语数外学习 Ｎｏ．１１．２０１３ Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第ｌｌ期 刍议高中数学学生解题错误的诊断及对策 骆毅 （厦门市杏南中学，福建摘厦门３６１０２２） 要：本文针对学生在高中数学学习中解题时出现的错误，运用教育学心理学的观点，结合数学学科自身特点，试图对学生错误 ‘ 背后的成因，如何进行准确有效科学的诊断作出系统的阐述，并对诊断后结果提出相应的对策。 关键词：解题错误；诊断；对策 中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６３５１（２０１３）一１１—０１０４一Ｏ３ 现的错误，都有可能是三个层次的错误渗透交织的结合体。而每 问题的提出 每个错误的出现都有一个主导的关 高中数学的学习常常会陷入一种困境：投入了大量的时问， 个层次本身也有丰富的内涵，有些问题还是屡做屡错，数学水平始终在原地打转。这时候，学 键因素。下面，笔者将分层次结合实例，对学生在解题中出现的 生心里是很苦闷的，他非常期待老师能针对自己的学习问题进行 错误做个诊断。第一层次，基础性与操作性的错误。这个层次的错误是学生 有效的诊断。就如同病人期待医生对自己的疾病，准确诊断出病 一、它包括计算出错（如解方程、指数运算、对数运算、不 因，进而对症下药。从另一个角度，作为教师从学生的错误中，能够 最常犯错误，记忆出错（如公式、概念、性质、定 准确地诊断出学生的学习问题及其原因，这样在教学中才能有的放 等式计算、三角计算等出错），理、特殊值等再现时出错），审题出错（如数字、符号、式子、文字等 矢，采取有效的措施，及时疏导和补救，才能真正做到有效教学。 理解出错（如题意、概念、图形、表达式等理解出错）。 作为一位高中数学教师，对学生解题的错误要进行系统的分 看错），析是非常必要的。首先，教师可以通过错误来发现学生的不足， 从而采取相应的补救措施；其次，错误从一个特定的角度揭示了 案例１：已知集合Ａ＝｛ＹｌＹ＝一 ＋１｝，Ｂ＝｛ＹｌＹ＝ 一１｝，求 Ａｎ曰． 学生掌握知识过程中存在的问题；再次，错误对于学生来说也是 不可避免的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试产生的暂 时性结果。 二、对于“错误”与“诊断 的科学解读 ＝错解：由方程组 ｌ １ ，解得｛Ｌ，ｘＪｙ，：＝ ｕｌ ｉ Ｌ，ｘｙ，：＝０ｕ－１ ，故ＡｎＢ ２‘＋＝ｘ －．｛（一１，０），（１，０）｝ 诊断：此题错误的主要原因是对集合Ａ、曰所表达的含义的理 根本上是集合符号解读不到位导致错误，属第一层次的 从教育学、心理学的角度来看，任何的学习过程，由于学生受 解出错，Ｂ所表达的含义所表达的含义分别是二次函 ｝ 到生理、心理特征以及认知水平的限制，错误是不可避免的。对 错误。本题集合Ａ、 ｔＹ＝ 一１的值域，即集合Ａ＝｛Ｙｌ，，≤１｝，Ｂ＝｛，，ＩＹ 于错误的原因，如果在本质上得不到准确的诊断，那么错误还是 数Ｙ＝一 ＋１，≥一１｝，故ＡｎＢ＝［一１，１］． 错误，并不会对下次的成功起到帮助。 第二层次，联系性思路的错误。联系型思路的错误指的是， 卜 行为主义学说认为，学习是一种刺激和反应的联结。受行为 烀 主义的影响，数学教学历来有强调“熟能生巧”的传统。而要达到 学习者本身的知识与问题之间的联系出现了偏差，以至于学习者 主要包含两个 ｖ１ “熟 的水平，没有训练是不行的。于是，众多教师在教学中，就大 无法运用正确的思路解决问题。