2010年湖北(理)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试卷三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1i1．i为虚数单位，则=

1i A．- i B．-1 C．i

12．已知Uy|ylog2x,x1,Py|y,x2,则CUP=

x11 A．[,) B．0, C．0,

22A．x|k2011D．1

D．(,0][,)

123．已知函数f(x)3sinxcosx,xR，若f(x)1，则x的取值范围为

B．x|2kx2k,kZ xk,kZ

3355 C．{x|kxk,kZ} D．{x|2kx2k,kZ}

666624．将两个顶点在抛物线y2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，



则

A．n=0 Ａ．0．6

B．n=1 C． n=2

25．已知随机变量服从正态分布N2，a，且Ｐ（＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜＜2）＝

D．n 3 D．0．2

B．0．4 C．0．3

6．已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fxgxaa222（a＞0,且

．若g2a，则f2= a0）

1517 A．2 B． C． D．a2

447．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且A1、A2至少有一个正

常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系

统正常工作的概率为

A．0．960 A．[-2，2]

B．0．8 B．[-2，3]

C．0．720

D．0．576

8．已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式xy1，则z的取值范围为

C．[-3，2] D．[-3，3]

9．若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b互补，记(a,b)a2b2ab,，那么

a,b0是a与b互补的

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件

10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰

变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）

满足函数关系：M(t)M02t30，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量

的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）= A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一

题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。

11511．x的展开式中含x的项的系数为 （结果用数值表示）

3x12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示） 13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4

节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

'''14．如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y

轴重合）所在的平面为，xOx'45。

'（Ⅰ）已知平面内有一点P'(22,2)，则点P在平面内的射影P的

坐标为 ；

18（Ⅱ）已知平面内的曲线C'的方程是(x'2)22y'220，则曲线C'在平面内的射影

C的方程是 。

15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方

形互不相邻的着色方案如下图所示： ．．．．

由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方．．．．形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示） ．．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）

设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知a1.b2.cosC（Ⅰ）求ABC的周长 （Ⅱ）求cosAC的值

17．（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （Ⅰ）当0x200时，求函数vx的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小

时）fxx.vx可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；

（Ⅱ）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值． 19．（本小题满分13分）

1. 4已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn (nN*，rR,r1)． （Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若存在k N*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且m2，

am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论． 20．（本小题满分14分）

平面内与两定点A1(a,0)，A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系； （Ⅱ）当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)U(0,)，对应的曲线为C2，设F1、

F2是C2的两个焦点。试问：在C1撒谎个，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S|m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)Inxx1，x(0,)，求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设ak,bk(k1,2„，n)均为正数，证明：

（1）若a1b1a2b2„anbnb1b2„bn，则a11a22ann1； （2）若b1b2„bn=1，则

kkk1kn22b12b2bn. b1k1b2k2bnn