西南大学线性代数作业答案

第一次

行列式部分的填空题

1．在5阶行列式a中，项a13a24a32a45a51前的符

ij号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式214125x12中元素x的代数余子式是

8 ．

4．行列式—11 。

5．行列式25 。

6．计算b0a00c0d04x121152352042301中元素-2的代数余子式是

中，x的代数余子式是 —

= 0

行列式部分计算题 1．计算三阶行列式

201 141 183解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×

（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4

2．决定i和j，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i=8，j=5。

31x3．(7分)已知4x00，求x的值．

10x解：原式=3x2—x2—4x=2 x2—4x=2x(x—2)=0 解得：x1=0；x2=2

所以 x={x│x ≠0；x≠2 x∈R } 4．(8分)齐次线性方程组

xyz0xyz0 xyz0有非零解，求。

111010101解：D111111012

由D=0 得 λ=1

5．用克莱姆法则求下列方程组：

x2y4z315xy2z29 3xyz10解：因为

124r25r1124124124D51209189012r37r20121（1）330r3r1311307110711003所以方程组有唯一解，再计算：

3124D12912811011

1314D252921083101

1231D351291353110

因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：

x=27，y=36，z=—45

第二次

线性方程组部分填空题

1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r= n 时，则Ax=0 只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .

2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β= α

0+z . 4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当 [r=n 时，有惟一解；当 ,r＜n 时，有无穷多解。

5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是 R（A）＜n .

6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。

7 线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A) 。

8．设u1是线性方程组Ax=b的一个特解，v1,v2,,vnr是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为u=

u1c1v1c2v2cnrvnr

1．求线性方程组

2x1x2x41x13x27x34x43 3x2xxx22341的通解.

110211答案：通解为：x=k1k2(k1,k2R)

100010 2．求齐次线性方程组

x12x2x3x403x16x2x33x40的一个基础解系. 5x10xx5x02341答案：基础解系为

2110,v v1=02001

3．求非齐次线性方程组的通解

2x1x2x3x41x12x2x3x42 xx2xx32341答案：同解方程组为

3x1312x41033x2x40，通解为xk(kR)

112x31x410224 求方程组的通解

2x1x2x3x413x12x2x33x44 x4x3x5x22341116xxx173747答案：化为同解方程组

595x2x3x4777116777955通解为xk1k2 7771001005．已知线性方程组

x1x22x33x41

x12x23x3x44 3x1x2x32x44 2x13x2x3x46

（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）； （2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。 答案：（1）r（Ab）=r（A）=4 （2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1

第三次

向量的线性关系填空题

1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1 ,b= 3 .

2．已知向量1=（1，2，3），2=（3，2，1），则31+22= （9，10，11） ，1-2= （-2，0，2） ．

3．设向量组1,2,3线性无关，则向量组1，1+2，1+2+3线

性 无关 ．

4．设向量a1,a2,a3线性无关，则a1,a2,2a3线性 无关 。

5．设向量a1,a2,a3线性无关，则向量a1,a2,a3,0线性 相关 ． 6. 1,2,3,4 是3维向量组,则1,2,3,4线性 相 关. 7．零向量是线性 相关 的，非零向量α是线性 无关 的.

线性关系部分证明题

1 证明：如果向量组,,线性无关，则向量组,,亦线性无关．

证明：设有一组数k1,k2,k3，使

k1()k2()k3()0 成立，整理得

(k1k3)(k1k2)(k2k3)0 由于,,线性无关，所以

k1k30k1k20 kk032101因为其系数行列式11020，所以方程组只有零

011解，即k1k2k30．向量组,,线性无关得证． 2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，

α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与

向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？

答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有

λ1，λ2，…，λr，使

β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0 ①

又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线性表示。 由式①有

r11122r1r1, rrrr即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。

3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2

α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？

答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。所以以下只证

α1+α2，2α1－α2线性无关。设有一组数λ1，λ2，使得

λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，

即 （λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0， 因α1，α2线性无关，故

1220, 0.21而

1230, 11所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基础解系。 4．已知1(1,0,1),2(2,2,0),3(3,5,2)，判定此向量组是线性

相关还是线性无关。

答案：线性相关。 5．设

1=（1，1，2）T，2=（1，2，3）T，3=（1，3，t）T

请问当t为何值时，1，2，3线性相关？并将3用1，2线性表示．

答案：当t=4时，1，2，3线性相关。

3＝－1＋２2．.

6 , 设1,2,,s线性无关，而1,2,,s,线性相关，则能由1,2,,s线性表示，且表示法惟一。

答案：因1,2,,s,线性相关，故有k1,k2,,ks,k不全为零，使

k11k22kssk0.

要证可由1,2,,s线性表示，只要证明k0，假设k=0，则

k1,k2,,ks不全为零，且有

k11k22kss0.

故1,2,,s线性相关，矛盾，所以k0。 设有个表示式

1122ss 1122ss

两式相减得

(11)1(22)2(ss)s0

因1,2,,s线性无关，所以ii0，即

ii(i1,2,.s)

所以表示法惟一。

第四次

特征值部分选择题

1. Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［A ］ （Ａ）A1 （Ｂ）AA（Ｄ）A1E （Ｃ）ATA

A

P,使

P1APB2. A与B是两个相似的n阶矩阵,则[ A ] (A) 存在非奇异矩阵(B) |A||B|

(C) 存在对角矩阵D,使A与B都相似于D (D)

IAIB

a3 下列结论中,错误的有( B)

(A) 若向量与正交,则对任意实数a,b, 与b也正交

(B) 若向量与向量,都正交,则与,的

1212任一线性组合也正交

(C) 若向量与正交,则与中至少有一个是零向量

(D) 若向量与任意同维向量正交,则 是零向量

4 设矩阵

110A101011,则A的特征值为[ C ]

(A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,1

5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B]

(A) A有n个特征值

(B) A有n个线性无关的特征向量 (C) A的行列式不等于零 (D) A的特征多项式没有重根

《线性代数》

1.下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n个。

2.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1

3有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11

4. 有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），

则该行列式的值是：B:-1

5.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5

6. 行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=1 7. 6.排列3721456的逆序数是：C:8

8. .行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-29

9已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于. C:-15

10. 矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r. B:A中线性无关的列向量最多有r个。

11矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是： C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。

12. 若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。正确答案：错误 13. 齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则

C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是 AX=0的解。

14. n阶矩阵可逆的充要条件是： A：r(A)=n B：A的列秩为n。

15. 向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,…,as中至少有一个非零向量。D：a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。

16 向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关

17. 矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m 18. 若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确

19. 向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关

20. 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义正确答案：正确 .

《初等数论》> 作业

1. 2. 3. 4.

如果a|b，b|c，则（C：a|c） 360与200的最大公约数是（D：40 ）。 如果 a|b，b|a ，则（C：a=b或a=-b ）。

下面的数是3的倍数的数是（C：1119）

5. 4除-39的余数是（C：1 ）。

6. 设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（A：整除 ）mn。 7. 整数6的正约数的个数是（D：4 ）。

8. 1到20之间的素数是（B：2，3，5，7，11，13，17，19 ） 9.