这个层次的错误，一是条件使用的错误。具体表现有，条件用错（如漏用、错 搞“题海战术”，从而通过熟练的操作提高速度和准确性。反复的 方面：隐含条件未发掘等；二是关系构建 机械式操练往往造成了“会做 的假象，它会掩盖学生没有从根本 用、增用等）；已知条件用不上；中出错。具体表现有，关系理不出，缺乏思路，不会主动构造暂缺 姒 上理解掌握其操作的本质。 学 根据思维的信息加工理论，知识是以组块的形式保存在头脑 的部件或形态；三是思维定势导致解题错误。这个层次的错误一 往往是“一着错满盘 捌 中的。我们老师在平时教学中，喜欢将问题及其解法归结为若干 般都很致命，因为它出现在解大型解答题中，在考试中呈现出“会而不对”失分的悲剧。 类型，建立一些比较固定的模式去套用解决，然后反复练习，靠大 皆输”，壬Ｉｆ ． 苒 。运动量训练来加深印象。这种做法至多只是强化了知识与问题 之间的联系，而放弃了另外两方面的训练，所以会出现学生解题 时会出现差错。 １ １ ｌ 案例２：求证：当 ≠０时，ｌ ＋— ｌ≥２． １ ｌ１厂—Ｔ Ｉ错证： ＋二一≥２ ・—Ｉ－＝２，故原不等式成立． Ｉ ｆ Ｉ ＩＩ ｌＩ Ｉ Ｉ Ｉ ＪＩ Ｉ 根据建构主义的观点，数学的学习是一个活的、动态的过程， 诊断：上述忽略了均值不等式成立的条件，即均值不等式的 学生在数学学习活动的过程中通过亲身的经验去体会、组织、构 左边两项要求都要为正的。显然，是定理使用时错用了条件，属 造并提取活动的数学意义。学生之所以会发生错误，主要原因并 ｌ １ ｌ 则Ｉ ＋— Ｉ＝Ｉ ｌ＋ 不在于他们没有记住定义和公式，而主要是他们的建构活动发生 第二层次的错误。事实上，只须注意到同号，Ｉ ｌ 了一些偏差。要分析他们的错误，就需深入到他们的建构过程中 ｌ二ｌｌ １ Ｉ 便可证明去探查。因个人的基础和数学方法不同，所以需要做个别化的诊 ｌ ｌ 断，分别找出原因，深入到学生的解题过程中，顺学生的经验和思 案例３：已知函数，（ ）＝ 一 ＋３．求过点Ｐ（１，３）的曲线的 路，采用有针对性的、适宜的策略，给予纠正。 切线方程。 在诊断学生在数学学习中的错误或是寻找防止和消除错误的 错解：因为Ａｘ）＝ 一 ＋３，所以厂（ ）＝３ｘ 一１Ｉ厂（１）＝２ 对策时，必须结合考虑一系列的心理学规律，探查其中的心理机制， 故过点Ｐ（１，３）的曲线的切线方程为Ｙ一３＝２（ｘ一１），即２ 一 探明根源，从而揭示错误的实质并解释出现这种或那种错误的原 ，，＋１＝０． 因，转变教师头脑中原有的对错误原因的不当或肤浅的分析。 诊断：此题的错误，显然是将“求以点Ｐ（１，３）为切点的曲线的 。 三、学生解题错误的诊断实例与方法 切线方程”的解法负迁移到本题的“求过点Ｐ（１，３）的曲线的切线 １ ｌ ｌ Ｉ Ｉ ｊＩ ———基于上述的教育学、心理学的观点，结合笔者多年的搜集与 方程”上来。这是思维定势导致的解题错误，属第二层次的错误。 结，高中生在数学学习中出现的常见错误，大致可以分为三个 事实上，根据曲线切线的定义，曲线的切线与曲线的交点个数未必 臻次：第一层次，磬础性与操作性的错误；第二层次，联系性思路 为１。一般地，若点Ｐ为曲线的切点，则过点Ｐ的切线是一条；若点 的错误；第三层次，数学思想支持性的错误。这三个层次的错误， Ｐ不为曲线上的切点时，则过点Ｐ的切线可能一条或多条。 基本可以诊断大多数高中生在高中数学解题中出现的常见错误。 第三层次，缺乏数学思想支持的错误。数学思想方法是数学 当然，这三个层次的错误，并不是孤立存在的。