定积分教案

《数学分析》

之九

第九章 定积分（14+4学时） 教学大纲

教学要求：

1． 理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2． 了解上和与下和及其有关性质

3． 理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4． 熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5． 了解积分第一中值定理 6． 掌握变上限积分及其性质

7． 熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法 教学容：

问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 § 1 定积分概念 （2学时） 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际教学目的 问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点 深刻理解并掌握定积分的思想 教学难点 理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限 课 型 理论讲授 教法选择 讲 练 结 合 教 学 过 程 复习极限的定义，极限的唯一性定理； 导数的引入例子及其物理意义； 不定积分概念，及其与导数运算的性质； 定积分是特殊和式的极限 一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积: 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)0。则由曲线yf(x)，直线xa，xb以及x轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。 在区间[a,b]任取n1个分点，依次为 教学媒体 教法运用及板书要点 ax0x1x2xn1xnb 它们将区间[a,b]分割成n个小区间[xi1,xi]，i1,2,,n。记为xi，即xi[xi1,xi]，i1,2,,n。并用xi表示区间[xi1,xi]的长度，记 Tmax{x1,x2,,xn}，再用直线xxi，i1,2,,n1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间[xi1,xi]，i1,2,,n上任取一点i，i1,2,,n，作以f(i)为高，xi为底的小矩形，其面积为f(i)xi，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[xi1,xi]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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n 从而 Sf(i)xii1n 。 SlimT0f()xii1i。 2. 变力所作的功: 思想：以“不变”代“变” ：方法：分割；近似；求和；取极限 变力所作的功W 设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b，并设F处处平行于x轴（如下图），同上述，有 WF(i)xii1n， nWlimF(i)xi而 T0i1 根据上述两个例子建立数学模型 对于函数yf(x)x[a,b]，按照上述方法，讨论“极限” 方法：分割；近似；求和；取极限 二、定积分的定义: 3.有关概念： 分割；分割T的模 积分和（黎曼和）； 可积， 黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限 函数yf(x)x[a,b]，方法：分割；近似；求和；取极限 定义 设f(x)是定义在[a.b]上的一个函数，对于[a.b]的一个分割T{x1,x2,,xn}，任取点ixi，i1,2,,n，并作和式f()xii1ni。 称此和式为f(x)在[a.b]关于分割T的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割T有关，也与点i的取法有关）。 又设J是一个确定的实数，若对任给的0，总存在0，使得对[a.b]的任意分割T，以及 ixi，i1,2,,n，只要 T，就有 第 页 页脚

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f()xii1niJ。 则称函数f(x)在[a.b]上可积或黎曼可积。数J称为函数f(x)在[a.b]上 的定积分或黎曼积分，记作： 其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a.b]称为积分区间，f(x)dxaJf(x)dxb称为被积式，a,b分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义； 连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分. 解 取 取 等分区间 作为分法 T,xib n.= . 由函数f(x)在区间[0,b]上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数f(x)1在区间[0,1]上可积 ,用定义求积分 1x2. 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 页脚

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. 四、小结：指出本讲要点 定积分的概念（几何意义）； 定积分的问题背景； 若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。 作业： 课后1. 2.（1）（2） 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 § 2 Newton — Leibniz 公式（2学时） 教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点 应用定积分计算形式的极限 课 型 理论课 教法选择 讲 练 结 合 教 学 过 程 教学媒体 教法运用及板书要点 一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分baf(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a.b]有关，而与积分变量所用的符号无关。 二、定积分的计算 （1），按定义计算 （2）应用下列定理 Th9.1 （ N — L公式 ） 若函数yf(x)在【a，b】上连续，且存在原函数F(x)，即F(x)f(x),x[a,b]，则yf(x) 在【a，b】上可积，且 baf(x)dxF(b)F(a)F(x)|ba 这个公式称作（ N — L公式 ） ( 证明思路 函数函数yf(x)在【a，b】上连续，则一致连续) （根据定积分定义与极限定义证明） 证明：（略） 例1求 ; 例2利用（ N — L公式 ） 求下列定积分 1）b; axndx,nN， 页脚

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2）3）4）5）baexdx, bab1dx, x2sinxdx, abax4x2dx, 例3 求 . 小结：1.利用N-L公式求定积分的步骤。 2.利用定积分定义计算形如 的极限时，找被积函数的方法； 利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。 练习 p.207 第二题 作业p206,1.2 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 教学目的 §3可积条件（2学时）（一） 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法. 教学重点 掌握可积的充要条件 教学难点 函数可积性问题的证明； 课 型 理论课 教法选择 讲授 教 学 过 程 教法运用及板书要点 教学媒体 一、必要条件: 定理 9.2 若函数 f(x) [a,b]， f(x)在区间[a,b]上有界. 证明方法：反证法 回顾f(x)在区间[a,b]上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插入点任意，介点选取任意） 给出证明： 例1 讨论Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性 . 强调 可积与函数有界之间的关系 二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 . 复习极限的双逼原理 方案: 定义上和S(T)和下和s(T). 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . . 页脚

