高数B期末考试试题题库上海第二工业大学sspu

高数(B)复习题

一、 基本题:

第八章 向量代数、空间解析几何

1、设向量a1,0,2，b2i3jk.则

a5312e,,b141414 ；ab1203214；

ab44cosa,bab51470；

ab12ijk026,3,331。

所用知识点：设向量

aaxiayjazkax,ay,az,bbxibyjbzkbx,by,bz则：

aayaxe,,za22aaaaaxbx2cx 1）；

2）

abaxbxaybyazbz；

abcosa,bab

3）

ijk ayabaxayazbybxbybzazbz,axbxazax,bzbxayby

aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx

722、以点A (1,2,3), B（-2,0,1），C（3,1,2）为顶点的三角形的面积为2

AB21,02,133,2,2,AC31,12,232,1,1

172ABAC0,7,7ABAC0494972SABAC22

所用知识点：以

Aax,ay,az,Bbx,by,bz,Ccx,cy,cz为顶点的三角形面积：

1SABAC,ABbxax,byay,bzazACcxax,cyay,czaz2 其中，

2222zxyyz3、yoz坐标面内的抛物线绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程是 绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程是

yxz222x2z2。

所用知识点：见教材P25，或笔记。

222xyz4x2y21z3(x2y2)4、曲线在xoy坐标面上的投影曲线的方程是z0。

Fx,y0F1x,y,z0Fx,y,z0zFx,y0所用知识点：1）2消去在xoy平面上投影方程z0

Fy,z0F1x,y,z0F2x,y,z0xFy,z0yoz2）消去在平面上投影方程x0

Fx,z0F1x,y,z0Fx,y,z0yFx,z0 3）2消去在xoz平面上投影方程y0。

x1y2z32x3yz20231。 5、过点（1,-2,3）且与平面垂直的直线方程为

【解】：1）2x3yz20的法向量为

n2,3,1，设直线的方向向量为

sm,n,p，因为平面与直线垂直，故n//s，故可取

s2,3,1

x1y2z331 2）直线的对称式（点向式方程）为：2所用知识点：1、直线方程：

（1）对称式（点向式）：设直线的方向向量为

xx0yy0zz0np； msm,n,p，且过点M0x0,y0,z0，则直线方程为

（2）参数式：

xx0mtyy0ntzzpt0 （t为参数）；t前面的系数即为方向向量s的三个坐标

sm,n,p

A1xB1yC1zD10AxB2yC2zD20（3）一般式：2;

2、平面与直线关系：设:AxByCzD0;

l:xx0yy0zz0mnp

1) //lnsns0AmBnCp0；

ABCmnp。

2）

ln//sns0xy2z1x2y1z3213213。 6、过点（2,1，-3）且与直线 平行的直线方程为

xy2z13的方向向量为s2,1,3，设直线的方向向量为 【解】：1）21s1m,n,p，因为直线与直线平行，故s//s1，故可取

s12,1,3

x2y1z313。 2）直线的对称式（点向式方程）为：2所用知识点：直线与直线关系：设

l1:xx0yy0zz0m1n1p1；

l2:xx1yy1zz1m2n2p2

1）

l1//l2s1//s2s1s20m1n1p1m2n2p2；

2）l1l2s1s2s1s20m1m2n1n2p1p20。

7、过点（-1,0,2）且与平面x+2y-3z=0平行的平面方程为x2y3z70。

【解】: 1）x2y3z0的法向量为

n1,2,3，设所求平面的法向量为

n1A,B,C，因为平面与平面平行，故n//n1，故可取

n11,2,3

2）平面的点法式方程为：1x12y03z20x2y3z70。

所用知识点：1、（1）点法式：已知平面的法向量 Axx0Byy0Czz00;

nA,B,C及平面上点M0x0,y0,z0，则该平面方程为：

（2）一般式：AxByCzD0;

注：三变量x、y、z前面的系数A、B、C即为平面法向量n的三个坐标

nA,B,C;

若A,B,C,D中有若干个为零（不全为零）则表示平面的特殊位置，具体参见教材。 (3) 截距式：设平面与三个坐标轴的交点坐标分别为a,0,0,0,b,0,0,0,c，即与三坐标轴

xyz1cababc截距分别为、、，则该平面方程为： ；

2、平面与平面关系：设1:A1xB1yC1zD10； 2:A2xB2yC2zD20

A1B1C1A2B2C2;

1)

1//2n1//n2n1n202) 12n1n2n1n20A1A2B1B2C1C20；

8、过点（0,-3,1）且与直线

xt1y2z2t3垂直的平面方程是 . 【解】：1）直线

xt1y2z2t3的方向向量为

s1,0,2，设所求平面的法向量为

nA,B,C，因为平面与直线垂直，故n//s，故可取

n1,0,2，

2）平面的点法式方程为：x00y32z10x2z20。

所用知识点：平面与直线的位置关系，同第5题.

