一共得22分，已知这支球队只输了2场，那么这支球队胜几场？平几场？

解：设这支球队胜x场，那么平了场数为[(12-2)－x)]=10-x，根据题意，得 3x＋(10－x)×1＝22，解方程得x＝6，所以10－x＝10－6＝4

总结升华：题中的等量关系是：球队得分＝胜场得分＋平场得分，把球赛与方程联系起来，培养运用方程知识解答和分析实际问题的能力。

类型三：行程问题

3、A、B两码头相距150km，甲、乙两船分别从两码头开始相向而行，2. 5 h相遇，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，问甲、乙两船的速度各为多少?

思路：这是行程问题中的相遇问题，设乙的速度为x km／h，则甲的速度1.5x km／h，相遇时，甲、乙各自的行程分别为2.5×1.5x km、2.5x km，它们的和等于总路程． 解：设乙船速度为x km／h，甲船速度为1.5x km／h．

由题意得2.5×1.5x + 2.5x=150， 解得x=24．

总结升华：相遇问题等量关系：甲路程+乙路程=总路程。相遇路程=速度和×相遇时间

类型四：形积变化中的方程

4、用直径是20mm的圆钢1米，能拉成直径是2mm的圆钢多少米？

思路：本题是等积变形问题。等量关系是拉伸前的体积＝拉伸后的体积。涉及公式是圆柱体的体积V＝πr2h。

解：设能拉成xmm，依题意得π·×1000＝π··x，

解得x＝100000,100000mm＝100m。 答：能拉成直径是2mm的圆钢100m。

总结升华：解应用题时单位应统一，比如本题如果没有统一单位。设能拉成圆钢x米，列方

程π··1＝π·x，解得x＝100。尽管结果是对的，但是所列方程是错误的，

与实际生活不符。

类型五：工程问题

5、一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要24天完成，现在甲、乙合作3天后，甲因事离去，由乙、丙合作，问乙、丙还要做几天才完成这项工程? 思路：这是一道多人合作的工程问题，本题明显的等量关系是甲、乙合作的工量+乙、丙合

作的工作量=总工作量，设还需x天完成，那么甲、乙合作的工作量为。乙、丙合作

的工作量为，由上面等量关系可列方程。

解：设还需x天完成，由题意列方程得，解得x=3．

答：乙、丙还要做3天才能完成这项工程．

总结升华：弄清关系式：总工作量=各单位工作量之和；并且没有告诉总工作量的工程，总工作量都看作“1”。

类型六：银行存贷款问题

6、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问它存入的本金是多少元？

思路：这是一个实际生活中常见的问题，这里利息税是指把利息的20%上缴国家，本息则指本金与利息的和。

解：设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×x×5即0.1x元， 这些利息需交利息税0.1x×20%即0.02x元

由题意得：x+0.1x-0.02x=1080 ∴x=1000

答：他存入银行的本金为1000元。

类型七：数字问题

7、 一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数和比十位上的数大 2， 又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数。

思路：本题要求一个三位数，即要求出个、十、百位上的数字，根据第一个条件，设百位上的数为x更好一些，此时，十位上的数为2x，个位数字可由第三个条件得到14-2x-x，再由第二个条件列出方程。

解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x 由题意得：x+14-2x-x=2x+2 ∴x=3

∴这个三位数为365

类型八：调配问题

8、现有甲、乙两项工程，甲的工作量是乙的2倍，第一组有19人，第二组有14人（假设人均工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工，又同时完成呢? 思路：因为甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的人数的2倍．

解法一：设从第二组抽调x人去第一组，则抽调后第一组人数(19+x)人，第二组为(14- x)人， 由题意得：19+x=2(14- x)， 解得x = 3．

答：从第二组抽调3人去第一组，由第一组去做甲工程，第二组去做乙工程． 解法二：设第一组调出y人去第二组，由第二组做甲工程，得

，解得

。

答：从第一组抽调8人去第二组，由第一组去做乙工程，第二组去做甲工程． 总结升华：解题关键 从工作量的关系推出所需人数的关系。

类型九：方案选择

9、为了准备小颖6年后上大学的学费5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式：

（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存下一个3年期；

（2）直接存一个6年期． 参照下图，你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?

思路：利用本息计算公式、利息计算公式：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数，可分别算出两种储蓄方式的本金．

解：设开始存入x元．

如果按照第一种储蓄方式有x (1+3.24%×3)(1+3.24%×3)=5000，解这个方程，得x≈4153； 如果按照第二种储蓄方式有

，解这个方程得x≈4112．

所以，第一种储蓄方式开始存入的本金约需4153元，第二种储蓄方式开始存入的本金约需4112元．

因为4153>4112，因此，按第二种储蓄方式开始存人的本金少．