辅助圆问题

辅助圆问题

★1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上． 问题探究

(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度； (2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sinA； 问题解决

(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由．

第1题图

(1)解：∵点A、B、C均在⊙O上， ∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°， 又∵OB＝OC＝1， ∴BC＝2 ；

(2)证明：如解图①，作直径CE，连接EB， 则∠E＝∠A，CE＝2R，

∴∠EBC＝90°， BCBC∴sinA＝sinE＝EC＝2R， ∴BC＝2R·sinA;

第1题解图① 第1题解图②

(3)解：如解图②，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK， 1

在Rt△APC中，CK＝2AP＝AK＝PK， 同理可得：BK＝AK＝PK， ∴CK＝BK＝AK＝PK，

∴点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的⊙K上， BC

由(2)可知sin 60°＝AP， 243∴AP＝sin60°＝3为定值，

故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值，PA的43长度为3. ★2.问题探究

(1)如图①，已知四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：

①对角线BD长度的最大值； ②四边形ABCD的最大面积； (用含有a，b的代数式表示) 问题解决

(2)如图②，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB＝20 cm，BC＝30 cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)

第2题图

解：(1)①∵∠B＝∠D＝90°，

∴四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径， 则BD的最大值为AC， 此时BD＝AC＝a2＋b2； ②如解图，连接AC，

则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2， 111222S△ACD＝2AD·CD≤4(AD＋CD)＝4(a＋b2)． 11又∵S△ABC＝2AB·BC＝2ab，

111

∴四边形ABCD的最大面积为4(a2＋b2)＋2ab＝4(a＋b)2；

(2)如解图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于

点E，

第2题解图

∵AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，

∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin 60°＝103，EB＝AB·cos 60°＝10，S△ABC1＝2AE·BC＝1503. ∵BC＝30，

∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝AE2＋EC2＝1019， ∵∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°， ∴∠D＝45°，

则△ACD中，D为定角，对边AC为定边，

∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值， 连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC， ∴△AOF为等腰直角三角形，

ACACAO＝OD′＝2·(2)＝538，OF＝AF＝2＝519， D′F＝OD′＋OF＝538＋519，

1

S△ACD′ ＝2AC·D′F

1

＝2×1019×(538＋519) ＝475＋4752，

∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝1503＋475＋4752. ★3.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC的面积为________；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积； 问题解决

(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝ 30米，BC＝ 40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝ 90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)12；

1

【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝2BC＝3，

∴AD＝AB2－BD2＝52－32＝4，

11

∴S△ABC＝2BC·AD＝2×6×4＝12.

第3题解图① 第3题解图②

(2)如解图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，则PE∥AB， ∴△CPE∽△CAB， CPPE∴CA＝AB，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝AB2＋BC2＝4PE12∴5＝3，∴PE＝5，

111224

∴S△PBC＝2BC·PE＝2×4×5＝5； (3)存在．

如解图③，作△ABC的外接圆⊙O， ∵∠ABC＝90°， ∴AC为⊙O的直径， 又∵∠ADC＝90°，

∴点D在⊙O上， 第3题解图③ 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，

32＋42＝5，

∴AC＝AB2＋BC2＝302＋402＝50，

1

连接OD，则OD＝2AC＝25， 过点D作DN⊥AC，垂足为N， ∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD， 11

而S△ABC＝2AB·BC＝2×30×40＝600， ∴只要S△ACD最大，那么S四边形ABCD最大， 1

又∵S△ACD＝2AC·DN， 而DN≤DO＝25，

∴当DN＝25时，S△ACD最大， 1即2×50×25＝625，

∴四边形ABCD的最大面积为：600＋625＝1225(平方米)． ★4.问题探究

(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，请在△ABC外找一点M，使得∠BMC1

＝2∠BAC；

2＋1

(2)如图②，在矩形ABCD中，BC＞2AB，在矩形ABCD的内部或边上找一点Q，使得∠AQB＝45°； 问题解决

(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝10＋53，则在边CD上是否存在一点P，使得∠APB＝30°，若存在，求出PC的长；若不