39、点（-1,1,0）到平面x+y-z+1=0的距离为3。

所用知识点：平面外一点Mx0,y0,z0到平面AxByCzD0的距离：

dAx0By0Cz0DA2B2C2。

xy110、设直线L:,平面：2xyz20yz20则直线L与平面的夹角为:arcsin23 。

xy1n1,1,0,n20,1,1【解】：求直线yz20的方向向量：1）1

 2）

ijksm,n,pn1n21101,1,1011

 3）平面的法向量：

n2,1,1

nssin263arcsin 4）

ns23

A1xB1yC1zD10AxB2yC2zD20所用知识点：1、直线的一般式化为对称式将直线的一般式2化为对称式的

1） 先写出平面的法向量：

n1A1,B1,C1,n2A2,B2,C2;

2） 求出直线的方向向量

sm,n,pn1n2；

3） 在上述方程中可令x或y或z为一常数（一般令为“0”比较方便），将方程化为二元一次方程求得另二个变量的解，由此得到直线上一点x0,y0,z0；

xx0yy0zz0mnp。 4） 从而得到直线的对称式方程为：

nssinAmBnCpA2B2C2m2n2p22、平面与直线夹角：

ns。

第九章 多元函数微分法及其应用

xy2的定义域是x,yyx,2xy2。

1、函数

zln(yx)arccosln1xy10x,y0,0sin(2x2y)cosxy2。所用知识点： 0型 等价无穷小替换 2、

limln1xyln1xy1limlimx,y0,0sin(2x2y)cosxyx,y0,0sin(2x2y)x,y0,0cosxy【解】：

limxyt

ln1xy1ln1tt1limlimlimt0sin2tt02tx,y0,0sin(2x2y)cos02

1xy1x,y1,0x2y2 所用知识点： 直接代入法 lim

2xy4limx,y0,0xyxyt2t42t42t4t1limlimlimt0tt0t04t2t4t2t4

0所用知识点：0型 含根式利用根式有理化。

3、设f(x,y)x4xy3y，则h022limf(1,2h)f(1,2)8h

【解】：

limh0f(1,2h)f(1,2)fy1,2x24xy3y2yhx1,y24x6yx1,y28

所用知识点：

zxxx0yy0limh0f(x0h,y0)f(x0,y0)h；

zyxx0yy0limh0f(x0,y0h)f(x0,y0)h

f(x,y)f(x,y)12y22f(xy,xy)xyxyxy4、已知函数，则 。

【解】：1）

f(xy,xy)x2y2xyxyxyfx,yy2x2

f(x,y)f(x,y)12yy 2）x

2z5、设 zln(2yx) 则xyx1y12.

【解】：

zln2yxz1112yxxx2yx2yxx2y

2z0x2yy22z22xyx2yx2yxy1,12x2y21,12

6、

设u(xy)z,则du(1,0,1)dxdy 。

【解】：1）

u(xy)zuuz(xy)z1xyxz(xy)z1,xx1,0,11

uuz(xy)z1xyyz(xy)z1y y1,0,11

uu(xy)zlnxyzz1,0,10

uz 2）

du1,0,1ux1,0,1dxuy1,0,1dy1,0,1dzdxdy

uuuzzdudxdydzdzdudvzf(u,v)uf(x,y,z)xyzuv； 若所用知识点：若，则，则。

7、若uf(x2y2,exy),则uu______,______.xy 若uf(2x,xy,xyz),则fx__________,fy_________,fz_________.

fx2y2uf1x2y2f2exy2xf1yexyf2xx【解】：1）x， 其中

f1

fexyf2



u 2）xf12xxf2xyxf3xyzx2f1yf2yzf3

u xf12xyf2xyyf3xyzy0xf2xzf3xf2xzf3 u xf12xzf2xyzf3xyzz00xyf3xyf3

所用知识点：抽象函数的偏导数。

8、二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)处满足的关系为（ B ）

A) 可微可导连续 B) 可微 可导，或可微连续，

但可导不一定连续

C ) 可微可导连续 D) 可导连续，但可导不一定可微

所用知识点：多元函数的极限、连续、偏导数、全微分之间关系。

x1y1z9、曲线xt,yt2,zt3在t=1处的切线方程为1213, 法平面方程为x2y3z6Txtt1,ytt1,ztt1,1t1,2tt1,3t2t1,1,2,3

