云南民族大学学报：自然科学版，２０１４，２３（２）：１０４—１０７ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８５１３．２０１４．０２．００７ ＣＮ ５３—１１９２／Ｎ ＩＳＳＮ １６７２—８５ｌ３ ｈｔｔｐ：／／ｘｂ．ｙｎｎｉ．ｅｄｕ．ｃｎ 三维非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ 方程弱解的存在性 朱道宇 （贵州民族大学理学院，贵州贵阳５５００２５） 摘要：首先构造非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程满足正则化初值的近似解，并对近似解作一 致估计，然后将近似解过渡到极限，从而证明了方程存在满足局部能量不等式的弱解． 关键词：非均匀不可压缩；一致估计；局部能量不等式 中图分类号：０２９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２—８５１３（２０１４）０２—００１０４—０４ Ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ３Ｄ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ——Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＺＨＵ Ｄａｏ—ｙｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｍｉｎｚｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ ５５００２５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ ｉｎｉｔｉａｌ ｄａｔａ ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｅｓ— ｔｉｍａｔｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗａｓ ｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ３ Ｄ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｉｎ‘ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ—－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｐａｓｓｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ；ｕｎｉ￣ｒｍ ｅｓｔｉｍａｔｅ；ｌｏｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｉｎｅｑｕ￣ｉｔｙ 考虑如下的非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程 ＋ｄｉｖ（ ＝０’（ ）∈Ｒ ×Ｒ ； ＋ｄｉｖ（ｐｕ ｕ）－ｖＡｕ＋ ＝。； ｄｉｖ ＝０． 其中Ｐ∈Ｒ 表示流体密度，ｕ＝ｕ（ｔ， ）∈Ｒ３表示向量场，压力的梯度即可看作对应于限制条件ｄｉｖ ｕ＝０ 的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子，黏性系数ｖ（ｐ）是［Ｏ，＋∞）上的光滑正值函数．方程（１）可用来描述由２种不可压缩且密 度不同的可混溶流体混溶后所得流体的动力学，也可用来描述含有熔化的固体物质的流体，模型的具体背景 可参见文献［１］．下面假设黏性系数ｖ（ｐ）与密度Ｐ无关，即ｖ（ｐ）是一个常数．为简便起见，不妨设 １，并设 方程满足初值条件 Ｐ ｌ ＝Ｐ０， （２） Ｍ ｌ ：０＝ｕｏ． 