2020年四川省遂宁市中考数学试卷及答案

一．选择题（共10小题） 1．﹣5的相反数是（ ） A．5

B．﹣5

C．

D．

2．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A．8.23×106

﹣

B．8.23×107

﹣C．8.23×106 D．8.23×107

3．下列计算正确的是（ ） A．7ab﹣5a＝2b C．（﹣3a2b）2＝6a4b2

B．（a+）2＝a2+D．3a2b÷b＝3a2

4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 5．函数y＝A．x＞﹣2 6．关于x的分式方程A．m＝2

B．平行四边形

C．矩形

D．正五边形

中，自变量x的取值范围是（ ）

B．x≥﹣2 ﹣

C．x＞﹣2且x≠1

D．x≥﹣2且x≠1

＝1有增根，则m的值（ ）

C．m＝3

D．m＝﹣3

B．m＝1

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则

的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

1

8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）

A．b2＞4ac B．abc＞0 C．a﹣c＜0

D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝

，则图中阴影部分面积为（ ）

A．4﹣

B．2﹣

C．2﹣π

D．1﹣

10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝

AO，

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（ ）

2

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

二．填空题（共5小题） 11．下列各数3.1415926，有 个．

12．一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 ． 13．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度． 14．若关于x的不等式组

有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．

，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，

中，无理数的个数

15．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若

+

+

+…+

＝

．（n为正整数），则n的值为 ．

三．解答题（共10小题） 16．计算：

﹣2sin30°﹣|1﹣

|+（）2﹣（π﹣2020）0．

﹣

17．先化简，（

为x的值代入求值．

﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

3

（1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形．

19．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）

（参考数据sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

20．新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

21．阅读以下材料，并解决相应问题：

4

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．

（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．

（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．

22．端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有 人．

（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图． （3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．

（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

5

（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求△DEC的面积．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

（1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证：

＝

．

（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点． （1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标． （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6

7

参

一．选择题（共10小题） 1-5 ABDCD

6-10 DCCBB

二．填空题（共5小题） 11．答案为：3． 12．答案为：4． 13．答案为：36． 14．答案为：1＜m≤4． 15．答案为：4039． 三．解答题（共10小题） 16．解：原式＝2＝2＝

﹣1﹣+3．

﹣（x+2）]•

﹣2×﹣（

﹣1）+4﹣1

+1+4﹣1

17．解：原式＝[

＝（﹣）•

＝•

＝﹣

＝﹣（x﹣3） ＝﹣x+3， ∵x≠±2， ∴可取x＝1，

•

则原式＝﹣1+3＝2． 18．证明：（1）∵AF∥BC，

8

∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE（AAS）； （2）∵△BDE≌△FAE， ∴AF＝BD，

∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD，

∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形．

19．解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，

由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60， ∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40， 在Rt△AEM中， ∵tan∠AEM＝∴EM＝

在Rt△AFN中， ∵tan∠AFN＝

， ， ＝

≈16.9，

∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，

∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8， 答：2号楼的高度约为45.8米．

9

20．解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），

∵1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最小值为290，当x＝0时，w的最小值为240， 故本次购买至少准备240元，最多准备290元．

21．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3， ∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，

∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；

（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”， ∴解得：

， ，

，解得

，

∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．

（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）． 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）． ∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1， ∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．

设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

10

将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a， 解得：a＝﹣2，

过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6． ∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，

∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6， ∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”． 22．解：（1）240÷40%＝600（人）， 所以本次参加抽样调查的居民有60人；

（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人）， 喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人）， 所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×补全条形统计图为：

＝72°；

（3）6000×40%＝2400，

所以估计爱吃D种粽子的有2400人； 故答案为600；72；2400； （4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3， 所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝

＝．

23．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），

11

∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在△AOB和△DMA中

，

∴△AOB≌△DMA（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3），

∵双曲线y═（k≠0）经过D点， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y＝，

设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解

得

或

，

，解得

，

∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE＝∴CN＝BD＝

，

＝3

，DB＝

＝

，

12

∴S△DEC＝DE•CN＝×＝．

24．（1）证明：连接OE，OP， ∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴PB＝BE，

∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP为⊙O的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴

＝

．

（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点， ∴EP⊥AB，

13

∵CG⊥AB， ∴CG∥EP，

∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO，

∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE，

∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ，

∴四边形CHQE是平行四边形， ∵CH＝CE，

∴四边形CHQE是菱形， ∵sin∠ABC═sin∠ACG═∵AC＝15， ∴AG＝9， ∴CG＝

＝12，

＝，

∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6，

∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，

14

解得：HQ＝∴CH＝HQ＝

， ，

×6＝45．

∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝

25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0）， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6）， ∴6＝a（0﹣1）（0﹣3）， ∴a＝2，

∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6； （2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点M的坐标为（2，﹣2），

∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点N（2，2），

设直线AN解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：解得：

，

，

∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2， 联立方程组得：

，

解得：，，

15

∴点D（4，6）， ∴S△ABD＝×2×6＝6， 设点E（m，2m﹣2），

∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分， ∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4， ∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4， ∴m＝2或3，

∴点E（2，2）或（3，4）； （3）若AD为平行四边形的边，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD＝PQ，

∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP， ∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1， ∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）； 若AD为平行四边形的对角线，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD与PQ互相平分， ∴∴xP＝3，

∴点P坐标为（3，0），

综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．

，

16