学生在解题中出 的灵魂与精髓，是学生获取知识的手段，是联系各项知识的纽带， １０４ 语数外学习 Ｎｏ．１１．２０１３ Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第ｌ１期 是知识转化为能力的桥梁，它比知识更具有普通适用性和抽象概 括性。学生掌握了数学思想方法就能更快捷地获取知识，更透彻 地理解知识，并能终身受益。相反，学生如果缺乏充足的数学思 想的支持，那么在学习中就难免出现错误。 中学数学涉及到的思想方法大致可分为三种类型：技巧型 （如特殊、一般、消元、换元、降次等）、逻辑型（如类比、归纳、分析、 综合、演绎、反证法等）、宏观型（如函数与方程、分类讨论、数形结 合、归纳猜想、数学模型等）。 是盲目的。错解的核心就在于，学生在对函数单调性判断之前， 缺乏了解函数图像的主动意识，也就是缺乏主动运用数形结合的 数学思想解题的意识。还有另一种可能，或许学生也对ｇ（‘）求导 了，但面对ｇ，（ｔ）： ‘＼ －一； 二 结合‘ ［１，＋ ），作出 “ｇ（ｔ）在［１，＋∞）上为增函数”的判断。这种错误本质上，对ｇ （ｔ）参数。的漠视，更深层的问题是没有树立运用分类讨论、函数 的数学思想解题的意识。 四、教学诊断后的“治疗”对策 案例４：（２０１２・山东）函数Ｙ＝２ｓｉｎｆ警一詈ｌ（ｏ≤ ≤９）的最 ～ 、ｕ Ｊ， （一）课前准备学生可能出现的错误，防范于未然 大值与最小值之和为（ ） 预防错误的发生，是减少高中学生解题错误的关键。备课 Ａ．２— Ｂ．０ Ｃ．一１ Ｄ．一１一 时，教师根据平时积累的素材，可以预见到学生学习本节内容可 能产生的错误。如果能够在课内讲解时有意识地指出并加以强 错解：（１）。．‘０≤ ≤９ 调，那么就能有效地预防错误的产生。事实上，很多第一层次的 ，，一＋Ｙ 。纠 ９）＋，（０）＝一１一 ，故选Ｄ． 可以通过这种策略得到很好的防控。 诊断：不难看出，此题的错误就因为机械地认为，，＝２ｓｉｎ 基础性与操作性错误，例如，在讲排列数时，要预见到学生会把排列与排列数混淆 ｌ ・｝ｌ的在［０，９］的最值就在０和９处取得。从表面上看，错 在一起，所以在授课时一定要强调两者的关系及区别。 、ｖ Ｊ， 有时候，可以有意安排“陷阱 让学生犯错。例如，在讲向量数 解中的错误是由于思维定势，粗心所致。实际上，如果继续挖掘 提出命题 问题的本质，我们是不是应该意识到学生解决函数问题时，不能 量积时，’．．主动运用图像求解，缺乏“数形结合的思想”，进而反思我们的教 学是不是“数形结合思想”这种常用数学思想方法还没有在学生 的大脑里牢固树立起来。 案例５：已知函数 ）＝ ＋２ｘ＋ａｌｎｘ． （Ｉ）若函数 ）在区间（Ｏ，１］上恒为单诃函数，求实数口的 取值范围；（Ⅱ）当ｔ≥１时。不等式 ２ｔ—Ｉ）≥ ｔ）一３恒成立。求 实数ｎ的取值范围． 错解：（Ｉ）略．（Ⅱ）构造函数ｇ（ｔ）＝，（２ｔ一１）一［ ｔ）一３］ （Ｉ≥１）．注意到ｇ（Ｉ）－－０，所求问题转化为：ｇ（‘）≥ｇ（１）对任意的‘ Ｅ［１，＋∞）恒成立．即，ｇ（ｔ）在［１，＋∞）上为增函数 ｇ，（ｔ）≥０ 在ｔ Ｅ［１，＋∞）恒成立 口・６＝口・ｃ ６＝ｃ”让学生判断，很多学生会误以为正确，然 后再举反例说明向量的数量积是不满足消去律的。 如果学生出现错误没有被察觉或被察觉但不及时给予纠正， 那么不仅影响此时的学习，还会影响到以后的学习。因此，预见 错误为揭示错误、杜绝错误打下基础。 （－－）课内讲解精确到位，不让错误有滋生的土壤 课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。 