切点为：

(1,12,13)1,1,1,

：1）

【解】曲线的切向量

x1y1z1123 2）切线方程为

法平面：1x12y13z10x2y3z60。

xxt,yyt,Mxy,zzzt,所用知识点：空间曲线 在tt0时对应的点00,00处

1）切线方程：

xx0yy0zz0xt0yt0zt0

2）法平面方程：xt0xx0yt0yy0zt0zz00

x1y1z3zx2y241 10、曲面 在点(1，-1，3)处的法线方程为

22切平面方程为2x4yz3

Fx,y,zx22y2z【解】：1）设

nFxx,y,z曲面的法向量

2xx0,y0,z0,Fyx,y,zx0,y0,z0,Fzx,y,zx0,y0,z0

1,1,3,4y1,1,3,11,1,32,4,1x1y1z3zx2y241 曲面 在点(1，-1，3)处的法线方程为

22

2）切平面方程为：2x14y1z302x4yz3。 所用知识点：曲面Fx,y,z0上一点M0x0,y0,z0处

1）切平面方程：

Fxx0,y0,z0xx0Fyx0,y0,z0yy0Fzx0,y0,z0zz00

xx0yy0zz02） 法线方程：Fxx0,y0,z0Fyx0,y0,z0Fzx0,y0,z0

222,23zxy11、求函数在点1,2处沿从点1,2到点的方向的方向导数。

【解】：1）先求方向l的方向余弦：

l21,2321,3

cos1211

l32133,cos22l

zz2xx 2）x1,22x1,22,zz2yyy1,22y1,24

z 3）l1,2zx1,2coszy13cos241231,222

22f(x,y)xxyy12、函数在点(1,1)处的方向导数为coscos

该点处各方向导数中的最大值是2； 方向是gradf1,11,1； 最小值是2； 方向是gradf1,11,1

【解】：1）

f(x,y)x2xyy2fx2xy,fy2yxfx1,12xy1,11

fy1,12yx1,11。 2）任一方向l的方向余弦为cos,cos

22f(x,y)xxyy 3）函数在点(1,1)处的沿任一方向的方向导数为

f l1,1fx1,1cosfy1,1coscoscos

gradf1,1f22xf(x,y)xxyy4） 函数在点(1,1)处梯度：

1,1,fy1,11,1

沿梯度方向方向导数取得最大值 ，最大值为

gradf1,112122 沿梯度的反方向方向导数取得最小值，最小值为

gradf1,112122

所用知识点：教材P102，P104 1）函数fx,y在点p0x0,y0沿着l方向的方向导数为：

flp0fxp0cosfyp0cosfxx0,y0cosfyx0,y0cos

其中：cos,cos是方向l的方向余弦。

2）函数fx,y在点p0x0,y0处梯度

gradfx0,y0fxx0,y0,fyx0,y0

gradfx0,y03）函数在某点取得最大方向导数的方向即是函数在该点的梯度方向。最大值为

第十、十一章 积分学

1、

设D(x,y)1x2y24,则2d2d2SD2416DD

所用知识点：

kdkSDD，其中SD为积分区域D的面积。

1431223

2、

设(x,y,z)0z1x2y2,则3dv3V3所用知识点：

kdvkV，其中V为积分区域V的体积。

3、二次积分10dyfx,ydx1ey交换积分次序后为e1dx1lnxfx,ydy。

【解】：

dy01ey11xeylnxy1fx,ydxDYDx1xe 0y1所用知识点：先由已知积分类型画出积分区域图，然后再交换。

4、二次积分02dx2xx20fxydy22化为极坐标形式的二次积分为20d2cos0f2d。

【解】：1）

20dx2xx200y2cos2y2xxfx2y2dyDxD00x22  2）

dxdydd,fx2y2fcos222sin2f

2 3）02dx2xx20fxy22dyfxDydxdyd202cos0f2d

所用知识点：先由已知积分类型画出积分区域图，然后化为极坐标。

5、设L为连接点（0,1）与点（1,0）两点的直线段，则L【解1】:1) L方程为：xy1y1x,x:01

(xy)ds2

y1xy1ds1ydx2dx2

110 2）将L方程代入被积函数中得：L(xy)dsx1x2dx2x02 【解2】：:1) L方程为：xy1x1y,y:01

x1yx1ds1xdy2dy2

110 2）将L方程代入被积函数中得：L(xy)ds1yy2dy2y02 所用知识点：此为第一类曲线积分，计算公式见教材P187--189

22xy2取正向，则曲线积分 6、设曲线L为整个圆周xdyydx （ D ）

LPx,yyPy1,Qx,yxQx1QxPy2【解】：1）利用格林公式：

2）

LxdyydxQxPydxdy2dxdy2SD2DD224

所用知识点：格林公式

Px,ydxQx,ydyQPdxdyLxyD， L：取正向。D是

封闭曲线L所围成的区域。

(xay)dxydyL(xy)2L7、设是不经过原点的任何曲线，为了使曲线积分与路径无关，

则a2。

【解】：1）

Px,yxayxy2Pyaxyxay2xy2xy4a2xay3xy

Qx,yyxy2Qx0y2xyxy42yxy

3 2）因为积分与路径无关，故

QxPya2xay2ya233xyxy

PQx （ D ） 8、表达式Px,ydxQx,ydy为某一函数的全微分的充要条件是y【解】：

Px,ydxQx,ydyPx,ydxQx,ydy

PQPx,ydxQx,ydyPx,ydxQx,ydy所用知识点：L与路径无关yx

是某一函数全微分。

第十二章 级数

2nn3n01、级数的和为3.

2n22n11...3nn2333n013【解】： （首项为1，公比为2/3）

所用知识点：几何级数

首项nax1-公比发散x1x1;

2、判定下列级数的敛散性：

5n5()x12A) n12 ，故发散。



B)

n12n32n11n3233p1n12n为2 p级数，收敛。 再由收敛级数性质1

1n12n3也收敛。

C ）n1(1)n12n1n12n1n12n1(1)limunlim(1)0nn3n发散。 3n3n由级数收敛必要条件：n1D)n1(1)n12n3条件收敛。

所用知识点：1）几何级数

首项axn1-公比发散x1x1;

收敛1pnpn1nn1发散2） P-级数

p1p1

绝对收敛n11条件收敛pnn1发散3）交错级数

P10P1P0

4）级数

un1n收敛的必要条件：级数

un1n收敛

limun0n

注：如

limun0n级数

un1n发散.

3、若级数n1(3an2n12)liman3n1收敛，则n9。

【解】：因为级数n1(3an2n1)3n1收敛，故由级数收敛的必要条件：

2n12n122limunlim3an03limalimlimannnnnn3n1n3n139 

4、若幂级数n1anxn在x3处收敛，则此级数在点x2处的收敛性为：绝对收敛。

若幂级数n1anxn在x3处发散，则在x4处敛散性为：发散。

所用知识点：阿贝尔定理

5、若幂级数n1an(x1)n的收敛半径R=2，则此级数在点x2处的收敛性为：发散。

所用知识点：收敛半径与收敛区间定义。

3nnn!x3xen06、幂级数的和函数为:

3nn3xn!xn!e3xn0【解】: n0

ntn1213tne1ttt......t2!3!n!n0n!所用知识点： 

t

7、函数项级数n1(1)n1(2x1)nn的收敛域为：1,0。

【解】:

(1)n1n1n1n1(2x1)nntn(2x1)(1)ln1t1nn1,因为n1 1t1 n0n0 故：12x111x0，收敛域为：1,0

n1tn11213ntln1t1ttt...1...n123n1n0所用知识点： 1t1

n二、计算题：

（一） 向量、空间解析几何：

2xyz501、 求过点（1，-2,3）且与直线x2y6z2垂直的平面方程.

