概率论题集五

第五章、数理统计的基本知识

一、选择题：

1．若X1,X2,,Xn是取自总体N(,2)的一个样本，已知，未知，则以下是统计量的是 （ ） A．

(Xi1niX)/ B．(XiX)2/2

2i1nC．

Xi1n22i/ D．(XiX)2/

i12n2．设总体X ~ N（0，1）X1,X2,,Xn是取自总体X的样本，X与S分别为样本均值与样本方差，则以下不正确的是 （ ） A．nX~N(0,1) B．X/s~t(n1) C．

122X~N(0,) D．X~x(n)ini11(X3X4X5)2，3n3．设X1,X2,,X10是取自总体N（0，1）的一个样本，Y1101Y2[Xi(X6X10)]2，Y3X12X22，则Y1Y2Y3~ （ ）

5i6A．x(3) B．x(7) C．x(9) D．x(10)

24．若X1,X2,,X10和Y1,Y2,,Y9分别是取自总体N（1，4）和N（2，9）的样本，s122和s2分别是它们的样本方差，则常数a= （ ）时统计量aS12/S2~F(9,8)

22223 B．2 294C． D．

49A．

5．若X~x(n)，则E(X)= （ ）

22 1

A．3n B．2n C．n2n D．nn

6．设总体X的概率密度为f(x)，则X1,X2,,Xn是取自总体X的样本，则有 （ ） A．min{X1,X2,,Xn}的概率密度为f(x) B．X的概率密度为f(x) C．X与

2xi相互 D．Xi的概率密度为f(x) i1n227．若X1,X2,,Xn是取自总体N(,2)的一个样本，则n(X)/S~ （ ） A．N（0，1） B．t(n) C．t(n1) D．x2(n)

8．若X1,X2,X3,X4是取自总体X的一个样本，已知EX = μ，DX = σ2 未知，则下列样本函数中不是统计量的是 （ ）

14A． XXi B．X1X42

4i1142C．2(XiX) D．(XiX)

i13i112411009若总体XN(1,2)，且统计量YaXbaXibN(0,1)，则有

100i12（ ）

A． a=-5, b=5 B．a=5, b=5 C． a=0.2, b=0.2 D．a=-0.2, b=0.2

10．若X1,X2,,Xn是取自总体N(0,1)的一个样本，X与S分别是样本均值与样本方差,则有 ( ) A．X~N(0,1) B．nX~N(0,1) C．

2Xi1n2i~x2(n) D．X/s~t(n1)

11． 设X1,X2,,X8与Y1,Y2,,Y9分别是取自总体N ( -1, 4 )与N（2, 5）的样本,且X

2与Y相互, S12与S2为两个样本方差,则服从F( 7, 9 )的统计量是 ( )

2

2S125S12A． B． 225S24S224S25S12C． D． 225S12S2

二、填空题：

1n1. 若X1,X2,,Xn是取自正态总体X~N(,)的样本，则XXi~ 。

ni122. 若X1,X2,,Xn是取自正态总体X~N(,)的样本，则统计量u2X~ 。

/nX~ 。

S/n3. 若X1,X2,,Xn是取自正态总体X~N(,)的样本，则统计量t4. 若X1,X2,,Xn是取自正态总体X~N(,)的样本，则统计量

22212(Xi1n2)~ 。 i5. 若X1,X2,,Xn是取自正态总体X~N(,)的样本，则统计量n22(n1)S22~ 。

6. 若X1,X2,,Xn相互，且都服从标准正态分布N（0，1），则22 Xi~ 。i127. 若随机变量X与Y，且X ~ N（0，1），Y~xk()，则 ZX~ 。 Y/k8. 若随机变量X与Y，且X~2(k1),Y~2(k2)，则ZX/k1 。 Y/k29. 若X1,X2,,Xn是取自总体X~N(,21n的样本，样本均值XXi，则)ni1EX= 。

1n10. 若X1,X2,,Xn是取自总体X~N(,)的样本，样本均值XXi，则

ni12DX= 。

3

1n11. 若X1,X2,,Xn是取自总体X~N(,)的样本，样本方差S(XiX)2,n1i122则ES 。

21n12. 若X1,X2,,Xn是取自总体X~N(,)的样本，样本均值XXi，则

ni12EX= 。

2三、判断题：

1. 若X1,X2,,Xn是取自总体X的简单样本，则和YnXi1i近似地服从正态分布。

2. 若X1,X2,,Xn是取自总体X的简单随机样本，则X1与X2。 3. 若X1,X2,,Xn是取自总体X的简单随机样本，则X1与X2同分布。

4. 若X1,X2,,Xn是取自标准正态总体N（0，1），X与S分别是样本均值与样本方差，则X~N(0,1)

5. 若X1,X2,,Xn是取自标准正态总体N（0，1），X与S分别是样本均值与样本方差，

则

22Xi1n2i~2(n)。

26. 若X1,X2,,Xn是取自标准正态总体N（0，1），X与S分别是样本均值与样本方差，

则X与S。

2三、证明题：

.

