68.数量关系的构建依旧是解决问题能力提升的关键

-----------“比多比少问题”教学的心路历程

内容摘要： 新课程改革后，教师们对“解决问题”教学把握不准：怎样提高孩子的解决问题能力？数量关系教还是不教，怎么教？老师们经常举棋不定，无从着手。本文以“比多比少”问题为例，结合自己三次教学的实践与反思，来阐述在问题解决教学过程中数量关系的构建依旧是提升孩子解决问题能力的关键。但构建方式要有所优化，要把模式化的训练变为无声的渗透，把死背数量关系变为感悟数量关系，把数量关系的理到学生生活的大背景中去，把数量关系的感悟放到教学的每一个环节。 一、缘 起。

一位任教一年级的新教师提出了这样一个问题：一年级上册的时候主要解决两种数学问题：一种是一共有几个？另一种是（）比（）多（少）几个？我教孩子们“一共”就是把他们和起来用加法。而（）比（）少（多）几？用减法，把多的减去少的，一上时孩子做的不错。但到了一下出现了：“小红有23个苹果，小明的苹果比小红多5个，小明有多少个苹果？”孩子看到“（）比（）多几个”全班80%以上的孩子都用减法，这样的问题该怎么教啊？

这位新教师的问题让我的思绪一下回到了自己第一次上公开课的情境：1996年我任教生涯的第一堂公开课就是《比多少应用题》，它是浙教版第二册66-67页，记得当时例题是：红花有6朵，黄花4朵，红花比黄花多几朵？课前我拿着备好的教案去请教老教师，她告诉我这节课的重点也是难点，就是必须要强调6-4=2中的“4”不是表示4朵黄花，而是指和黄花同样多的红花。红花分为两部分，一部分是和黄花一样多的，另一部分是比黄花多的部分。有一句很经典的话相信教过老教材的老师都还记忆犹新的：“红花的朵数减去和黄花同样多的朵数就等于红花比黄花多的朵数。”当时我自己都听的迷迷糊糊的，觉得6比4多多少，就是用减法：6-4=2（朵） 就解决了，为什么要这样分来分去呢？虽然有不同想法，课还是依样画葫芦的去上了。虽然为了能让孩子完整的表达，课堂上做了很多铺设，但孩子却始终表达不完整。我只能自己进行小结，结果自己也说反了：“红花减去和黄花同样多的部分就等于黄花比红花多的2朵。”课堂教学效果可想而知。后来也有机会听过几次这个内容的公开课，总觉得这样的表述是简单问题复杂化，绕来绕去最后把孩子给绕糊涂了。老教师们说

这也就新课强调强调，到了练习也就让孩子记住公式：“大数-小数=相差数”。孩子们套用公式就会解决了。那么新授课真的有这样“绕口令式说教”的必要性吗？这样的课堂孩子能学到什么呢？它成为了我心中一个解不开的结。

2004年，我们学校一年级开始实行新教材，当时因为学校安排我任教语文，我从班里的孩子的数学课本上发现，新课改后的北师大教材在一册43-44页以《操场上》为主情境出现“比多比少”问题。主情境如下：

“可以这样表示”，多么简单啊。我当时觉得好一阵兴奋，认为这就是新课程改革的成功，觉得这就是新课标中的“删繁”的体现，于是对新教材充满了期待。2005年我又回到了自己喜欢的数学教学课堂。从一年级开始对新教材的实践。教这个内容时我就直接让孩子看图：从图上你看到学生比老师多几人？那这6人可以怎样列算式计算呢？然后很快组织孩子总结：“谁比谁多几个”和“谁比谁少几个”都可以用减法计算，大数-小数。然后进行课堂练习，发现效果很好。但很快就出现了和上面新教师一样的结果了。于是反复强调、练习，给孩子总结了“大数-小数=相差数”“求大数用加法、求小数用减法、求相差数用减法”等等规律，让每个孩子都熟背过关。却发现这些规律在新教材中变的不那么灵验了，很多问题都结合现实情境，没有肯定的陈述形式。如：我们班有45名小朋友，教室里有23把凳子，还得准备多少把凳子？孩子找不到那个是大数、哪个是小数、哪个是相差数。只是迷迷糊糊地跟着感觉走，以至于到了五、六年级分数比大小问题，错误率都还很高。 二、思考。

时间过的很快，今年我又将迎来了新一届一年级学生。在暑假集体备课的时候，我再次关注起这个问题。新教材谈化了数量关系的分析教学，但是不是就不在需要数量关系教学了呢？如果没有基本的数量关系作支撑，孩子的解题思路怎样形成？数学能力又从何发展呢？如果要，我们是否应该从新回到老教材，那严密的数量关系表述来教学呢？是否又要回到那机械重复背记好和训练的老路上呢？有没有更好的策略呢？