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设T={xii1,2,,n}为对[a,b]的任一分割。由 f(x) 在[a,b]上有 界知，它在每个xi上存在上、下确界： Misupf(x)miinff(x)xxi,xxi,i1,2,,n. n作和 i1，， 分别称为 f(x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统i1S(T)Mixins(T)mixi称达布和）任给ixi，i1,2,n，显然有 s(T)f(i)xiS(T). 说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点i的取法无关。 2. Darboux和: 以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界. 并设 , 其中 和 分别是函数f(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界 Darboux和定义： 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 S(T)、s(T)和 积分和 因此有 . 和 的几何意义 . 唯一确定.分别用记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与积分和.是数集(多值) . 但总有 s(T) S(T) *3. Darboux和的性质: 分点增加，上和不增，下和不减. 定理9.3（可积准则）函数f在[a,b]上可积的充要条件是：对任意的0，总存在相应的分割T，使得 S(T)s(T) （本定理的证明，参见§6） 定理9.3的几何意义 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 设iMimi,并称为f(x)在xi上的振幅，有必要时记为i。则有 f S(T)s(T)ixii1n。 定理9.3 函数f(x)在[a,b]上可积对0，T，使得 xii1ni。 不等式S(T)s(T)或 xii1ni 的几何意义：若函数f(x)在 [a,b]上可积，则p.209图9-7中包围曲线yf(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。 三、小结： 可积的必要条件与可积准则 可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法） 当函数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时, 可试用f(x)在区间 [a,b]上的振幅 时, 倘能用总长小于 作 的估计 , 有 . 此, 否则f(x)为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 区间上有 的一部分分点，在区间 [a,b]的其余部分作分割，使在每个小< 对如此构造的分法 , 有 , < . 作业：p212 1 和2

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 教学目的 §3可积条件（2学时）（二） 进一步理解可积的必要条件以及可积准则，掌握可积函数类，熟悉证明可积性问题的思路和方法. 教学重点 熟记可积函数类 教学难点 应用可积的充要条件，证明函数的可积性 课 型 理论课 教学媒体 教法选择 讲授 教 学 过 程 教法运用及板书要点 一、复习可积的必要条件与可积准则 二、可积函数类 可积函数的充分条件 1．闭区间上的连续函数必可积： 定理 9.4 若函数yf(x)是[a,b]上的连续函数，则函数yf(x)是[a,b]上可积。 证明思路：应用 闭区间上的连续函数一致连续 根据定积分的定义，应用可积准则 （ 给出证明 ） 2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . 定理9.5 若函数yf(x)是[a,b]上的有界且仅有有限个间断点的函数。 则函数yf(x)是[a,b]上可积。 证明思路：不失一般性，假设函数yf(x)在[a,b]上仅有一个间断点的情形，并假设该间断点为b。 取特殊的分割，应用可积准则。 （ 给出证明 ） 推论1 闭区间上按段连续函数必可积 . 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 推论2 设函数f(x)在区间[a,b]上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数f(x)在区间[a,b]上可积. 例 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： 定理9.6 若函数yf(x)是[a,b]上的单调函数，则函数yf(x)在 [a,b]上可积。 证明思路： （ 证明过程 ） 例2 用两种方法证明 在[0,1]上可积. 例3 证明黎曼函数 q1x,(p,q)1,qpp f(x)q0x0,1和(0,1)内的无理点在区间【0，1】可积，且10f(x)dx0 小结： 常见的可积函数类（三类） 证明可积函数的方法 作业: p212 3 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 § 4 定积分的性质（2学时）(一) 教学目的 会用定积分的性质及其证明方法证明不等式等有关问题. 教学重点 定积分的性质和证明方法的运用 教学难点 难点利用积分的性质证明问题. 课 型 教法选择 教 学 过 程 一.定积分的性质: 1.线性性质: 性质1 若函数f(x)在[a,b]上可积，k为常数，则kf(x)在[a,b]上也可积，且 。 即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同） （证明：根据定积分的定义给出证明） aa教学媒体 教法运用及板书要点 bkf(x)dxkf(x)dxb性质2 若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积，则f(x)g(x)在[a,b]上也可积，且有 ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxaabb。 （类似于性质1的证明，由学生完成，板演） 性质1和性质2 可以写成一个式子： （引导学生写出）  ba(kf(x)hg(x))dxkf(x)dxhg(x)dx aabb性质3 若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积，则f(x)g(x)在[a,b]上也可积。 注意：一般地 baf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxaabb。 （该性质证明有一定技巧，引导学生完成） 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 性质4（关于积分区间的可加性） 函函数f（x）数在[a,b]上可积 c(a,b)，f（x）在[a,c]与[c,b]上都可积，此时有 baf(x)dxf(x)dxf(x)dxaccb。 证明：应用定积分的定义和第三节习题1的结论。 规定1 当ab时， 规定2 当ab时， aaf(x)dx0a。 baf(x)dxf(x)dxb。 注：有了这个规定后，性质4对a,b,c的任何大小顺序都成立。 性质5 设函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)0，x[a,b]，则 。 例 设函数f(x)在[a,b]上连续，f(x)0，x[a,b]，且在f(x)不恒等于0，则 abf(x)dx0b。 例1 证明：函数f(x)在[a,b]上连续，且 af(x)dx0bf(x)0，af(x)dx0， 则f(x)0。 推论（积分不等式性质）若函数f(x)和g(x)均在[a,b]上可积，且f(x)g(x)，x[a,b]，则 baf(x)dxg(x)dxab。 f(x)也在[a,b]上可积，且 性质6 若函数f(x)在[a,b]上可积，则baf(x)dxf(x)dxab。 注意：此命题的逆一般不成立，如函数 1，x为有理数f(x)1,x为无理数。 例2 设 2x1,1x0f(x)xe,0x1， 求 。 说明： 对于分段函数的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。 小结：回顾本节知识 练习，p 219，2. 3 作业：p。219 1.2.3 11f(x)dx页脚

