matlab的LMS算法

最小均方算法即LMS算法是B.Widrow和Hoff[3][9]于1960年提出来的。由于实现简单且对信道统计特性变化具有稳健性，LMS算法获得了极为广泛的应用。LMS算法是基于最小均方误差准则（MMSE）的维纳滤波器[9]和最陡下降法提出的。在本节中，主要讨论LMS算法。在讨论LMS算法之前，先介绍一下推导LMS算法的准则，即均方误差的概念。

LMS 算法的推导以估计误差平方的集平均或时平均（即均方误差，MSE）为基础。下面先介绍MSE的概念。

设计一个均衡系统如下图所示：

待均衡的信道均衡器weq(n)判决器ˆ(n)yd(n)

e(n)图2.1 均衡器的系统结构

图2.1中的均衡器为一FIR横式滤波器，其结构如图2.2所示。其输入矢量为

x(n)x(n),x(n1),,x(nM1) （2.1.1）

T加权矢量（即滤波器抽头系数矢量）为

ww1,w2,,wM （2.1.2）

T可知滤波器的输出

ˆ(n)wi*x(ni1)wHx(n)xT(n)w* y（2.1.3）

i1Mˆ(n)d(n)wHx(n) （2.1.4）则有 e(n)d(n)y 其中H表示共轭转置。根据最小均方误差准则，最佳的滤波器抽头系数矢量wopt应

f（w）Ee(n)2 （2.1.5）

使得性能函数—均方误差[9]为最小。式（2.1.5）称为均方误差性能函数。

x(n)z1x(n1)x(nM1)z1z1w1w2wM线性组合器ˆ(n)y

图2.2 时域FIR横式滤波器

在指定的信道条件下，f（w）为各滤波器抽头系数的函数。现在来研究系统处于平稳状态时的情况。将式（2.1.4）代入式（2.1.5）可得

f（w）EEEe(n)d(n)d(n)222Ee(n)e(n)

wr(wr)wRw 2RewrwRw （2.1.6）

*HH*HxdxdxxHHxdxx其中rxd表示d(n)和x(n)的互相关矢量。Rxx(n)表示x(n)的自相关矩阵。 对（2.1.6）式两端对w求导，并令导数为零，得到：

Rxxwrxd （2.1.7） 当Rxx为满秩时，从而可得到该横式滤波器抽头系数的最优维纳解为[7][9]：

1woptRxxrxd （2.1.8）

由式（2.1.8）知Wiener滤波器的抽头系数的直接计算需要矩阵求逆，当M较大时，计算量较大且由于信号和干扰环境的变化常须对求逆过程不断进行。所以常用其它递推求解的方法。

下面我们介绍从最陡下降法来推导LMS算法。根据最陡下降法[7][9]，有： w(n1)w(n)wf(w) （2.1.9） 其中，wf(w)为f(w)的梯度，而为常数并被称为步长因子。又因为： wf(w)2Rxxw2rxd （2.1.10）

为了实现上述迭代算法需要知道梯度wf(w)的精确值，这就要求输入信号

x(n)和d(n)平稳且其二阶统计特性已知

[7][9]

。这时才能根据信号x(n)和需要信号

d(n)的采样值来估计Rxx和rxd，从而寻找wopt。

为了克服上述困难和减少求解每次迭代的计算量的问题。一种粗略的但是却是十分有效的计算wf(w)的近似方法是：直接取e(n)作为均方误差

E2e(n)2的估计值，即

ˆf(w)ˆE ww2e(n)2we(n)2 （2.1.11）

由式（2.1.4）可得

we(n)2e(n)x(n) （2.1.12）

将式（2.1.11）和式（2.1.12）代入式（2.1.9）得

w(n1)w(n)2e(n)x(n) （2.1.13） 上式就是B.Windrow在60年代初提出的LMS自适应迭代算法。LMS算法的流程归纳如下：

⑴ 初始化：wM[000]T ⑵ 更新：n1,2,

ˆ(n) e(n)d(n)yw(n1)w(n)2e(n)x(n)

在第二步中，若取=常数，则称之为基本LMS算法；若取=其中(0,2)，0，则得到归一化LMS算法。

x(n)x(n)H,

LMS算法的重要特点是将其期望值近似为瞬时值。故在迭代收敛后，加权矢量不会等于最优的加权矢量，而是在最优加权矢量附近随机性的波动，等效于在最优加权矢量上叠加了一个噪声，也就是说这种近似存在误差。所以，LMS算法又被称为随机梯度法。此法可以被视为最陡下降法的近似。其另一个重要的特点是每次迭代需要M1次乘法和M次加法，因而运算处理相当简单。

二．仿真图

三．模块参数设置

1.不同的M值，LMS模块参数

M=18 M=24

M=35 M=40

2.不用的值

0.1 0.3

0.5

0.8

0.9

四．M文件和误码率图 1.不同的M值

M=18

M=24

M=30

M=35

M=40

2.不同的值

0.1

0.3

0.5

0.8

0.9

3.信道特性曲线

五．结论

固定抽头数M11和W3.1，步长分别为0.01、0.045、0.09。这三个值都保证了算法的稳定性条件。得到100次平均的均方误差值。仿真结果如图2.8所示。由图2.8可知，在步长满足算法稳定性的情况下，步长较小（步长=0.01，时需要多于1000次迭代才能收敛。）时，算法的收敛速度慢，为得到满意的结果所需要的采样数据多，但稳态失调误差较小。值较大（步长

=0.09时，算法大约在迭代100次后收敛）时，该算法收敛速度快，但稳态失

调误差变大。收敛速度与稳态失调误差是不可兼得的两个指标。所以对于步长的选取需要折衷考虑。

均衡器的抽头数M为11时表现了最好的收敛性和最小的稳态误差，表明对上述传输环境M为11 抽头时可得到最好的均衡效果。我们知道LMS算法的收敛

速度主要是由步长和特征值分散这两个参数来决定，但是步长参数的值是有理论上界的，它由式（2.2.17）确定。在固定值和特征值扩散时不同M值的信道均衡器的收敛速度和稳定误差是不同的。所以为了使信道均衡得到最理想的效果我们必须合理的选择均衡器的参数。

固定M11和W3.1，由图2.11所示曲线可知，步长为0.01的比特误码率最低、而步长为0.045的较高、步长为0.09的最高。

固定0.075和M=11抽头，由图2.12所示曲线可知，信道失真参数大（特征值分散大）的比特误码率比信道失真参数小（特征值扩散小的）的比特误码率高。

固定0.05和W3.1，由图2.13曲线所示可知，抽头数11的比特误码率最低其次是抽头数15、再次是抽头数21、抽头数25的最高。通过对上述三种情况下的比特误码率的测定，由学习曲线和误码率曲线的一致性，充分支持了LMS自适应算法的参数选取对自适应均衡的影响。