1n21.设总体X~N(,)，证明：样本均值XXi~N(,)。

ni1n2 4

2. 设总体X~N(,2)，证明：统计量uX/n~N(0,1)。

n3. 设总体X~N(,2)，证明：统计量2122(Xi)~2(n)。

i14. 设总体X~N(,2)，证明：统计量tXs/n~t(n1)。

5. 设总体X~N(21,21)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

U(XY)(12)22~N(0,1)。

12n1n26. 设总体X~N(21,21)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

T(XY)(12)~t(n1n22)S11，

wn1n2其中 S(n1)S2211(n21)S2wn2 .

1n27. 设总体X~N(21,21)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

1n2F11n1(Xi1)2i11n2~F(n1,n2). n2(Y22j2)2j18. 设总体X~N(221,1)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

S21/2F1S22~F(n11,n21).

2/29. 设总体X ~ N（0，9），X1,X2,,X7是取自总体X的样本，证明：统计量

2127(XX212212X)336(X4X5X6X)7~(2)。 10. 设总体X ~ N（0，4），X1,X2,,X51是取自总体X的样本，证明：统计量

YX2X2212X102(X222~F(10,5)。 11X12X15) 5

11. 设总体X~N(0,2)，X1,X2,X3,X4是取自总体X的样本，证明：统计量

Y3X1XXX222324~t(3)

是取自总体X的样本，Y112. 设总体X ~ N（0，1），X1,X2,,X01101(X3X4X5)2，31102，ZY1Y2Y3，证明：统计量Z~2(7)。 Y2[XiXi]2，Y3X12X2i65i613. 设随机变量X~t(k)，证明：随机变量函数YX2~F(1,k). 14. 若随机变量X~F(k1,k12)，证明：随机变量YX~F(k1,k2)，从而有

.

第五章、数理统计的基本知识

五、证明题：

1．证：因为随机变量X1,X2,,Xn相互，并且与总体X服从相同的正态分布

N(,2)，所以，它们的线性组合

1nnX

nX1i1Xiii1nnnN[1,(12

22]N(,)i1n1n)in2即样本均值X服从正态分布N(,n).

2．证：因为随机变量X1,X2,,Xn相互，并且与总体X服从相同的正态分布

N(,2)，所以，它们的线性组合

1nnX1

nXii1Xii1nnN[1,n12

()22]N(i1ni1n,n)即样本均值X服从正态分布N(,2n)。所以，将X标准化，即得

6

uX~N(0,1).

/n3．证：因为随机变量X1,X2,,Xn相互，并且与总体X服从相同的正态分布

N(,2)，即

Xi~N(,2),i1,2,n

所以得

Xi~N(0,1),i1,2,,n

XX1X2,,,n也相互。

又因为X1,X2,,Xn相互，所以 于是，212(Xi)(2i1i1nnXi)2~2(n).

4．证：由§5.4定理2知，统计量 uX~N(0,1)；

/n又由§5.4定理4知，统计量 2(n1)S22~2(n1)

(n1)S2X2因为X与S，所以统计量u与也是的。于是，根据2/n2§5.3定理2可知，统计量

tun12XX/n~t(n1).

22S/n(n1)S/n15．证：由§5.4定理1知： X~N(1,12n1),Y~N(2,22n2).

2122 因为X与Y，所以可知：XY~N(12, 于是，得

n1n2).

7

U(XY)(12)21n122~N(0,1).

n26．证：由§5.4定理6的推论知，统计量

U(XY)(12)~N(0,1).

11n1n2(n11)S12又由§5.4定理4知：



21222~2(n11),

22(n21)S2~2(n21).222因为S12与S2 所以1与2也是的，由分布的可加性可知，统计量 22(n11)S12(n21)S2sw

n1n222由§5.4定理4知：X与S12，Y与S2，所以统计量U与2也是的.

于是，由§5.3定理2可知，统计量 TU2n1n22(XY)(12)~t(n1n22).

11Swn1n2其中

2(n11)S12(n21)S2sw n1n227．证： 由§5.4定理3知：



211121(Xi1nn22)~(n1),i1

j2222j1(Y2)2~2(n2).因为所有的Xi(i1,2,n1)与Yi(j1,2,n1)都是相互的，所以统计

2量1与22也是的.于是，由§5.3定理3可知，统计量

8

F/n1/n22122(X(Yj1i1njni1)2/(n112)~F(n1,n2).