【 当密度Ｐ为常数时，方程（１）简化为均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程，也称Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程．如果 设Ｐ＝１，则Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程为 ＋ｄｉｖ（ ）一△Ｍ＋ ＝０ ｆ４） 【ｄｉｖ“：０． 收稿日期：２０１３—０５—１７． 基金项目：贵州民族大学科研基金（２０１２０２）． 作者简介：朱道宇（１９８１一），女，博士研究生，讲师．主要研究方向：微分方程定性理论 第２期 朱道宇：三维非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程弱解的存在性 １０５ 在文献［２—３］中，Ｓｃｈｅｆｅｒ为研究恰当弱解而给出了Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的部分正则性理论，Ｃａｆｆａｒｅｌｌｉ 等 对Ｓｃｈｅｆｆｅｒ的结果进行了改进，由此证明了对任一恰当弱解，奇异集具有一维Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ零测度．恰当弱 解与一般弱解的差别在于，它必须满足分布意义下的局部能量不等式： ａ （ ）＋ｄｉｖ（ ）＋ｄｉｖ㈤ｕＦ一△（ ）＋ （５） 事实上，局部能量不等式（５）可以看成是如下被Ｌｅｒａｙ—Ｈｏｐｆ弱解所满足的能量不等式的局部形式： ＪＲ ３× Ｉｌ ｌｕ １ ２ｄｘ＋２Ｊ。Ｊ Ｒ３ Ｊ １ ２ｄ ≤ＪＲ， ｄ ，Ｔ∈［０，＋∞）・ 下面给出关于非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的满足局部能量不等式的弱解的存在性定理． 定理 设 ∈ （Ｒ ）ｎ ．｝（Ｒ。），ｄｉｖ“。＝０且 。一１ 充分小，则方程（１）～（３）存在一个弱解 ‘ｐ，Ⅱ，Ｆ）使得下面的局部能量不等式在分布意义下成立： ａ （ ）＋ｄｉｖ（ｐｕ ）＋ｄｉｖ（ ）＋ 亦即不等式 ＪＲ３ ｌ ｕｌ ＋２Ｊ。ＪＲ３ ｌ ｌ ≤ ＪＲ，ｐ ＩⅡ。Ｉ ＋Ｊ。ＪＲ３ １ ｚ＋Ａ￣ｐ）ｄ ｄｔ＋Ｊ。ＪＲ，（ｐ ＋２Ｆ）“ ￡， ＞０・ 对空间中任一具有紧支集的Ｃ 函数 ≥０成立．这里的 （Ｒ。）＝｛ Ｉｌ ｕ ÷＝Ｉｌ ｕ ３）＋ ｄｙ ＜∞）． 证明 首先构造满足正则化初始值的近似解，然后对这些近似解作一致估计，在近似解所满足的一个 等式中取极限从而得到定理的结论．此过程中遇到的最大困难是如何得到近似压力的一致估计．在Ｎａｖｉｅｒ— Ｓｔｏｋｅｓ方程（４）的情形，近似压力的一致 一 ：估计可以由椭圆正则性理论得到，但是对非均匀不可压缩 Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程（Ｉ）通常只能作一致 ￡：估计，而无法过渡到极限．为了克服这个困难，需要重写动 力学方程，对非平稳Ｓｔｏｋｅｓ方程用 一 ：估计，在ｌｌ 一１ Ｉ ｌ充分小的假设下可得到方程（１）的近似压力的 一致 一 ：估计．用Ｂ，（ ）表示以 。为中心ｒ为半径的球，特别地，Ｂ （０）记作Ｂ，．下面分４步来对定理进 行证明． 第１步 求解近似方程，构造方程（１）一（３）的近似解 ｐ ， ，Ｆ ）． 因为空间｛ ： ∈Ｃｏ。（Ｒ ），ｄｉｖ ＝０）在空间｛ｕ：／２，∈Ｌ （Ｒ ），ｄｉｖｕ＝０）ｎ ’ （Ｒ ）中稠密，所以可 选取一列零散度向量 ∈Ｃｏ （Ｒ ），使得当 。。时有“ 一 。Ｅ （Ｒ。）Ｎ ＇｝（Ｒ ）．设∞是正则化核 且 ∈Ｃｏ （Ｂ ），定义 ｐ Ｐ０ ∞ ， 这里的 （・）＝ｉ０，３Ｏ．／（ｎ・）．于是对任意的Ｒ＞０，有 ∈Ｌ （ＢＲ）． 由文献［１］中定理２．