二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐

次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 我们看看

能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将

yerx代入方程

y得

(r

2

pyqy0

prq)erx 0

2

由此可见 只要r满足代数方程r 特征方程 方程r2

prq0 函数yerx就是微分方程的解

pyqy0的特征方程 特征方程

prq0叫做微分方程y的两个根r1、r2可用公式

pp24q r 1,22求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时关的解

函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无

这是因为 函数y1er1x、y2er2xy1er1x(r1r2)xe是方程的解 又不是常数 y2er2x因此方程的通解为 yC1er1xC2er2x

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 y1er1x是方程的解 又

r1xr1x2r1x (xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1)ep(1xr1)eqxe r1x2 er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0

y2xer1xx不是常数 所以y2xe也是方程的解 且

y1er1xr1x 因此方程的通解为 yC1er1xC2xer1x

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(

xi)x、ye(i)x是微分方程的

两个线性无关的复数形式的解 函数yecosx、y的实数形式的解 函数y1e(

exsinx是微分方程的两个线性无关

i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(

y2e(

i)xex(cosxisinx) ex(cosxisinx)

i)x y1y22excosx excosx1(y1y2)2

y1y22iexsinx exsinxxx1(yy)2i12故ecosx、y2esinx也是方程解

可以验证 y1ecosx、y2esinx是方程的线性无关解

xx 因此方程的通解为 ye(C1cos

xxC2sinx )

pyqy0的通解的步骤为

求二阶常系数齐次线性微分方程y第一步 写出微分方程的特征方程 r2

prq0

第二步 求出特征方程的两个根r1、r2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为 r2

2r30 即(r1)(r3)0 其根r1

1

r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yCx3x1eC2e

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0

4、y| x0

解 所给方程的特征方程为 r2

2r10 即(r1)

2

0

其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(Cx1C2x)e

将条件y|x0

4代入通解 得C1

4 从而

y(4Cx)ex2

将上式对x求导 得 y(Cx24

C2x)e

再把条件y|x0

2代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

2的特解

r2

2r50

2i r212i 是一对共轭复根

特征方程的根为r11因此所求通解为

ye(C1cos2xC2sin2x)

x

n 阶常系数齐次线性微分方程 方程

y(n)

p1y(n1)

p2 y(n2)

pn1ypny0

pn1

称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐

次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=D

n

p1Dn1

p2 Dn2

pn1Dpn

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (D

n

p1Dn1

p2 Dn0

2

pn1D

Dyy2

pn)y0或L(D)y0

Dyy3

注 D叫做微分算子Dyy Dyy 分析 令yerx Dyny(n)

则

rx L(D)yL(D)e(rn

p1rn1

p2 rn2

pn1rpn)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)

rn p1rn1

p2 rn2

pn1rpn0

称为微分方程L(D)y0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项 Ce 一对单复根r1 2

rx

i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)

k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2

i 对应于2k项

xk1

k1

e[(C1C2x Ck x)cosx( D1D2x Dk x 例4 求方程y(4)

2y5y0 的通解

解 这里的特征方程为 r4

2r3

5r2

0 即r2(r2

2r5)0

它的根是r1r20和r3 412i

因此所给微分方程的通解为

yCx1C2xe(C3cos2xC4sin2x)

例5 求方程y(4)

4

y0的通解 其中

0

解 这里的特征方程为 r4

4

0

它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)

因此所给微分方程的通解为

 ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x)二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

ypyqyf(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x) y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex

型

当f(x)Pxm(x)e时

可以猜想

方程的特解也应具有这种形式

因此

为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

)sinx]

设特解形式

Q(x)(2p)Q(x)(

2

2

pq)Q(x)Pm(x)

2

(1)如果不是特征方程r应设为m 次多项式

prq0 的根 则pq0 要使上式成立 Q(x)

Qm(x)b0xmb1xm1

bm1x b1

bm

bm 并得所求特解

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0

y*Qm(x)ex

2

(2)如果是特征方程 r等式

prq0 的单根 则

2

pq0 但2p0 要使

Q(x)(2p)Q(x)(

2

pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1

bm1xbm

b1

bm 并得所求特解

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0

y*xQm(x)ex

2

(3)如果是特征方程 r式

prq0的二重根 则

2

pq0 2p0 要使等

Q(x)(2p)Q(x)(

2

pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1

bm1x b1

bm

bm 并得所求特解

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 y*xQm(x)e2

x

x 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)e 则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqy f(x)有形如

y*xk Qm(x)ex

的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pxm(x)e型(其中Pm(x)

3x0)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

它的特征方程为

r22r30

由于这里

0不是特征方程的根 所以应设特解为

y*b0xb1

把它代入所给方程 得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数 得

3b032b03b 3b03 2b03b11

11由此求得b0

1

b113 于是求得所给方程的一个特解为

y*x13

例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pxm(x)e型(其中Pm(x)2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r 60

1

x

特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xCx 2e3

由于

2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数 得

2b012b0b01 2b0b10

10 2b由此求得b012 b11 于是求得所给方程的一个特解为 y*x(12x1)e2x

从而所给方程的通解为

yC1e2xC2e3x12(x22x)e2x

提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b2x1x)e

[(b0x2

b1x)e2x][(2b0xb1)(b2

0xb1x)2]e2x

[(b2

0xbx1x)e2]

[2b2(2b2(b2

x00xb1)0xb1x)22]e2

y*5y*6y*[(b0x2

b2x2

1x)e]

5[(b0x2

b2x1x)e]6[(b0xbx1x)e2]

[2b2

02(2b0xb1)2(b0xb1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b20xb1x)2]e2x6(b0x22x

[2b2x04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e[2b2x0x2b0b1]e

方程ypyqyex[Pl (x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

b1x)ei xi xi xeee Pn(x)] l22i1(x)iP(x)]e(i)x1[P(x)iP(x)]e(i)x

[Pnn2l2lex[P(x)ei x P(x)e(i)xP(x)e(i)x其中P(x)(PlPni) 设方程y

12 P(x)(PlPni)12 而mmax{l n}

k(

pyqyP(x)e(

i)x的特解为y1*xQm(x)ei)x

则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解 其中k按

i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

pyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

于是方程y y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx) xe[Rk

x(1)

m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)ex

[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程

y的特解可设为

pyqyf(x)

y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

其中R(1)

m(x)、R(2)

m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i (或i)不是特征

方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)属于e[Pl(x)cosxxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

y它的特征方程为

y0

r210

由于这里

i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd )sin2x

把它代入所给方程 得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数 得 a13 b0 c0 d

49

于是求得一个特解为 y*1xcos2x439sin2x

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x y*

acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

(2cxa2d)cos2x(

2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2b (4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y*

y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

由3a13b4c0 得a13c03 b0 c0 d49

4a3d0

c)cos2x