【解】：1）先求直线的方向向量：

ijksn1n22,1,11,2,62114,13,5126

 设所求平面的法向量为

nA,B,C，因为平面与直线垂直，故n//s，故可取

n4,13,5

4x113y25z304x13y5z70 2）平面的点法式方程为：

所用知识点：参见第八章填空题8，填空题10

4xy3z102、 过直线x5yz20且与平面2xy5z20垂直的平面方程.

4xy3z10【解】：1）设过直线x5yz20的平面束方程为

:4xy3z1x5yz204x51y3z210

 对应的法向量为：

n4,51,3

2）已知平面1:2xy5z20的法向量为

n12,1,5

3）因为两平面垂直，故

nn1nn10241515303

4）将3代入4x51y3z2107x14y50

5）经验证x5yz20不是所求平面（因为1,5,12,1,525580）

故所求平面为：7x14y50

A1xB1yC1zD10AxB2yC2zD20所用知识点：平面束方程：若直线L为：2，则

A1xB1yC1zD1A2xB2yC2zD20* 称为通过直线L的平面束方程。

注:1)通过直线L的任何平面（除A2xB2yC2zD20平面外）都包含在方程*所表示的一族平面内

2）解题时也应对平面A2xB2yC2zD20是否也符合解题要求加以验证，以确定

A2xB2yC2zD20是否也为所求平面。

3、 求过点（-2,1,2）且与两平面1:3x2z10,2:x3y2z0都平行的直线方程. 【解】：1）因所求直线与1:3x2z10,2:x3y2z0均平行，故直线的方向向量与平面的

 法向量垂直，即

sn13,0,2,sn21,3,2，故可以取



sn1n23,0,21,3,26,4,9

x2y1z249 2）所求直线方程为6所用知识点：1）直线与平面的关系

 2）设向量

aax,ay,az,bbx,by,bz

则与a，b同时垂直的向量可以取为为：ab

xy1z23xy2z201 4、 求过点（2,1，-1）且与平面平行，又与直线12

相交的直线方程.

x2y1z1np，因与平面3xy2z20平行 【解】：1）设所求的直线方程的对称式为：m 故

snm,n,p3,1,23mn2p0

xy1z21相交，故有 2）又与直线1202112112n1p21m02n114p2mn0p

m

m2p3mn2p0n8px2y1z14p2mn0pp281 由所求的直线方程为

所用知识点：直线

l1:xx1yy1zz1xx2yy2zz2l2:m1n1p1与直线m2n2p2相交

则l1与l2必共面，即

M1M2s2s1x2x1m2m1y2y1n2n1z2z1p2p10

【解2】：1）求出过点（2,1，-1）且与平面3xy2z20平行的平面：

3x2y12z103xy2z70

2）求出直线

xtxy1z2y2t1121zt2（直线的参数式）与平面3xy2z70

的交点：将

xty2t1zt2代入3xy2z70中求得

t43，从而得交点为

452,, 333

452,,3）连接点（2,1，-1）与333的直线即为所求的直线：

x2y1z1x2y1z1x2y1z1452281281211333333

（二） 微分学：

z2z,2x23ze(3x2y)1、设，求 xyx.

ze2x3x22y3e2x(3x22y3)2x23e(3x2y)xx【解】：1）x

2e2x(3x22y3)e2x6xe2x6x26x4y3

ze2x(3x22y3)6y2e2x2x23e(3x2y)yyy 2）

2z6y2e2x12y2e2xx yx

zz,x2yz(2xy)(2xy)0xy. 2、设，（），求

x2yvz(2xy)u【解】：1）令，其中u2xy,vx2y

zzuzvuv2xyxuvx2yxuv 2）xuxvx

2vuv11uvlnuuv12vulnu

2xyx2y12x2y2xyln2xy

zzuzvuv2xyyuvx2yyuv 3）yuyvy

1vuv12uvlnuuv1v2ulnu

2xyx2y1x2y22xyln2xy

3、设

zsin(x2y),而xe2t,ycos3t,求dz.dt

2tzsin(x2y)zsine2tcos3txe,ycos3t【解】：1）将代入

 2）利用一元复合函数的求导公式：

dzcose2tcos3te2tcos3t2e2t3sin3tcose2tcos3tdt

zz,2sin(x2y3z)xyzzf(x,y)xy. 4、设函数是由方程： 所确定的隐函数，求

Fx,y,z2sin(x2y3z)xyz【解】：1）设 Fx,y,zx2cos(x2y3z)(x2y3z)x1yzxyzx2cos(x2y3z)2xyz2xyz

Fx,y,zy2cos(x2y3z)(x2y3z)y1xzxyzy4cos(x2y3z)2xyz2xyz

Fx,y,zz2cos(x2y3z)(x2y3z)z1xyxyzz6cos(x2y3z)2xyz2xyz 2）

Fxz...x...FzzFy...,yFz...

Fx,y,z0由方程确定，则

所用知识点：二元隐函数：

FyFxzzFz0,,xFzyFz 当

zzx,y

3322f(x,y,z)xy3x3y9x的极值. 5、求函数

2y0f(x,y,z)x3x6x90x3,2x1y2f(x,y,z)x3y6y0【解】：1）得驻点：

3,0,3,2,1,0,1,2 2）再求二阶导数

fxx6x6,fxy0,fyy6y6A6x06,B0,C6y06

3,0ACB263660602720f3,0在处非极值；

3,2ACB2126720在处，又A120，所以函数在3,2有极大值

f3,231；

21,01,0在处ACB126720，又A120，所以函数在有极小值f1,05；

1,2ACB2126720f1,2在处不是极值。

（三） 积分学：

1、计算二重积分：

xydD，其中D由直线x=2, y=x及曲线xy=1所围成的闭区域.

