井研县二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

井研县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（ ） A．

B．6

C．

D．3

2． 函数f（x）=﹣x的图象关于（ ） A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 A．￢p B．￢p∨q

C．坐标原点对称 D．直线y=x对称

3． 已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ）

C．p∧q D．p∨q

4． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 5． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ） A．k360°+463°

B．k360°+103°

C．k360°+257°

D．k360°﹣257°

6． 已知实数x，y满足有不等式组A．2

B．

C．

D．

，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（ ）

7． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线 A．

B．

C．

上，则=（ ）

D．±

2xy208． 若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3

''9． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f(x)0，

设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb

10．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（ ） A．13

B．26

C．52

D．56

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精选高中模拟试卷

11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为（ ） A．1﹣（）a

B．（）a﹣1

C．1﹣2a D．2a﹣1

，则关于x的方程

12．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）

A．9214 B．8214 C．9224 D．8224

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.

二、填空题

yxy22xy3x213．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx13214．已知函数f(x)xax3x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a ．

15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与函数

fx2x2a2x0和gx2x3a2x0均相切（其中a为常数），切点分别为Ax1,y1和Bx2,y2，则x1x2的值为__________．

16．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

17．已知实数x，y满足约束条

，则z=

的最小值为 ．

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18．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．

三、解答题

19．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（1）求a2，a3，a4；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．

（I）当a=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

21．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的最小值为0． （i）求实数a的值；

（ii）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[an]=2．

（n∈N）．

*

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22．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

23．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

时，求的值． 3第 4 页，共 17 页

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

24．已知f（α）=（1）化简f（α）；

2

（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cosα的值．

，

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井研县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得：S15=故选：D．

2． 【答案】C

【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x） ∴

是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称

=15a8=45，则a8=3．

故选C．

3． 【答案】D

【解析】解：命题p：2≤2是真命题，

2

方程x+2x+2=0无实根，

2

故命题q：∃x0∈R，使得x0+2x0+2=0是假命题，

故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题， 命题p∨q是真命题， 故选：D

4． 【答案】A

，

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3）， ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z） 即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

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【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

6． 【答案】B

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

联立联立

，得A（a，a）， ，得B（1，1），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z， 由图可知zmax=2×1+1=3，zmin=2a+a=3a， 由6a=3，得a=． 故选：B．

【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

7． 【答案】D 【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，

上，

根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10， 则故选：D．

=

=±

=±．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．

8． 【答案】B

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【解析】

31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 9． 【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称．

10．【答案】B

【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，

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代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13==故选B

=

=26

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．

11．【答案】C

【解析】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则 x≥1，f（x）=

∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，

∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），

∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1）， ∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a， ∴x3=1﹣2，

a

，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，

∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2+6=1﹣2，

a

a

故选：C．

12．【答案】A

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二、填空题

13．【答案】2,6 【解析】

考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.

14．【答案】5 【解析】

试题分析：f(x)3x2ax3,f(3)0,a5． 考点：导数与极值． 15．【答案】

'2'56 27第 10 页，共 17 页

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【解析】16．【答案】﹣2

≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题，

则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

17．【答案】

．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=

=32x+y，

设t=2x+y， 则y=﹣2x+t，

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平移直线y=﹣2x+t，

由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小， 此时t最小． 由

，解得

，即B（﹣3，3），

代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3． ∴t最小为﹣3，z有最小值为z=故答案为：

．

=3﹣3=

．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

18．【答案】

【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（1）由an+1=，可得a2=

=，

a3=

=

=

，

a4=

==．

（2）猜测an=

（n∈N*

）．

下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a1=a， 右边=

=a，猜测成立．

②假设当n=k（k∈N*

）时猜测成立，

即ak=

．

则当n=k+1时，ak+1==

=

．

故当n=k+1时，猜测也成立． 由①，②可知，对任意n∈N*

都有an=

成立．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f′（x）=﹣2x+3﹣=﹣

=﹣

，

函数f（x）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在[，2]最大值是f（1）=2，

又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（）， 故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．

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=

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2

（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x﹣ax+1=0有两个不

同正根． 故a应满足

⇒

⇒

，

．

∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）． 综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

=．

a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意； 当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=

，

由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．

所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0． 因此，a=1．

（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1+

+lnan．

由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n≥3，n∈N时，2＜an＜． 下面用数学归纳法进行证明．

①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．

②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜ak＜成立． 则当n=k+1时，ak+1=1+

+lnak，

由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，

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所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜．

故2＜ak+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立． 根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜an＜成立． 综上可得，n＞1时[an]=2．

【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．

22．【答案】

【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD． ABB1A1上的射影，

，

又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=于是在Rt△BEM中，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，

事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 共面，所以BG⊂平面A1BE

因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．

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【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．

23．【答案】（1）详见解析；（2）233.

【解析】（1）由于AB2，AMBM2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM， ∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

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24．【答案】

【解析】解：（1）f（α）=

=

=﹣tanα；…5（分） （2）∵f（α）=﹣2， ∴tanα=2，…6（分）

2

∴sinαcosα+cosα=

===

．…10（分）

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