抛物线焦点弦性质

抛物线的焦点弦

【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现

两个题目。

【问题探究】

2y【问题】已知抛物线2px(p0),过焦点F作一直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),

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【探究1】求弦长|AB|。

pp)(x2)x1x2p22。

ABAFBF(x1【结论1】ABx1x2p。

【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|？

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(1)当

2时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,AB2p结论得证；

(2)当

2时,设直线L的方程为：

y(xpp)tanxycot22，代入抛物线方，即：

222y2pycotp0yyp,y1y22pcot，由弦长公式得12程得：，由韦达定理

AB1cot2y1y22p(1cot2)2psin2。

【结论2】若直线l的倾斜角为，则弦长

AB2psin2。

【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？

2p2pAB2sin的最小值为2p。

sin21【结论3】过焦点的弦中通径长最小。

【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系？

y1y2(y1y2)2P2x,x,x1x22y1y2p2，12p22p4。 4P22p22yyp12【结论4】(1)；(2)x1x2=4。

【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？

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设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1, 过M点作准线的

垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知:

MM1AA1BB12AFBF2AB2，所以二者相切。

【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

【探究6】连接A1F、B1 F 则 A1F、B1 F有什么关系？

AA1AF,AA1FAFA1AA1//OFAA1FA1FOA1FOA1FA;

同理B1FOB1FBA1FB190A1FB1 F。

【结论6】A1FB1F。

【探究7】刚才我们证得A1FB1为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？

由“探究5”知M1 在以AB为直径的圆上AM1BM1。

由“探究6”知A1FB1为直角三角形，M1 是斜边A1 B1 的中点，

A1M1M1FM1FA1M1A1FAA1FAFA1，

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AA1FFA1MAA1M190，AFA1A1FM190，MFAB。 1

【结论7】AM1BM1，M1FAB。

进而可得如下结论：以A1B1为直径的圆与直线AB相切。

【探究8】点A、O、B1的位置关系？

koA因为

y1yy2y2p12,koB122px1y1py122yyp2p12，而，

koA所以

2y22pkoB1pp2y2，所以三点共线。

【结论8】点A、O、B1三点共线。

【类似结论】

（1）B、O、A1三点共线；

（2）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于x轴；(2001年高考题)

（3）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于x轴。

【探究9】FA?,FB?

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由抛物线的定义得：

FAx1pp,FBx222。

【结论9】

FAx1pp,FBx222。

【探究10】

11FAFB是定值吗？(2001年高考题)

【法1】因为直线l的倾斜角为,过A作AR垂直于x轴,垂足为R,设准线与x轴的交点

11cospRR1AA1AFR1FFRAFcosAFp2为R1,则；

11cos112BFppFAFB同理可得：。

（这实际上是极坐标的观点，想法不错）

【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。

OFAA1BF,ABBB1ABOFAF，而

AFBFAB，

OFAA1OFBB11，

1112pAA1AF,BB1BFFAFBOF又 。

（数与形的结合，这是重要的数学思想）

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2p2p22AB11sinsin22p2pFAFBFAFBM1F()sin【法3】，

（

FM1B1,M1Fp)sin。

（利用前后知识的联系，不错）

【法4】直接利用“结论9”，可得证。

112FAFBp【结论10】。

此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出：

今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃，

探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探

究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。

如：1.A1F与AM1的交点是否在y轴上？

2.BM1,AM1,A1F,B1F构成的四边形是什么四边形？

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3.线段EF平分角PEQ;

4.AFAE;BFBE

5.KAEKBE0;

26.当 2时 AEBE , 当 时 AE不垂直于BE。

【课后反思】

1、设计意图：

本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、

类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力,同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的

位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能力开发出来，促进学

生认知结构的发展,养成良好的探究习惯。

2、设计感悟：

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若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。

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