2018学年高中数学人教B版选修2-2学业测评：3.1.1+2 实

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·泰安高二检测)－(2－2i)的虚部是( ) A．－2 C.2

B．－2 D．2

【解析】 ∵－(2－2i)＝－2＋2i， ∴其虚部是2. 【答案】 C

2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则

( )

A．C＝R∪I C．R＝C∩I

B．R∪I＝{0} D．R∩I＝∅

【解析】 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D.

【答案】 D

3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )

【导学号：010061】

A．－2＋i C．1－2i

B．2＋i D．1＋2i

【解析】 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.

【答案】 B

4．下列命题中，正确命题的个数是( )

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0

B．1

C．2 D．3

【解析】 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；

对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0. 【答案】 A

5．复数i－2的虚部是( ) A．i C．1

B．－2 D．2

【解析】 i－2＝－2＋i，因此虚部是1. 【答案】 C 二、填空题

6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.

2

m＋2m－3＝0，

【解析】 依题意有解得m＝－3.

m－1≠0，

【答案】 －3

7．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是__________． 【解析】 3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.

【答案】 3－3i 8．有下列说法：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④纯虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i； ⑥i是方程x4－1＝0的一个根； ⑦2i是一个无理数．

其中正确的有________(填序号)．

【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；2i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．

【答案】 ①②③⑥ 三、解答题

9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 【解】 z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.

(1)令m2－m－6＝0⇒m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数． (2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．

2

m＋3m＋2＝0，(3)由2解得m＝－1，

m－m－6≠0，

所以m＝－1时，z是纯虚数．

10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．

【解】 ∵M∪P＝P，∴M⊆P，

即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，

2

m－2m＝－1，得2解得m＝1； m＋m－2＝0，

由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，

2

m－2m＝0，得2解得m＝2. m＋m－2＝4，

综上可知，m＝1或m＝2.

[能力提升]

34π1．若复数z＝sin θ－5＋cos θ－5i是纯虚数，则tanθ－4的值为( )



A．－7 C．7

【解析】 ∵复数z是纯虚数， 3sin θ－5＝0，∴4

cos θ－5≠0，∴tan θ＝

1

B．－7 1

D．－7或－7

344

∴sin θ＝5且cos θ≠5，∴cos θ＝－5.

sin θ3

＝－. cos θ4

3

－4－1

πtan θ－1∴tanθ－4＝＝1＋tan θ【答案】 A

3＝－7，故选A.

1－4

2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )

A．3＋i C．－3－i

B．3－i D．－3＋i

【解析】 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，

2

n＋mn＋2＝0，m＝3，所以解得 2n＋2＝0，n＝－1，

所以z＝3－i. 【答案】 B

13．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________.

m＋5

【导学号：010062】

2

m＋2m－15＝0，

【解析】 依题意有

m＋5≠0，

解得m＝3. 【答案】 3

4．如果log1(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．

2

【解】 因为log1(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log1(m＋n)－(m2－3m)i是

2

2

m2－3m＝0，

实数，从而有1logm＋n>－1，2

由①得m＝0或m＝3，

①②

当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1； 当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾． 综上可得，m＝0，n＝1.