1yxDXx1x2 【解】：1）画图确定积分区间：

2）

xydD21dx1xydyxx2122yxx1ydydxx21xx1x1231151dxxdxln212x82

ey0dxxxdy2、计算二重积分：

1120xy2xy1DXDY0x10y1 【解】：1）交换积分次序：

y1y2e1y211eyy2y2dxdye2x0dxxxdy0dy0xdx0e00x 2）

1122y20dy

2ye01y2dyeydy2ey21201011e

3、计算二重积分：

Dx2y2d，其中

D(x,y)0y2xx2

02cosD0x2 【解】：1）画图，积分区域为上半个圆，故化为极坐标：

2）x2y2cossin22

ddd

 3）

DxydddD22202cos0dd220332cos0d

888322cosd2coscosd21sin2dsin3030 30

8sin3sin33

20169

D(x,y)x2y21,x0f(x,y)4、设函数在闭区域上连续，

且

f(x,y)1x2y2f(x,y)d,D8求函数f(x,y).

8【解】：1）设

Df(x,y)dk，则

f(x,y)1x2y2k

D8f(x,y)d1x2y2kdDD81x2y2dkd DD 2）

01(x,y)x2y21,x0Dx22

故

Df(x,y)dD81x2y2dkdD



k2d1d20128k18k12SD2d1322



k34kk15f(x,y)1x2y2815

5、 计算三重积分

ydv，其中由z0,yz1,yx所围成的闭区域

22y1,yxxoy【解】：1）画图，积分区域在平面上的投影区域为由曲线围成的闭区域，故

有

0z1yx2y11x1

2）

ydvdx2dy1x111y0ydzdx2y1x111y0dzdydx2y1ydy1x11

y2y3dx2yydy1x123

11211x21x4x6dxdx...1623

1 所用知识点：三重积分的投影法（先一后二）

6、计算三重积分:

x3y2zdv。 其中是由平面x0,y0,z0及与平面xyz1

所围成的闭区域。

0z1xy0y1x0x1【解】：1）

11x1xy11x 2）因为

xdv0xdx0dy0dzxdx00z1xy0dyxdx101x01xydy

y21xy02121x11221xdxx1xdxxx1dx00022

111311423x21112112x2xxdxxx002432243224 2

124

同理

ydvzdv 3）

xyzdvxdv3ydv2zdv112

所用知识点：三重积分的投影法（先一后二）

7、计算三重积分

zdv2，其中

(x,y,z)0z1x2y2.

【解1】：投影法

01D:22xy1xoy1）画图，积分区域在平面上的投影区域：围成的闭区域，02

故三重积分采用柱面坐标

0z1x2y20z1201010202有，dvdxdydzdddz

31z1222zdvzdzd0003D 2）2120311222d0d01d3

35112122122222221d1d110dd06060515015

【解2】:1）

x,y,zx,yDz,0z1，其中D是竖坐标为z的平面截所得到的

z一个平面闭区域：

Dz:x2y21z2

2）

zdvdzzdxdy0DZ21210zdzdxdyzSDZdzzDZ00212121z2dz2

z3z512z1zdz001535

122所用知识点：三重积分的截面法（先二后一） ，见上课笔记。

8、计算曲线积分L2xydxx2dy，

2xy其中L为抛物线上从点O（0,0）到点A（1,1）的一段弧.

22xydxx2dy:xy,y:01【解】：1）将路径方程L直接代入曲线积分L中。

2）L2xydxxdy2yydyy2220122dy10222yydyydy32

4ydyy40122dy5y4dyy501101

所用知识点：此为第二类的曲线积分，故当路径方程及被积函数很简单时可采用

直接代入法。

ydxxdyx2y2dz9、计算曲线积分：

ttte,e1,2xe,ye,z2其中是曲线上起点为A终点B1,1,1的一段弧。

e,e【解】：1）显然，当t:10时，恰巧对应曲线的起点A1,2与终点B1,1,1。

tttydxxdyx2y2dzxe,ye,z2 2）将路径方程：直接代入

 ydxxdyxydzetdetetdete2te2td2t2210

etetdtetetdte2te2t2tdt01

22e2ln22e2ln2dt...tt10

所用知识点：此为第二类的曲线积分，故当路径方程为参数形式时采用

直接代入法。

10、计算曲线积分：L(2yxe2y)dx(x2e2y8)dy，

2其中L是从点（0，0）到点（4，0）的上半圆周y4xx。

【解】：1）

Px,y2yxe2yPQ22xe2yQx,yx2e2y82xe2yyx；

QP20xy 因为，故采用添线利用格林公式。

2）添线：L1：y0,x:40，（注意方向）则LL1围成封闭的有向曲线，方向为顺时针方向。

3）利用格林公式：

2yxedxxe2yL22y8dy2yxe2ydxx2e2y8dy L1LL12yxedxxe2y22y8dy

QP12dxdy2dxdy2S224Dxy2DD

4）

2yxedxxe2yL22y8dy42yxe2ydxx2e2y8dyL1

0420xe20dxx2e208d04 

0x24xdx442

0448。

所用知识点：1）当路径为圆弧或较复杂的曲线，且被积函数较为复杂时，则算出

QPQP0xyxy 若，则添线利用格林公式；

QP=0 若xy，则积分与路径无关，另取路径。

QPPx,ydxQx,ydydxdyLxyD 2）格林公式：，

L：为封闭曲线取正向。D是封闭曲线L所围成的区域。

如是单连通区域，则逆时针方向为正向。

如取顺时针方向，则在公式前面添上“-”号

e(xy)2ydx2ye(xy)2xdy, 11、计算曲线积分L22

其中L为余弦曲线ycosx上自

0,1到,02的弧段.