22)2/(n22)8．证：由§5.4定理4知：

x

2x221(n11)S1212(n21)S2222~x2(n11),

~x2(n22).222 因为S12与S2，所以统计量x1与x2也是的.于是，由§5.3定理3可知，

统计量

x12/(n11)S12/12 F222~F(n11,n21)

x2/(n21)S2/29．证：由于X1,X2,,X7是取自总体X的样本，故X1,X2,,X7相互，且 Xi~N(0,9) 从而有

i1,2,,7

X1X2X3~N(0,27);X4X5X6X7~N(0,36)X1X2X3/27~N(0,1);X4X5X6X7/36~N(0,1) 故

11(X1X2X3)2(X4X5X6X7)22727 [X1X2X3/27]2[X4X5X6X7/36]2~2(2)210．证：由于X1,X2,,X15是取

X的样本，故X1,X2,,X15相互，且

Xi~N(0,4) 从而有

i1,2,,15

Xi~N(0,1)i1,2,,152 10 15Xi2X()~2(10);(i)2~2(5)2i1i112 故

9

Xi2)/1021i1~F(10,5) Yi1515X2Xi2(i)2/5i11i112X102i(1011．证：由于X1,X2,X3,X4是取自总体X的样本，故X1,X2,X3,X4相互，且 Xi~N(0,2) 从而有 故

i1,2,3,4

i1,2,3,4

Xi~N(0,1)X1Y~N(0,1);(X2)2(X3)2(X4)2~x2(3)

3X122X2X32X4X1/~t(3)

XXX[(2)2(3)2(4)2]/312．证：由于X1,X2,,X10是取

X的样本，故X1,X2,,X10相互，且

Xi~N(0,1)i1,2,,10

1(X3X4X5)2~N(0,1) 3 从而 X3X4X5~N(0,3), 根据§5. 3定理1可知 Y112(X3X4X5)2~2(1),Y3X12X2~2(2) 310 根据§5. 4定理4可知

110Y2[XiXi]2~2(4)

5i6i6根据分布的可加性，得

ZY1Y2Y3~2(142)2(7) 17．证：由题设 ，有

D(XY)E[(XY)E(XY)]2E[(XEX)(YEY)]2

E[(XEX)2(YEY)22(XEX)(YEY)]E(XEX)2E(YEY)22E[(XEX)(YEY)]DXDY2Cov(X,Y)

18．证：由题设 ，有

10

EX*E[XEX]1DXDXE[XEX]0 DX*EX*2(EX*)2EX*22

E[XEX2(XEX)DX]E[DX]

1DXE(XEX)21DXDX119．证：由题设X~t(k)，根据定理2可设 U~N(0,1),V~2(k) 则有 XUV/k 从而 YX2U2 V/k

又 U~N(0,1)U2~2(1)

故 YU2/1V/k~F(1,k) 20．由题设 X~F(k1,k2)，根据定理3可设 U~2(k1),V~2(k2)

从而 XU/k1V/k~F(k1,k2) 2故 1XV/k2U/k~F(k2,k1) 1从而

11

P{XF(k1,k2)}P{1X1F(k}1,k2) P{1X1F(k}1 1,k2)1F(k,kF1(k2,k1)12)F(k1,k2)1F1(k2,k1)

三、证明题：

.

1.设总体X~N(,2)，证明：样本均值X1n2nXi~N(,)。

i1n2. 设总体X~N(,2)，证明：统计量uX/n~N(0,1)。

n3. 设总体X~N(,2)，证明：统计量212(Xi)2~2(n)。i14. 设总体X~N(,2)，证明：统计量tXs/n~t(n1)。

5. 设总体X~N(21,21)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

U(XY)(12)2~N(0,1)。

1n221n26. 设总体X~N(21,21)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

T(XY)(12)~t(S11n1n22)，

wn1n2其中 S(nS2211)1(n21)S2wn .

1n22 12

27. 设总体X~N(1,12)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

1Fn~F(n1,n2).

12(Y)j22n22j1211i1n2(Xn1i1)228. 设总体X~N(1,12)，总体Y~N(2,2)，证明：统计量

S12/12F22~F(n11,n21).

S2/29. 设总体X ~ N（0，9），X1,X2,,X7 2是取自总体X的样本，证明：统计量

11222(X1X2X)(X~(2)。 34X5X6X)72736是取自总体X的样本，证明：统计量

10. 设总体X ~ N（0，4），X1,X2,,X5122X12X2X10Y~F(10,5)。 2222(X11X12X15)11. 设总体X~N(0,)，X1,X2,X3,X4是取自总体X的样本，证明：统计量

2Y3X1XXX222324~t(3)

是取自总体X的样本，Y112. 设总体X ~ N（0，1），X1,X2,,X01101(X3X4X5)2，311022，ZY1Y2Y3，证明：统计量Z~(7)。 Y2[XiXi]2，Y3X12X25i6i6213. 设随机变量X~t(k)，证明：随机变量函数YX~F(1,k).

14. 若随机变量X~F(k1,k2)，证明：随机变量Y1~F(k1,k2)，从而有 XF(k1,k2)1/F1(k2,k1).

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