６知，下面的方程 警＋ｄｉｖ（Ｐ ）－０． ＋ｄｉｖ（ｐ ） ＋ －０． ｄｉｖ Ｍ“＝０． 具有满足初值条件 Ｐ １ ：０ ｐ０， （７） ｌｔ：０＝ ｏ， （８） １０６ 云南民族大学学报（自然科学版） 第２３卷 ｕ ＝“ｎ∞ （９） 的一个光滑解（ｐ ，ｕ ，Ｆ ），并且如果ｐ。靠近ｌ，则 和Ｐ 关于凡一致靠近１．特别地，存在与凡无关的常数ｃ。 和ｃ ，使得 ０＜Ｃ１≤ ，Ｐ ≤Ｃ２． （１Ｏ） 第２步 （ＪＤ ，““）的一致估计和收敛性，方程（１）的弱解的存在性． 由方程（６）的能量定律得 Ｉｌ ｏ Ｌ２（Ｒ，））≤Ｃ， （１１） Ｉ ｕ （Ｒ３））≤Ｃ， 其中Ｃ与ｎ无关．又由（１０）式知ＪＤ 有一致的正下界，所以 ｌＭ （０． ２（Ｒ ））≤Ｃ． （１２） 利用Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入和（１１）式，得 Ｉ ｌｏ， ６（Ｒ，））≤Ｃ． （１３） 在（１２）和（１３）式之间作插值，得 且０ Ｌ３Ｐ－４（Ｒ ≤Ｃ，ｐ Ｅ［２，＋∞］． （１４） 再利用Ｈｏｌｄｅｒ不等式，可以从（９）～（１１）和（１４）式推出 ｌｌｐ Ｖｕ ｌＩ （ｏ２ｅ＿２（Ｒ ））≤Ｃ，ｐ∈［１，２］． （１５） ， ： 利用文献［１］中定理２．５，存在某个函数Ｐ使得对任意的Ｔ＞０和Ｒ＞０，当凡 ∞时有 Ｐ 一ｐ∈Ｃ（［０，Ｔ］；Ｌｐ（Ｂ ）），Ｐ∈［１，＋ｏ。）， ““一 ｕ∈ＬＰ（０，Ｔ； （Ｂ ）），Ｐ∈［２，＋∞）＇ｑ∈【ｌ， ）， 其中 满足对任意的Ｒ＞０，当ｎ一∞时有 — ｕ∈Ｌ （０，Ｔ；Ｈ。（ Ｒ））． （１６） 从上面的收敛结果可知，对任意的Ｔ＞０和Ｒ＞０，当ｎ一∞时有 Ｐ Ｉ ｌ 一Ｐ｛ ｌ ∈Ｌ （０， ； （ＢＲ）），ｒ ｆｌＹ．：［１，＋∞）， （１７） ｐ ｌ ｌ ２— ｜ｐ ｌ Ｍ ｌ ２∈Ｌｒ（Ｏ， ；￡ （日 ）），ｒ∈［１，＋∞）， （１８） 其中的Ⅱ 如（９）式所定义．类似于文献［１］中关于存在性的证明，可得（ＪＤ，ｕ）满足（１）～（３），因而是（１）～ （３）的弱解． 第３步 的一致估计和收敛性． 为厂得到局部能量不等式，需要对近似压力作一致估计．通常，对于不均匀Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程，对任意 的Ｔ＞０和Ｒ＞０都有 ＩｌＦ １， （０， ； （％））≤Ｃ， 其中的Ｇ与／ｇ＇无关 ６］．下面利用Ｓｔｏｋｅｓ算子的线性理论对 作一致 一 ！估计．为此，将近似方程（６）重写 为 ａ ／ｔ 一Ｖ ＋ＶＦ ＝（１一Ｐ ）ａ ｕ 一Ｐ ・Ｖｕ ． 由Ｓｔｏｋｅｓ算子的 一 ：估计 。 ，对上式的左边有 ｌ１ ａ １ＩＬ｝（ｏ， 江｝（Ｒ ））＋ＩＩ△ｕ“ｌ１ （ｏ，ｒ江｝（Ｒ３））＋ｌ１ ＩｌＬ｝（０，ｒ．￡｝（Ｒ３））≤ ｃ（ＩＩ（１一ｐｎ）ａ ｕ ； ５（ ＋ ・ 。， ｝（Ｒ３））＋ Ｉ ｝）≤ ｃ（１Ｉ（１一ｐｎ）Ｏｔ （ｏ，ｍ｝（Ｒ ＋ＩＩｐ “ ・ （０，ｒ；￡｝（Ｒ ＋ Ｉ 哥）， 其中的Ｃ与 和几无关． 由于ＩＩｐ 一１ 充分小，结合（１５）式，可得 ｌ ｌ“ｌｌ￡｝（０， 江｝（Ｒ３））≤ｃ（Ｉｌｐ ・ ＩｌＬ｝（ｏ， ￡｝（Ｒ ＋Ｉｌｕ。ｌ ｌ・ ５）≤Ｃ． 运用Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入，得到近似压力的一致估计为 第２期 朱道宇：三维非均匀不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程弱解的存在性 １０７ ｌｌＦ“ （ｏ， 孚（Ｒ３））≤ｃｌｌＶＦ （ ；￡｝（Ｒ３））≤Ｃ． 因此 必存在一个弱收敛的子列，不妨仍记为 ，即当ｎ一∞时有 Ｆｎ— Ｆ∈ 了５（ｏ， ； 丁１５（Ｒ。））． （１９） 第４步 局部能量不等式． 