正当我百思不得其解的时候，偶尔在华东师范大学孔企平教授的《小学儿童如何学数学》一书中关于“从建构事实到提取事实”的途径描述让我豁然开朗。孔教授指出“数学事实是指一些头脑记忆中已有的数学正确结论。如20以内的加减就是一些数学事实。如你问成人和二年级以上的孩子8+9等于多少，他会根据记忆直接回答，这种方法称之为提取事实。同样的问题你问一年级初学加减法的儿童，他可能会先数出8（用手指或豆子），再数出9，然后从头到尾数一次、“由最大数数起”，即“继续数”、“凑十法”等等，这些过程都称为建构事实，练习基本口算就是掌握和记忆这些数字性事实的过程，只有经历这个建构过程，孩子脑海中有了“8+9=17”这个数学事实”，运用时方可提取。 由此我明白了，老教材中“大数-小数=相差数”和新教材中“8比2多几个，可以这样表示：8-2=6”都是一个数学事实。老教材中 “红花的朵数减去和黄花同样多的朵数就等于红花比黄花多的朵数。”无疑是想通过严密的数量关系分析来帮助孩子构建数学事实，背关系式也是掌握和记忆这个数学事实的过程。但这样的构建过程是灌输式，模式化的。不以孩子已有知识经验做支撑，缺少孩子的主动参与，孩子脑子中就没有“一一对应”、“同样多”的数学事实，就无从提取。所以一遇上变式就错误百出。新课程改革后教材对数量关系又是怎样定位的呢？ 有了新的目标和思路，我再次走进教材，带着问题去读懂课标、教材。有了一些新的收获。 1、教材虽然没有要求用语言表述，却非常重视基本数量关系的渗透，数学基本活动经验的积累。

以北师大版小学数学教材为例：在第一单元《生活中的数》认识1-10各数后在第5页安排了：3、数一数、画一画。画出和图中物体同样多的圆圈。4、圈一圈。每组图中，把与左边同样多的部分圈起来。在第二单元《比较》的第一课时中认识“﹤、﹥、=”中。课本第29页第4题：说一说，每人一个杯子、一个勺子，差几只杯子，差几把勺子？----- 试图通过以上操作活动渗透比多比少的基本数量关系，积累“一一对应”“同样多”的数学活动经验。

2、教材没有概括出基本的数量关系式，却重视引导孩子在操作、探究的过程中进行自主感悟，对数量间内在关系的深层理解。

3、教材没有很多的重复训练，练习却非常重视联系学生生活实际，善于引领孩子在问题解决的过程去找去对数量关系进行再构建。

三、实践与收获。

明确了基本目标后，我引领着新一届的孩子，从以下几方面进行了“比多比少”数量关系的构建，取得了较好的成效。 1、

早期孕伏、逐步渗透------把模式化的训练变为无声的渗透。

北师大版教材在教学“比多比少”问题之前对“一一对应”“同样多”等数学思想进行了充分的早期孕伏。只是在以往的教学中，由于对目标把握不准，这类问题往往会被一笔带过，没有引领孩子进行必要的操作，也就没有感受到相应的数量关系，积累相应的数学活动经验。

今年我从教学1—10数字的认识时，就开始孕伏，从摆、画开始引导孩子积累“一一对应”的数学活动经验。我经常设计这样的数学活动，在认识数的同时渗透“一一对应”的数学思想： 画出和★同样多的○。 ★ ★ ★ ★ ★ —————————

多数孩子都会画，有的同学们会一个星对应的画一个圆，也有的同学会连续的画出5个，但不对应。（在以往的教学中我们只要求数量相同，只要画了5个的都算对，淡化了一一对应的思想。）如果我们在学生画后组织反馈：谁画的圆一看就和★同样多呢?。然后引导孩子一一对应的画，逐步的孩子会养成一对一画的习惯。也就逐步形成了“一一对应”的数学经验。然后再尝试着画（或摆）“多几个、少几个”

★ ★ ★ ★ ★

○的个数比★多2个： —————————----- △比★少2个: ————————-------— 听听孩子是怎样来画的：

生1：先画和★同样多的5个，再画○比★多的2个。 生2：比★少2个，我先把○画和★同样多，再檫去2个。 生3：△比★少2个，就是有2个★没有△和它配。

从孩子的表述我们可以发现通过前期教学中的逐步渗透，摆一摆，画一画，孩子逐步形成了一一对应的数学思想，有了“同样多”及大数可以分成“同样多”和“多出来”两部分的数学经验。为后续的“比多比少问题”积累了必须的直接性活动经验。

2、引领操作、自主小结-------把死背关系式变为感悟数量关系。

孩子的数量关系模型应该是自主构建的，具有学生自己的“主观性”，即带有个体认知特点的个人知识和数学活动经验，它是经验性的、感性的、不那么严格的“隐性知识”，但这才是最重要的。因此在数学活动的过程中，尽量让孩子在自主操作的基础上感悟，在感悟的基础上引领孩子用自己的语言去小结、去深化。这样的小结才是孩子最真实的经验。是孩子心中的数量关系。最符合孩子的思维特点，最有助于促进孩子数学活动经验的条理化和系统化。