【解】：1）

Px,yexy2y22PQxy2xy22yexy2Qx,y2ye2x2ye2yx；

QP0xy 因为，故曲线积分与路径无关。另取路径：LL1L2

其中L1:x0,y:10；

L2:y0,x:02

e(xy)2ydx2ye(xy)2xdyL1L2  2）L22

e10(0y2)2yd02ye(0y2)20dy2e(x0)20dx20e(x0)2xd0022

2yedy2edxe100y2xy201ex20e2e

12、求a,b的值，使曲线积分L(axy2y3)dx(6x2ybxy2)dy

在整个xoy面内与路径无关。并计算(1,2)(3,4)(axy2y3)dx(6x2ybxy2)dy的值.

【解】：1）

Px,yaxy2y3PQ2axy3y2Qx,y6x2ybxy212xyby2yx；

因为曲线积分L(axy2y3)dx(6x2ybxy2)dy在整个xoy面内与路径无关，

PQ2axy3y212xyby2a6,b3 故yx。

2） 因为曲线积分在整个xoy面内与路径无关，故另取路径如下：

LL1L2，其中L1:y2,x:13； L2:x3,y:24

(1,2)(3,4)(axy2y3)dx(6x2ybxy2)dy(3,4)(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy

(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dyL1L2

6x2223dx6x223x22d263y2y3d3632y33y2dy1234

6x2223dx632y33y2dy12x28x123427y3123y342...

所用知识点：曲线LPx,ydxQx,ydy积分与路径无关的充要条件为：

曲线积分与路径无关

QPQP=0xyxy

22（2xcosyycosx)dx(2ysinxxsiny)dy 13、验证

在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数u(x,y).

P2xsiny2ycosxy

【解】：1）

Px,y=2xcosyy2cosx

Qx,y=2ysinxx2sinyQ2ycosx2xsinyx

QPQP022（2xcosyycosx)dx(2ysinxxsiny)dy xyxy 因为，故

在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分。

2）取xoy平面内一点0,0，则可求得一个函数ux,y如下：

x,yx,y

ux,y0,0Px,ydxQx,ydy（2xcosyy2cosx)dx(2ysinxx2siny)dy0,0

QPQP0xy，故上述积分与路径无关，另取路径：LL1L2 因为xy 其中L1:Y0,X:0x； L2:Xx,y:0y

3）

ux,y（2xcos00cosx)dx(2ysinxx2siny)dy200xy

2xdx(2ysinxx2siny)dyx200xyx0sinxy2x2cosyy0

故得一

x2y2sinxx2cosysinx02x2cos0y2sinxx2cosy

ux,yy2sinxx2cosy

（显然

uxPx,y;uyQx,ydux,yuxdxuydyPx,ydxQx,ydy

22（2xcosyycosx)dx(2ysinxxsiny)dy是函数ux,y的全微分） 即。

所用知识点：下列条件互为充要条件

QPQP=0xyxyPx,ydxQx,ydy积分与路径无关Px,ydxQx,ydy是

L某一函数的全微分

LPx,ydxQx,ydy0（L是封闭的有向曲线）

14、计算曲面积分

x2y2zdxdy ，

222为曲面：xyz1位于第一卦限的部分，取上侧。 其中

222Dxy:x2y21,x0,y0：xyz1xoy【解】：1）将投影至平面，投影区域为：

01Dxy02

22222z1xy：xyz1 2）将方程改写为： ，代入被积函数

x 2y2z222：xyz1取“上侧” 中，同时注意：

220 3）

xyzdxdyxy222Dxy21xydxdy2d212d01

所用知识点：1）曲面的方程：zz(x,y)，Dxy为曲面在xOy面上的投影区域，则

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy，（上侧取“+”，下侧取“”）

2）曲面的方程：xx(y,z)，Dyz为曲面在yOz面上的投影区域，则

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydzDyz（前侧取“+”，后侧取“”）

3）曲面的方程为yy(x,z)，Dxz为曲面在xOz面上的投影区域，则

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(x,z),z]dzdxDxz（右侧取“+”，左侧取“”）

15、计算曲面积分

22(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdy，

22z1xy其中为曲面位于xoy面上方的部分，取下侧.

QP2Qx,y,z(zy)1Px,y,zy2x2yx【解】：1）；

2

Rx,y,z23zRPQR32zxyz

22:z0,xy1，取“上侧”1 2）添面，则1构成封闭曲面，并取“内侧”

可利用高斯公式：

2222(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdy(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdy1

PQR22(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdydxdydzxyz1

因为1构成封闭曲面，并取“内侧”，故取“-”号。

PQR22(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdydxdydzxyz

22(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdy1

PQR1443dxdydz2dxdydz2V21xyz2333） 

22Dxy:x2y21:z0,xy1xoy1 因为在平面上的投影区域为,并取上侧，故

22(y2x)dyd0(0y)d0dx(230)dxdy(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdyD1xy

22

Dxy2dxdy2SD2122

4)

22(y2x)dydz(zy)dzdx(23z)dxdy410233

PQRxyz所用知识点：1)若常数，且添一张面可以围成封闭的曲面，则可考虑利用

高斯公式。

2）高斯公式：设空间闭区域由光滑的曲面所围成，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),

R(x,y,z)在上具有连续偏导数，则

PdydzQdzdxRdxdy(PQR)dxdydzxyz

其中是的整个边界曲面的外侧。

（四） 级数：

1、判别级数

2nsinn13n的敛散性.