用Ｕ 分别乘以（６）式的前２个方程并相加，得到在Ｒ ×（０，Ｔ）中成立的等式： １ ０（ｐ ｌ ｕ ｌ ）＋ｌｄｉｖ（ｐ ｕ ｌ ｌ ）＋ｄｉｖ（ “ ）一号△Ｉ Ｉ ＋ｌ ｌ ＝０． 对上式取尝试函数 ∈ｃ （（０，Ｔ）×Ｒ。），得 ２Ｊ。ＪＲ，ｌＶｕ ｌ Ｊ。ＪＲ３ （ｐ ｔ＋ ）＋（ｐ ＋２Ｆｎｌｘｎ） ・ （２０） 根据收敛结果（１６）～（１９）式，可以推出 Ｊ。ＪＲ，ｆ Ｖｕ ｆｄ ≤¨ｍ ．＋ ｉｎｆＪ。ＪＲ ｆ Ｖｕ ｆ ｄ ｄｔ， ｄＪ ０＂／Ｒ ３ Ｊ—Ｉ ｌ （Ｐ ＋△ ）ｄｘｄｔ＝ｌｎ— ∞Ｊ ０ ｄＲ３ ｉｍＩ Ｉ Ｉ Ｉ （ｐｎ ＋△ ）ｄｘｄｔ， Ｊ。ＪＲ。Ｐ １ ｕ Ｉ Ｊ。ＪＲ ｐ ｕｎ Ｉ．ｎ ｌｄｔ， Ｊ。ＪＲ， Ｖ￣ｄｘｄｔ Ｊ。ＪＲ， ｕ ・ 在（２０）式中令ｎ一∞并结合上面４式，得到如下的不等式 ２ Ｉ Ｖｕ ｌ，ｌ ｌ （鹏＋Ａ￣ｏ）ｄ础＋ Ｔ ，（ｐ Ｉ ｕ ｌ＋２Ｆ）“ ￡， 其中 ∈Ｃｏ （（０，Ｔ）×Ｒ ）是任意的． 对于在０和 附近 ≠０的一般情况，可以引进时间的截断函数并利用 的弱连续性得到相应结果，其 讨论方法和文献『４］中类似。此处省略．定理证完． 参考文献： ［１］ＬＩＯＮＳ Ｐ Ｌ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ ｆｌｕｉｄ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９６． ［２］ＳＣＨＥＦＦＥＲ Ｖ．Ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐａｃｉｆｉｃ Ｊ Ｍａｔｈ，１９７６，６６（２）：５３５—５５２． ［３］ＳＣＨＥＦＦＥＲ Ｖ．Ｈａｕｓｄｏｒｆ ｍｅａｓｕｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ～Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９７７，５５ （２）：９７—１１２． ［４］ＣＡＦＦＡＲＥＬＬＩ Ｌ，ＫＯＨＮ Ｒ，ＮＩＲＥＮＢＥＲＧ Ｌ．Ｐａｒｔｉａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｐｕｒｅ ａｎｄ ａｐｐｌｉｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９８２，３５（６）：７７１—８３１． ［５］ＳＯＬＯＮＮＩＫＯＶ Ｖ Ａ．Ａ ｐｒｉｏｉｒ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐａｒａｂｏｌｉｃ ｔｙｐｅ［Ｊ］．Ｔｒｕｄｙ Ｍａｔｅｍａｔｉｃｌｍｓｋｏｇｏ Ｉｎｓｔｉｔｕｔａ ｉｍ ＶＡ Ｓｔｅｋｌｏｖａ，１９６４，７０：１３３—２１２． ［６］ＳＩＭＯＮ Ｊ．Ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｖｉｓｃｏｕｓ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ ｆｌｕｉｄｓ：ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｄｅｎｓｉｔｙ，ａｎｄ ｐｒｅｓｓｕｒｅ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９０，２１（５）：１０９３—１１１７． ［７］ＧＩＧＡ Ｙ，ＳＯＨＲ Ｈ．Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｌｐ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｅｘｔｅｒｉｏｒ ｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９１，１０２（１）：７２—９４． （责任编辑梁志茂）