存在，请说明理由．

第4题图

解：(1)如解图①，点M即为所求，且在⊙A的优弧BC上(不包含B、C两点)的点均符合要求；

第4题解图

(2)如解图②，点Q即为所求，此时AB＝AM＝BN，则在矩形ABCD︵

内的MN上的点均符合要求；

第4题解图③

(3)存在．

如解图③，作边AB的垂直平分线PN，交CD于点P，交AB于点E. 连接PA、PB，构造△PAB的外接圆⊙O，连接OA、OB，

∵AB∥CD，

∴⊙O与CD正好相切于点P， 11

∵PE⊥AB，∴EB＝2AB＝2×10＝5， ∵BC＝PE＝10＋53，

∴OE＝PE－PO＝10＋53－OB，

在Rt△OBE中，OE2＋BE2＝OB2，即(10＋53－OB)2＋52＝OB2， 解得OB＝10，

∴OA＝OB＝AB＝10，即△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝2∠APB＝60°， ∴∠APB＝30°，

在CD上任取一点P′，连接AP′、BP′，AP′交⊙O于点M，连接MB， ∴∠APB＝∠AMB＝30°≥∠AP′B， 当点P′与点P重合时，∠APB＝30°.

∴在边CD上存在一点P，使得∠APB＝30°，此时，点P在边CD的中点处，即PC＝5. ★5.问题探究

(1)如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，则△ABC的面积为________(用含a的代数式表示)；

(2)如图②，△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA＝OB＝OC＝OD＝a.若△AOD与△BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值；

问题解决

(3)如图③，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°(∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

第5题图

3解：(1)4a2；

【解法提示】如解图①，过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D， 在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝a， 3则BD＝2a，

1133

∴S△ABC＝2AC·BD＝2a·2a＝4a2.

第5题解图② 第5题解图①

(2)如解图②，分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E，交CO于点F，

∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形， OA＝OB＝OC＝OD＝a， 1212

∴S△AOD＝2a，S△BOC＝2a， 令∠AOB＝α，∠COD＝β，则 11

S△AOB＝2a·asinα，S△COD＝2a·asinβ， 12

∴S△AOB＋S△COD＝2a(sinα＋sinβ)， ∵∠AOB＋∠COD＝180°， ∴α＝90°，β＝90°，

即∠AOB＝90°，∠COD＝90°时，△AOB与△COD面积最大， 即此时四边形ABCD面积最大， 11

此时，S△AOB＝2a2，S△COD＝2a2，

1111

∴S四边形ABCD最大＝2a2＋2a2＋2a2＋2a2＝2a2；

第5题解图③

(3)有最大值，理由如下：

∵OA＝OB＝OC＝OD＝5 km，

则A、B、C、D四点在以O为圆心，5 km为半径的圆上， 如解图③，将△DOC绕O点顺时针旋转150°至△D′OB位置．连接AD′，设OB与AD′交于点E， ∵△AOD与△BOC面积是定值， ∴求S四边形ABD′O最大即可． ∠AOD′＝360°－150°－90°＝120°，

过O作OM⊥AD′于点M，过B作BN⊥AD′于点N， 在△OAM中，∠AOM＝60°， 553∴OM＝2，AM＝2，AD′＝53， 令∠MEO＝∠NEB＝α，

111

∴S四边形ABD′O＝S△AOD′＋S△ABD′＝2AD′·OM＋2AD′·BN＝2AD′·[OE·sinα1125＋(5－OE)·sinα]＝2AD′·5sinα＝2×53×5sinα＝23sinα， 当α＝90°时，sinα＝1，此时四边形ABD′O面积最大， ∴S

四边形

25311

＝，即四边形ABCD的最大面积为×5×5＋ABD′Omax

222

125375＋503

×5×5×. 2＋2＝4