对于易混淆的概念，要引导学生用类比的方法，弄清它们的联系 和区别。对于定理要让学生弄清它的条件和结论、它的用途和适 用范围。 例如，在讲数列这一章时，上完了等比数列以后．可以通过列 等 （‘）＝２Ｌｅ（２ｔ一１）一．，，（ｔ）］≥Ｏ在ｔ Ｅ［Ｉ，＋＊）恒成立 表的形式，将等差数列与等比数列进行全方位的对比，找出等比 （２卜１） （ｔ）在ｔＥ［１，＋Ｏ０）恒成立 数列比等差数列在各方面的联系与区别。那么，可以在一定程度 （２ｔ一１）一ｔ＝ｔ一１≥Ｏ，即２ｔ—Ｉ≥‘．’．厂（ｔ）在‘Ｅ［Ｉ，＋ 上避免将来解题中出现第二层次联系性错误。 ）为增函数 ． 又如，在讲解析几何的直线与圆时，有这样的题目：已知圆 １），求过点Ａ的圆的切线方程。这时，如 令ｈ（ｔ） （‘），则ｈ （‘）－－２一号≥０在ｔＥ［１，＋∞）恒成立， ＋ｙＺ＝１和一定点Ａ（１，‘ 果只是一味讲类型题通解通法，即直线与圆的问题通常是通过 即口≤ ＝ 《（２ｔ ） ＝２，故实数口的取值范围为口Ｅ［一＊，２］． “圆心到直线的距离等于半径”这个知识点解决，那么当题目把定 诊断：学生的错解的最终结果与正确答案完全一致。而且解 答思路简洁明了，似乎无懈可击。因此，这样的解答在评卷中很 点改为Ａ（ ， ）时，很多学生就走了弯路。这里，应该向学生讲 容易被误判为正确的。但仔细分析，不难发现其中的破绽，由 清楚，过定点求圆的切线，首先要判断点在圆上还是在圆外；其 ｇ（‘）≥ｇ（１）对任意的￡Ｅ［１，＋ ）恒成立”，直接推出“ｇ（ｔ）在 次，结合图形明确过圆外的点可求圆的两条切线（如果只求得一 ［１，＋＊）上为增函数”，这样的推理显然不一定成立。 条，要考虑直线的斜率不存在的情况），过圆上的点可求得圆的一 Ｊ 客观上看，能做出这样的解答，体 条切线；最后才是方法，过圆外的点求圆的切线可用“圆心到直线 现了该生的数学“双基”是十分扎实 的距离等于半径”建立方程，过圆上的点求圆的切线可用“圆心与 的。但是，由“ｇ（ｔ）≥ｇ（１）对任意的ｔ 切点的连线与切线垂直”不解方程，求出切线的斜率。 Ｅ［１，＋ａ。）恒成立． 得出“ｇ（ｔ）在 教学时，给学生一定的时间解决问题，让他们自己发现错误， ［１，＋＊）上为增函数”，犯了形而上 并帮助他们分析错误的原因，进行针对性的讲解。在教学时，不 学的错误。因为ｇ （ｔ）＝２ （２ｔ一１） 。。．“数 学 二 二 教 古 “月 ． 潦数球 司 一，（ｔ）］＝２（‘一１）［２一 、 一 ］（‘≥ ， Ｉ （三）精心备好讲评习题的改错课 １），当口≤２时，由于ｔ（２ｔ一１）≥１，故 首先，对不同的学生、不同的问题应逐一分析，做好作业档案 ｇ （￡）Ｉ＞０，从而当ｔ Ｅ［１，＋∞）时，ｇ（ｔ）为增函数，ｇ（ｔ）≥ｇ（１）对 记载，以便做到有效反溃。其次，一段时间后，对批改记录进行归 任意的‘ｅ［Ｉ，＋＊）恒成立． 类。对每次作业中暴露的，问题越多，越要注意归类，切不可眉毛 当。 ２时 （ｃ）＝ ＝ 胡子一把抓。“改错课”一般分为五步： １、课前谈话，交待学习内容，鼓励学生做一次小医生、小老师。 ８（ｔ－１）（ｔ一 （卜 ） ２、设计灵活的形式，让学生独立判断、分析错误原因并改错。 ３、集体讨论，师生交叉反馈。学生独立练习后，就组织学生 —————— 了 ———一’ 集体或分组讨论改错题的“症状”，相当于“会诊”。找准错误，分 因为 ｃ —１＋Ｊ ｌ＋４ａ当ｔ （１’ ） 清原因，教师与学生之间的交叉反馈。 ４、总结防错措施，这是目的所在。“改错课”上要求学生找出 ＜ｇ（１）＝０，与题 时，ｇ （ｔ）＜０，即此时，ｇ（ｔ）是减函数，于是ｇ（ｔ） 预防再出同类错误的方法，教育学生对这些错误有则改之，无则 设不符，舍去。综上，ａｅ（一ａ。，２］． ， ／、 一 ｌ ｌ ｌ Ｉ Ｉ 仅教会学生正确知识及知识的运用，更重要的是教会他们识别错 误，改正错误。 ｌ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ｌ ｌ ｆ Ｉ ｆ Ｉ ｌ ｌ ＩＩ ｌ 事实上，学生在作出“ｇ（‘）在［１，＋∞）上为增函数”的判断时 加勉。（下转第１０６页） １Ｏ５——Ｊ 语数外学．习 Ｎｏ．１１．２０１３ Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第ｌ１期 浅谈数学的课前预习 穗数球誉司数学教 谢学明 摘要：说起课前预习，无论是教师还是学生都会说这是一个重要的学习环节，应该坚持做好。但在实际当中，却没能真正地重 视。教师坚持检查，督促和指导学生预习；学生自觉去坚持预习的没有多少人。这样，学生在课堂上被动地听老师讲课，就会有无所适 从、应接不暇的感觉，结果，难以对知识理解深透和全面，效率不高。笔者认为，课前预习是提高学习效率的一个重要环节。课前预习 能使学生在课前对教师讲的内容做到“胸中有数”。明确教师讲什么内容，其中哪些是自己已经了解的，哪些是经预习已掌握的；哪些 是还弄不明白，需要昕老师讲解的。这样，听起课来才会有目的、有选择、有所侧重地去昕，便于突破重点和难点。课前预习还能使学 生听课时。因心中有数而心里放松，减轻思想压力，使得学习轻松、愉快。从而节省接受新课和做作业的时间，大大提高教师讲与学生 学的效率。课前预习还能培养学生的自学能力，为将来的学ｒＪ和工作打下坚实的基础。总之，经验证明：按“预习——听课——复 习——作＿，ｌｋ－，Ｉ、结”的步骤学习是个好办法，而预习和复习这两个环节尤为重要。 关键词：初中数学；课前预习；预习；复习 中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６３５１Ｉ２０１３）一１１—０１０６—０１ 一、要有时间保证 般同学谈到的预习与作业相矛盾。其实，做作业只是学习 知识的一种手段，绝不能因为要完成作业而舍弃预习这一重要环 节。如果把大量的时间用在做作业上，则说明学生对课本上的概 念和方法理解得不深不透。要先将前面的知识认真复习一遍。 一的。这样经常注意观察、分析、查找基础知识中关键字句，既可对 知识理解得深透，又可提高阅读能力和对各种语言的理解与运 用，且对今后的复习有指导作用。 （二）对于法则、定理、公式等知识的条件，务必明确道理，清 楚其必要性 这也正好说明，如果搞好了课前预习，就能较快地、较好地接受课 例如：算术根的性质Ｊｆｆ－４－，Ｗ￣中，为什么要有条件。≥ｏ，ｂ－ 堂知识，做作业的速度就会大大加快，作业的质量也会显著提高。 广＝Ｉ 【 ／÷＝ 中为什么要有条件口≥０，０ √６ ｂ≥ｏ？这样就能吃透知 二、预习一课的内容时，先要全面地粗看一遍，然后着重预习 ≥ｏ７这些内容中的概念、法则、定理、公式等 识，将来才能运用自如。 搞清楚这些内容以后，接着看例题。遇到不明白的知识，要 （三）要搞清定理的证明过程和公式的推导方法 看是否学过。学过的，就复习一下前面的这部分知识。如果没学 对证明与推导过程中所用的自己尚不太明白和熟悉的知识， 过就做上标记，作为课堂上听老师讲的重要内容。 