【解】：1）此为正项级数，采用比值法：

un2sinn3n,un12n1sin3n1 2）

n1n1un133unn2sinnsinn33

2n1sin2sin

un13n12lim3n12lim3n121limnunnnn3sinnsinn333n 3）因为

lim2sinsin 故由正项级数的比较法：

2nsinn13n收敛。

un1unnun所用知识点：正项级数比值审敛法: 设正项级数n1满足,0,则有

lim （1）

1unn1收敛; （2）

1unn1发散;

（3）

1unn1可能收敛也可能发散.

nn注:当一般项含有a;n!;n时考虑用比值法。

2、判别级数n1(1)n1n2n33的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？

【解】：1）n1(1)n1nn2n33n12n33

2）

unnn11v2n3322n3，可取2nn

n43un2nlimlim2n3lim41nnvnnn2n3n2n3 因为，故由正项级数比较法的极限形式

1n11uvn2p21n2n33n2n2n1n1 n1与n1具有相同的敛散性。因为n1为

112 的p级数，收敛。再由收敛级数的性质：乘上不为0的常数仍收敛2n1n收敛

n3n12n3收敛。

 3）n1(1)n1n2n33收敛，且为绝对收敛。

3、判别级数n1(1)n113n22的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？

【解】：1）

(1)n1n113n2213n22 n1un1111un,vnlim1n223nnvn33n23n 2），而n1发散

11112np1p （n1为 的级数，发散），故n13n2。



 2）因为

(1)n1n113n22为交错级数，且

（1）

nlimunlim13n22n0un13n2213n122un1， （2）

故由莱布尼茨判别法：n1(1)n113n22收敛。

3） 由1）与2）知

(1)n1n113n22收敛且为条件收敛。

所用知识点：1）正项级数比较法的极限形式：

unlunvnnvn设正项级数n1与n1的通项满足

lim则（1）当

u0ln1n与

vn1n具有相同敛散性;

（2）当l0时n1vn收敛

un1n收敛; 当l时n1vn发散

un1n发散.

2）交错项级数的莱布尼兹审敛法:设交错项级数n1blimun0n1nun满足：

aunun1,n1,2,3,...

则交错项级数n11nun收敛.

3、求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.

所用知识点：幂级数的收敛半径，收敛区间与收敛域：

收敛半径的求法: 设为幂级数的一般项,求

unlimnun1un,

a) 若

limnun10un,则R,收敛区间为 ,

b) 若

limnun1un,则R0,级数仅在x0处收敛.

c) 除上述两种情况外,可设

limnun11un,解得

xR,得收敛半 径R与收敛区间R,R.

d)将xR代入n1uxn中得二常数项级数，由常数项敛散性的判别法判别

这二级数的敛散性从而得到收敛域。

xnn2（1） n0



uxnxn1un,un1limn1n2n3nun【解】：1）

xn13limn2xx1limnnxnnn1n2

1x1收敛区间为1,1，收敛半径为R1

n1xnn11n2n2n2，收敛。 x1nn0n0 2) 时，01xn1n2n2n2x1nn0n0 时，0，发散。 故收敛域为：1,1

nx2n(1)n2n， （2）n1

n 【解】：1）

2nxnxn1un(1),un1(1)n1n2nn122n1

nlimun1limnunxn1(1)n12n12n1

x2n(1)n2nnlimn12x2x1n2n12

2,22x2 收敛区间为，收敛半径为R2 2xn(1)(1)nnn2n2x2n1n1 2）时，n2n2n2nn1(1)(1)nn收敛 n2n1n1n

n2xnn2n1(1)(1)(1)(1)nnnn收敛 n2n2n2x2n1n1n1 时，n1n2n2n2,2 故收敛域为：(x5)nn（3）n1

(x5)n(x5)n1un,un1nn1 【解】：1）

limnun1un(x5)n1nn1limlimx5x51n(x5)nnn1n

4x6收敛区间为4,6，收敛半径为R1。

(x5)n(45)nn11nn1n1n1n1n2，收敛。 2）x4时，

(x5)n(65)n1n11nn11n1n1n1n12n2n，发散。 x6时，

故收敛域为4,6

x2n(1)2n4、求幂级数n1 的和函数.

n【解】：1）先求收敛域：

x2nn1xun(1),un1(1)2n2n1n2n1

limnun1un

x2n2(1)2n2lim2nx2x21lim2nnn2n2nx(1)2n 1x1收敛区间为1,1

n1x2nn1(1)(1)2n2nx1时，n1n1n2n11(1)n2n1n，收敛。

2nx2n1n1n1(1)(1)(1)2nn12n2n1n，收敛。 故收敛域为：1,1 x1时，n1nx2nx2x4Sx(1)...2n24n12）设， S00

n2n2n1xxxn2nxnnSx(1)1x2n1xx3...12nn12n1x21x2n1n1

x0SxdxxdxSx01x2xx01ln1x22x011SxS0ln1x2(ln1)22

1Sxln1x2x1,12故，



所用知识点：幂级数的性质:见教材P276性质3求幂级数在收敛域内的和函数

5、 求n1nxn1在收敛域（-1,1）上的和函数，并求级数n13n1n的和.

