平行四边形知识点总结及对应例题

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质：

（1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)；

（2）：平行四边形对边平行 (即：AB两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定

1．矩形的定义、性质与判定

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定

有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。

温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。

2．菱形的定义、性质与判定

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质

菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。

（3）菱形的面积

菱形的面积=底×高，菱形的面积=成了4个全等的直角三角形。

（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

3．正方形的性质及判定方法

（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；

正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。

温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；

1ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分2（4）面积：①S底高=ah；

②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

3．平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：

①一组对边平行；② 另一组对边不平行

（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相平分且相等；

④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．

（2）菱形：①边：四条边都相等；

②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．

（3）正方形：①边：四条边都相等；

②角：四角相等；

③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．

（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；

②角：同一底边上的两个角相等；对角互补 ③对角线：对角线相等； ④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．

3．几种特殊四边形的判定方法

（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形． ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形；

（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形

① 同一底两个底角相等的梯形； ② 对角线相等的梯形．

4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析

（1）识别矩形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．

② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD的三个角是直角．

（2）识别菱形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD的四条相等． （3）识别正方形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法

① 先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．

② 先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题

① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．

② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，

1则S菱形=ab．

21③ 设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=a2．

21④ 设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=(ab)h．

2 图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 1．对边 且 ； 2．对角 ； 性质 邻角 ； 3．对角线 ； 1．对边 且 ； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ； 1．对边 且四条边都 ； 2．对角 ； 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边 且四条边都 ； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 且每条对角线 ； 面积

例1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF， 则△AEF的周长为（ ）

A．23 B．33 C．43 D．3

例2：如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150，则AEF=（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

一、选择题（每题3分，共30分）

1．如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，

则对角线AC等于（ ）

A．20 B．15 C． 10 D．5

2．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，

沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，

A C B D B

A D

o

C

得到的菱形的面积为（ ）

A．10cm

2B．20cm

2C．40cm

2D．80cm

2

3．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点， 连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）

A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形

C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

A

D

M D C

F N A D

C

B O D E P O

C A B A E

B

第3题图C

B

F

第4题图 第5题图

4.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ A．35° B．45° C．50° D．55°

5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )

A．1 B．2

C．2 D．3

7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）A．8 B．82 C．217 D．10

8．如图，□ABCD的周长是28㎝， △ABC的周长是22㎝，则AC的 长为 ( )

第8题图

A．6㎝ B． 12㎝ C．4㎝ D． 8㎝

9．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，DE=6，则这个菱形的面积= cm2．

第10题图

第9题图

10.如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．

三、解答题

D

11．如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACD30°，BD6．

A

O

C

B

）

（1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）．

12.已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD 于点M，交CD的延长线于点F.

（1）求证：AM=DM；

A M E B

F

D

C

第12题图

（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长 ．

13．如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

（1） 求证：△BED≌△CFD；

（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.

B E A F

D

第13题图

C