要结合复习进行。如：对一元二次方程求根公式的推导，不会配 例如：预习初二代数分式一节时，应该弄清分式、有理式等概 方法的要先复习配方法。绝不能死记公式，否则会给将来的学习 念，弄清整式与分式；整式、分式与有理式；分数与分式；分数、整 埋下祸根。 数与有理数；有理数与有理式等相互问的联系与区别。一般地教 （四）要明确预习是为接受教师的讲课打基础的 学内容中的黑体字都是主要的概念、法则、定理、公式或注意事项 不要求对一切内容都要千方百计地去弄通，这样会无形中加重 等，需要真正理解和掌握，是预习的重要内容 负担，浪费时问。但必须请楚哪些懂了，哪些没懂，哪些是课堂上听 在预习概念、定理、法则、公式等知识时，应注意以下事项： 讲的重点。这样就可以做到课前心中有数，课上就能做到积极、主 （一）标出关键性宇、句，真正领会这些字句的含义与作用 动。达到印象深刻、事半功倍，做起作业来得心应手的效果。 例如：预习二元二次方程组一节时，二元二次方程的意义中 如能使学生坚持搞好预习，就会增强学生的自学能力、理解 除“含两个未知数，含未知数的项的最高次数是２”，两点应注意 分析能力、解决问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的基 外，还要特别注意”整式方程”几个关键字。这是人们经常忽略 础。 ｌ—— Ｉ （上接第１０５页） 高中数学的学习是一个由浅入深、不知到知、知少到知多的 Ｉ Ｉ ｌ Ｊ Ｉ ｌ １ ５、综合练习，检查改错效果。有针对性地把与改错的练习题 循序渐进的过程。在这一过程中，教师与学生要正确对待解题错 类似的题目作为学生的课堂作业，做一次火力侦察，再次反馈学 误，认真分析解题错误的原因，寻求避免解题错误的方法及对策， 生改错后的作业效果。 从而有效地控制解题错误。这样学生会愿学数学、乐学数学，数 “改错课”可使学生在宽松愉快的氛围中进行错误订正，更有 学成绩上才有一个较大的提高。 利于他们克服思维障碍。同时，改错训练也是巩固知识的有效手 段，可以保证学生正确地掌握知识，还可以培养学生的自觉性，克 参考文献： 服受暗示性和独断性。 ［１］罗增儒．解题分析——谈错例剖析［Ｊ］．中学数学教学参考。 Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ｌ纠错不能光重视结果，更要注重过程，要使学生不仅知其然， １９９９，（１２）． 更要知其所以然。通过对错误的分析了解到学生出错的类型和 ［２］杨燕．高中生数学解题常见错误原因探析［Ｊ］．课程教材教学 出错的原因，由此推断出学生学习的薄弱环节，这将有利于教师 研究（教育研究版），２０１０，（０３）． 有目标地采取补救措施，提高学生的学习效果。 ［３］吴杰．数学错误的教育心理学分析［Ｊ］．全国高师数学教育研 五、结束语 究会２００６年学术年会论文． １ Ｊ『 １ ｝ Ｊ 俗话说“失败乃是成功之母”。在失败中找出失败的原因，寻 ［４］劳建祥．高中数学各章最典型错题剖析［Ｊ］．数学教学研究， 找、探索解决减少失败的方法，这样的失败才能真正为将来的成 ２００５，（０２）． 功提供帮助。我们研究学生的错解的诊断方法和对策，为的是更 ［５］曹才翰，章建跪教育心理学（第二版）［Ｍ］．北京：北京师范大 深入地了解我们的学生，更深刻了解学生数学思维产生错误原 学出版社．理，当然更是为了教师从中找到科学的教育规律，让我们的教学 ［６］张传鹏，刘炜．解题错点诊断与方法引导［Ｍ］．浙江：浙江大学 更加科学有效。 出版． Ｌ一１０６