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 § 4 定积分的性质（1学时+1学时习题课）(二) 教学目的 掌握积分第一中值定理的容和几何意义 教学重点 积分中值定理 教学难点 积分中值定理 课 型 理论 +实践 教法选择 讲 练 结 合 教 学 过 程 复习积分的6个性质定理和一个推论 二 积分中值定理 定理9.7 （积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，使得 b教学媒体 教法运用及板书要点 af(x)dxf()(ba)。 根据介值定理和连续性给出证明。 积分第一中值定理的几何意义： 如图，若f(x)在[a,b]上非负连续，则yf(x)在[a,b]上的曲边梯形的面积等于以 f()为高，[a,b]为底的矩形的面积。 一般地，称 1bf(x)dxaba 为 f(x) 在 [a,b] 上的平均值。 例3 试求f(x)sinx在[0,]上的平均值。 定理9.8 （推广的积分第一中值定理） 若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点[a,b]，使得1bf(x)dxbaa  baf(x)g(x)dxf()g(x)dxab 类似于定理1的证明，给出定理的证明 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 页脚

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第 页 说明：当g(x)1时，即为积分第一中值定理。 注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点必能(a,b)。 二. 举例: 例1 设 . 试证明: ||T||0limi1nf(i)g(i)xifgdx . ab其中和是的任二点, { }, . 例2 比较积分 的大小. 设 但 证明不等式 . 证明 >0. . 证明分析 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式 , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式. 例4 页脚

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. 小结：积分的性质定理 和 积分中值定理 课后习题处理：P．219 1. 5. 作业：p。219 2. 3。注记: 1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好. 2、P217注意2中的 x2x,1x0,F(x)xe1,0x1. 这里 F(x)取ex1是因为P207题3要求F(x)连续. 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第 页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 教学目的 §5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）（一） 掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分. 教学重点 变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分 教学难点 变上限的定积分和它的分析性质的应用. 课 型 理论+实践 教法选择 讲授+练习 教 学 过 程 一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 . 1.变限积分:设f(x)在[a,b]上可积，则对x[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是，由 ， x[a,b] 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分： ax教学媒体 教法运用及板书要点 (x)f(t)dt(x)f(t)dtxb，x[a,b] (x)和(x)统称为变限积分。 说明：由于 bxf(t)dtf(t)dtbx， 因此，只要讨论变上限积分即可。 定理9.9 ( 面积函数的连续性 ) 若 f(x)在[ [a,b]上可积，则(x)f(t)dtax 在[a,b]上连续。 思路：表达面积函数 . 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得 2.微积分学基本定理： 定理 9.10 微积分学基本定理 （原函数存在定理）若函数 f(x)在[a,b]上连续，则 (x)f(t)dtax 页脚 .