我在教学“比多比少”问题时创设了学生熟悉的情境：10个茶杯盖，8个茶杯，茶杯盖比茶杯多几个？“怎么比”呢？我先引导孩子分小组用学具进行了操作，在操作的基础上让各组孩子说自己的思考过程，孩子的表述真是精彩极了。

生1：一个盖子盖1个杯子，用了8个盖子，还多出了2个，所以：10-8=2（个） 生2：10个盖子，8个茶杯，需要有8个盖子去和杯子一一配对，所以10要减8，还剩下2个没有人配对。

生3：10个盖子中只要派出8个就可以和杯子打成平手了，还有2个多出来的。 ---------

这时我适时引导孩子小结：你最喜欢谁的方法呢？多数孩子都说喜欢生2的“一一配对”。于是“一一配对”“打平手”就成为了我班孩子的专业术语。比如：8盆红花，6盆黄花，红花比黄花多几盆？孩子会说：8盆红花派6盆去和黄花一一配对，就打成平手了，8盆去了6盆，就是8-6=2，还多了2盆。再如：小红有23个苹果，小明的苹果比小红多5个，小明有多少个苹果？孩子会说这样表述自己的思考过程：小明的苹果有23个和小红一一配对、还有5个没有配对，和在一起就有23+5=28（个）。

孩子用自己的话总结的方法要比我们老师总结的更适合自己的思考过程，我们发现孩子的思维中算式都是动态的、有过程的。他们把“比多少”问题转化成了从整体里拿走部分的问题。他们把其中的大数分成两部分。“和较小数同样多的”和“比较小数多的”，把较大数减去和较小数同样多的部分，就等于两数相差的部分。这和原来浙版教材中的表述不谋而和。只是这里不再是教师引导下的小结，不是老师直接把数学事实强加给孩子。而是孩子在前期数学经验积累下的，在操作活动、自主感悟后对数量关系的表述。这时，引导孩子进行小结，不但可以促进孩子脑子中的数量关系

更具有条理化、系统化。也为后20%孩子的学习搭建了学习的脚手架，让他们可以顺之而上。

3、联系实际、应用练习------把数量关系的理到学生生活的大背景中去。 刘加霞博士指出：数学活动经验的获得需要“领悟”和“转化”，通过参与具体活动直接领悟获得具体活动经验；然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，内化为可以理解的、合乎逻辑的、抽象的经验；最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用，重新领悟和创新新的经验。经验的积累就是在这样不断循环往复的连续过程中实现的。数量关系会在他面临不同具体情境时逐步获得反馈消息，以加深经验的体验，从而提升解决问题的能力。我在孩子学习了“比多比少”问题后的第二课时，紧密结合学生的已有生活经验，设计了下来练习，引领孩子在数学应用过程中，促进数量关系的横向拓展和纵向深化。如在教学中我设计了多个对比练习： 第一大组有男生9人，女生6人，你能提出什么数学问题呢？ 男生比女生多几人？ 女生比男生少几人？

在教学中经常听到老师说：男生比女生多几人？女生比男生少几人？这两个问题是一样的。然而这两个问题在一年级孩子的眼里是截然不同的.

通过多组这样的对比练习，再引领孩子概况：“你有什么发现？” 生1：我发现这两个问题有点一样？（不确定） 师：哪里一样？

生1：列的算式都一样。第一组都是用9-6=3来算的，第二组都是---- 师：问题一样吗 ？

没有人举手，有的说一样，有的说不一样。

生2：我觉得不一样，第一个是男生和女生比，第二个是女生和男生比。（这个太重要了，到五年级分数比大小的时候我们会更明显的感受到它的重要性。）

生3：我觉得一样的，她们都是求男生和女生相差了多少人？

师：这位同学用了一个新词语“相差”，你知道“相差”是什么意识吗？ 我引领孩子通过画图（逐步从实物图抽象成线段图）理解“相差”后逐步概括：这两个问题虽然不同，但求的都是两个量相差的部分，也就是相差数。所以用同样的

方法解决 。既：大数-小数=相差数。在后面的应用中逐步概括出：小数+相差数 =大数、大数- 相差数=小数。

回顾“比多比少”问题教学的心路历程，我深刻的感受到在新课程理念的指导下。面对新教材解决问题题型的变化，我们要传承老教材中优秀的成果----数量关系的构建。但在传承的同时我们的教学方式要有所转变，我们要把模式化的训练变为无声的渗透，把死背关系式变为感悟数量关系，把数量关系的理到学生生活的大背景中去，把数量关系的感悟放到教学的每一个环节。只有这样孩子才能真正构建起数量关系，建立数学事实，才能去面对新课程中、生活中万变的数学问题。

参考文献：

1、《小学教学》数学版2012.03第4-5页《2011年小学数学教育热点问题探讨》 2、《小学儿童如何学数学》 孔企平 华东师范大学出版社 2001年版

3、《儿童学习心理与小学数学教学》 张兴华 江苏教育出版社 2011年6月出版 4、小学数学课程标准2011修订版。