高考数学考点常见错误分析

高考数学考点常见错误分析

作者：申祺晶 曾 伟

来源：《广东教育·高中》2008年第05期

纵观广东五年高考考点表，可以发现数列，导数，圆锥曲线与直线，向量，正弦余弦定理作为考试重点.目前复习阶段整理重点考点中的错解，非常必要，也是经过实践证明的提高成绩最有效的武器之一.“会而不对，对而不全”是众多考生的通病，因此，正确的克服它对高考成败起着至关重要的作用.下面举例说明，希望能起到抛砖引玉的作用. 例1 求数列1，a，a2，…，an-1前n项和. 考点要求 掌握等比数列的前n项和公式. 错解 Sn=1+a+a2+…＋an-1＝ .

错解分析 本题一方面忽略了对数列是否为等比数列的判断，事实上注意到当a=0时，数列不是等比数列，另一方面易忽略对能否为1进行讨论， 数学思想上没有分类思想. 正解 令Sn=1+a+a2+…＋an-1，分类讨论： 1. 当a=0时，Sn=1； 2. a≠0时，数列是等比数列. （1）当a=１时，Sn=n ； （2）当a≠1时，Sn=.

例2 在ΔABC中，以3，4，K为三边组成的钝角三角形，求K的取值范围. 考点要求 掌握余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题.

错解 根据余弦定理知cosA＜0，当以K为最大边时， 即32+42-K25；当以4为最大边时，3２+ K2－4２5 或0

错解分析 三角形中，钝角与cosA＜0不等价，能构成三角形的条件是两边之和大于第三边. 数学思想表现为分类错误和等价错误.

正解 1. 三边能构成三角形的条件是3+4>K，4-3

2. 由余弦定理，钝角三角形条件是cosA＜0， cosA≠-1, 得到K>5 或0

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

例３已知f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围. 考点要求 能利用导数研究函数的单调性.

错解 f ′（x）=3ax2+6x-1，∵ f （x）在R上是减函数，∴3ax2+6x-1＜0在x∈R上恒成立，即a＜0且Δ=36+1２a＜0，故a＜3. 错解分析 f ′（x）

正解f ′（x）=3ax2+6x-1，∵ f （x）在R上是减函数. ∴3ax2+6x-1＜0 在x∈R上恒成立， 即a＜0且Δ=36+12a≤0，故a≤３. 检验：当a＝３时， f （x）=-3x3+ 3x2-x+1=-3（x- ）3+ 在R上单调递减，满足题设.

例４ 已知向量 ， 夹角为６０°，｜ ｜=2，｜ ｜=1，向量 =2k +7 ， = +k ，若 与 的夹角θ为钝角，求的k取值范围.

考点要求 向量有关计算，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个夹角. 错解 • =（2k +7 ）•（ +k ）＝2k ２＋（2k２＋７） • ＋7k ２＝2k２＋１５k＋７，∵ • ＝｜｜•｜｜cosθ,由题意可知0＜θ＜π，∴2k２＋１５k＋７＜０，解得－７＜k＜ .

错解分析 对两个向量夹角范围认识不清楚，忽视当 与 夹角θ＝π时，cosθ＝－１，数学思想上表现不等价.

正解 由2k +7 =λ( +k ）（λ＜０），可得k= ，再附上述错解内容即可得k 的取值范围是（－７， ）∪（ ， ）.

例５ 已知抛物线y2=2x，过点M（０，３）的直线与抛物线只有一个交点的直线有（）条.

A． 1B． 2C． 3D． 4

考点要求 掌握直线与抛物线位置关系.

错解 设直线方程：y=kx+3与y2=2x，联立方程组，可得方程k2x2+（６k-2）x+9=0，利用Δ=0，解得k= ，故选A.

错解分析 忽视切线斜率不存在的情况，及平行于抛物线对称轴的两种情况，数学思想上表现为数形结合不到位，只有一个交点不一定是切线. 正解 选C，如图两条切线，一条与对称轴平行的直线.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

练习:（2007年湖北高考文科16题）求 f （x）＝２sin2（ ＋x）－ cos2x，x∈（ ， ）的最大值和最小值.（要注意x∈（ ， ）对解题的影响）

正确应用数学思想和审题是解题的关键，平时多注意研究错误解法，对解题的顺利进行必将有较大的促进作用.

责任编校 徐国坚