在[a,b]上处处可导，且 (x)dxf(t)dtf(x)adx，x[a,b]。 即当 f 连续 时, 面积函数 可导且在点 是 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 的一个原函数 . 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了f(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 注 连续函数必有原函数. 3.积分第二中值定理 定理9.11 （积分第二中值定理）设函数f在[a,b]上可积， （i）若函数g在[a,b]上减，且 ，则存在[a,b]上的点，使得 （ii）若函数在[a,b]上增，且 ，则存在 ，使得 推论 函数f在上可积，若g为单调函数，则存在 ，使得 注：若函数g(x)在[a,b]上单调递减，令h(x)g(x)g(b)，则对h(x)应用定理9-11即得；若函数g(x)在[a,b]上单调递增，h(x)g(x)g(a)，则对h(x)应用定理9-11即得。 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 二．换元积分法与分部积分法： 1.定积分换元积分法 (x)定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数f(x)在[a,b]上连续，在[,]上连续可微，且满足 ()a，()b，a(t)b，t[,]， 则有定积分的换元积分公式： 。 注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例1 计算 abf(x)dxf((t))(t)dtf((t))d(t)101x2dx。 注： 令xsint或xcost即可。 例2 计算 。 注： 令xcost，逆向应用换元积分公式即可。 例3 计算 20sintcos2tdtJ注： 先令xtant，再令 ln(1x)dx01x2。 1u即可。 4t 小结：1. 变上限的定积分和它的分析性质 2. 积分第二中值定理及其推论 3. 换元积分法 练习： 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 教学目的 §5 微积分基本定理.定积分计算（续）（1学时+1学时习题课）（二） 掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分. 教学重点 变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分 教学难点 变上限的定积分和它的分析性质的应用 课 型 理论+实践 教法选择 讲授+练习 教 学 过 程 回顾复习：换元积分法 2.定积分分部积分法 定理9.13 （定积分的分部积分法） 若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式： 或 例4 计算 教学媒体 教法运用及板书要点 babu(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dxaababb， u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)ab。  例5 计算 e1x2lnxdx 。 Jn2sinnxdx0和In2cosnxdx0 解 = ； 解得 直接求得 ， 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 . 于是, 当 为偶数时, 有 ;当 为奇数时, 有 . 三 泰勒公式的积分型余项 1.设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)有n1阶连续导数，令xU(x0)，则 n(n1)(xt)f(t)dt[(xt)nf(n)(t)n(xt)n1f(n1)(t)n!f(t)]xx0x0 xx 0f(t)dtn!f(x)n![f(x)f(x)(xx)x0000 f(n)(x0)(xx)n]n!Rn(x)n!。 其中Rn(x)即为f(x)的泰勒公式的n阶余项。由此可得 1x(n1)nf(t)(xt)dtRn(x)n!x0， 即为泰勒公式的积分型余项。 由于f(n1)(t)连续，(xt)n在[x0,x]（或[x,x0]）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，x0(xx0)，01，使得 x11f(n1)()(xt)ndtf(n1)()(xx0)n1x0Rn(x)n!(n1)!。 即为拉格朗日型余项。 2. 若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 1(n1)nf()(x)(xx0)R(x)nn! ， x0(xx0)，01。 而 其中(x)n(xx0)[xx0(xx0)]n(xx0)(1)n(xx)n1，故 页脚

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第 页 1(n1)nn1f(x(xx))(1)(xx)000Rn(x)n!，01， 称为泰勒公式的柯西型余项。 特别地，当x00时，柯西型余项变为： 1(n1)nn1f(x)(1)xR(x)nn! ，01。 注： 1、变上限的定积分求导,补充上限是一个函数情况.按复合函数求导法则来进行 2、换元积分法和分部积分法对照着不定积分的区别与练习, 注意“换元换限”就可以了 作业：P229 3. 4 .(2)(4)(6)(8)(10)(12) 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 习 题 课 （2学时） 教学目的 1.解答学生在处理课后习题中遇到的问题。2. 能力提高 教学重点 变上限函数的导数 教学难点 变上限函数的导数的应用 课 型 理论+实践 教法选择 讲授+练习 教 学 过 程 一． 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1 证明不等式 教法运用及板书要点 教学媒体 . 证 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , 例2 证明不等式 . 证 考虑函数 , . 易见对任何 , 在区间 页脚 上 和 均单调, 因 .

此可积,且有 , 注意到 . , 就有 而 , . 因此有 . 取 , . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ， 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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第 页 综上 , 有不等式 . 2. 某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, 均有 . 若对任何 和 , , 即得 . 令 式 , 注意到函数 f(x)和g(x)在区间 [a,b]上可积, 即得积分不等 倘若函数 和 连续 , 还可由 . . 二. 变上限函数的导数 : 例3 求 例4 求 例5 求 . 例6 设时函数f(x)连续且 页脚

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. 求. 连续且 例7 设函数 . 求 和 . . 两端求导, 解 令 f(7)例7 设 . = 试证明 : 小结： 1. 12. = . 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

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