【解】：1）设

Sxnxn1n1

 2）

0xSxdxnxn10xn1dxn1xxn0xnxx2...n1x1x



x0x1xx1x1xSxdxSx1x1x21x2

 故

nxn1n111x2，

n1x1,1

3n1n1n1n3n111x2x131113294 3）

所用知识点：幂级数的性质:见教材P276性质2求幂级数在收敛域内的和函数

2f(x)ln(1x2x)展开成x的幂级数， 并指明收敛域. 6、 将函数

【解】：1）

f(x)ln(1x2x2)ln12x1xln12xln1x

n1tn11213ntln1t1ttt...1...1t1 n123n1n0 2）因为

n 故

ln12x1n0n2xn1n1,12x111x2 2

ln1x1n0n1xn11x11x1n1n0n1 ， 

n13）

f(x)ln(1x2x2)1n0n2xn1n1xn0n1n0n1221n1nxn1

11x22 11,收敛域为：22

7、将函数fxxln1x展开成x1的幂级数，并指出收敛域。

fxxln1xx11lnx12 [解]：1）

x1lnx12ln1ln22 而

n1tn11213ntln1t1ttt...1...1t1 n123n1n0 2）

n

n1x1n2x1lnx12ln12ln21n1n0

n1x11ln212 x1ln21n12n1 n0 ， 1x3

nn1nx1fxxln1xx1112n1n1ln2n0 1x3 3）

7、 将函数

f(x)x(2x2)2展开成x的幂级数， 并指明收敛域.

x11f(x)2222(2x)2x 【解】：1）

1nn1tn1tt2tn...1tn... 2）1tn0 t1

11222x

22n11nxnx11n122n0x22n012 ，

n

x212x22

3）

2n2n1x1111nxn2nxf(x)12n1n12122x22(2x2)22n0n0



1n0n1nx2n12n1

x2时，

n01n1n2nxn11n122n1n02n12n11n0nn22， 发散。

（通项极限不为0，由级数收敛必要条件，发散）

x2时，

n01n1n2nxn11n122n1n02n12n11n0n1n22， 发散。

2n1xn1nxf(x)122n12,2(2x)2n0故， 收敛域为

8、 将函数

f(x)1x23x2展开成(x4)的幂级数，并指明收敛域.

【解】：1）

f(x)1111x23x2x1x21x2x



1111113x42x431x421x432

1tn1tt2...tn...1t1 2）1tn0 

1x4x4n0313

nx4117x13

1x4x4n0212

nx4116x22

nn111111x41x4f(x)2x4x4323322x3x2n0n011323）

1n1n1n1x43 n02， 6x2

收敛域为：6,2

三、应用题：

2yx1、求抛物线与直线xy20之间的最短距离.

【解】：1）设

px0,y0为抛物线上一点，则

y0x02

px,y 则00到直线xy20的距离为

dx0y021212x0y022

问题化为求

fx,yxy2d2222yx在满足条件下的最小值点

2yx 2）将代入

fx,yxy222中：

fxxx2222fx2xx22211112x0x,y24 221111,,2驻点24唯一，由实际问题知，当点为24时，d最小，即d也最小，

dx0y02211,24此时最小值为

112724242

所用知识点：1）直线外一点Mx0,y0到直线AxByD0的距离：

dAx0By0DA2B2

2）平面外一点Mx0,y0,z0到平面AxByCzD0的距离：

dAx0By0Cz0DA2B2C2

3）点Mx0,y0,z0到点Nx1,y1,z1的距离：

dx1x0y1y0z1z0 2222、求过点（2,1,2）的一平面，使此平面与三个坐标面在第一卦象内所围成立体的体积最小.

xyz21211abcabc【解】：1）设平面方程的截距式： ，且满足

1212212Fx,y,zabc1106abc 则问题化为求满足条件abc下的最小值

2）由拉格朗日乘数法

设拉格朗日函数为

Lx,y,z2121xyz16xyz

21Lyz02x6xL1xz0y6y2L1xy20x6z221210xyz

x621210y3xyzz6xz2y代入

6,3,6驻点6,3,6唯一，由实际问题知，当点为时，平面与三个坐标面在第一卦象内所围成立体的

xyz1636体积最小。故所求平面为：

2222z6xy与曲面z=xy3、求曲面所围成的立体的体积.

2222z6xy与曲面z=xy【解】：1）先求所围的立体在xoy平面上的投影区域为：

22z6xy622z=x2y2 ，3（舍去）

02 故投影区域为：02

2）由二重积分的几何意义：

V6x2y2x2y2dxdyd62dD0022323

四、证明题：

xzzuv设zarctan,其中xuv,yuv,22y1、，证明：uvuv

zzxzyarctanuxuyu【证明】1）

xarctanuvuyxxuvuyy

xx1yxy1122x2y2xyxxyy11yy

1zzxzyarctanvxvyv

xarctanuvvyxxuvvyy

xx1yxy1122x2y2xyxxyy11yy

12uvzzyxyyxyuv2uvxy2x2y2uv2uv2u2v2 2）

2、证明：

badx(xy)n2f(y)dyax1bn1(by)f(y)dyan1

【解】：1）利用交换积分次序证：

badx(xy)axn2ayxyxbf(y)dyDxDyaxbayb

bbbb 2）abdx(xy)axn2f(y)dydy(xy)ayn2f(y)dxfydy(xy)n2dxay

baxyn1fyn1by1bn1byfydydyan1

3、若级数n1a,b2nn12n都收敛，证明：级数n1(anbn)2也收敛.

an2bn2anbnanbn2【证明】：1），由正项级数比较法：n1收敛，由绝对收敛的定理（

 教材P263定理8）

anbnn1收敛。

2anbnn1收敛。（P251性质1）

 2）n1(an2bn)an2anbnbn22n1收敛。 （P251性质2）