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第16届华杯赛决赛模拟题.答案版(终版)

来源:尚车旅游网
华杯赛

学理科到学而思

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛

——模拟试卷

一、 填空题(每小题10分,共80分)

142011340220.25 。 1. 计算:

14077320110.125【分析】: 2。

2. 四位数中,数码0出现_ ____次。

【分析】一个数中出现3个0的有1000,2000,……, 9000.共9个。一个数中出现2个0的有993243个;只出现1个0的有39992187个。因此 ,四位数中,数码0出现21872243392700次。

3. 如图,每个正六边形的面积是1,则图中虚线围成的五边形的面积是_______.

【分析】:整个图形的面积减去外面的8个小块的面积.整个图形一共有10个小正六边形.我们把外面8个小块编号为1,2,3,4,5,6,7,8.如图.1号和6号正好是小六边形的一半,面积都是0.5.2号和3号刚好可以凑成一个六边形,所以,面积是1.同样,7号和8好凑成一个六边形,面积是1.4号和5号是两个一样的小三角形,而正六边形可以分成6个这样的小三角形,所以,4号和5号的面积都是1/6.所求面积是: 10-0.5×2-1-1-1/6×2=6+2/3=6.7.

4. “123456710111213…484950”是一个位数很多的多位数,从中划去80个数字,使剩下

的数字(顺序不变)组成一个首位不为0的多位数,则这个多位数最大为______,最小为___ ___。 【分析】:根据题意,由于共有941291个数字,最后划去80个数字,还剩下11个数字,99997484950;10000123440。,为得到最小值,留下小的数字。

5. 所有适合不等式

7n20<<的自然数n之和为 。 1857【分析】:根据题意,n可以是2到14中的任意自然数,于是:2+3+„+14 = 104。

6. 请从2、3、5、7、9中选出4个不同的数字组成一个四位完全平方数,那么这个平方

数是 。 【分析】:这5个数字和为26,除以9余8,平方数除以9的余数可以是0,1,4,7,那么从这5个数中,只有去掉7才符合要求。2、3、5、9中,只有5和9才能作个位,2作十位,尝试得四位数为5329。

7. 沿途顺次有3个站点A、B、C,A到B的距离与B到C的距离相同。甲乙两人同时从

A站出发前往C站。甲一直保持速度不变,乙开始的速度是每分钟120米,结果比乙

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早到B站5分钟,乙过了B站后速度变为每分钟180米,结果比甲早到C站5分钟,则甲的速度是每分钟 米。 【分析】:如果在甲走B到C的过程中,乙一直是每分钟180米,那么可以比甲多走180101800,(18001205)(180120)40分钟,AB距离是120(405)00米,甲速是0040135米/分。

8. 从立方体的八个顶点选三个顶点能组成 个直角三角形。

DABCHEFG

【分析】:每条棱和其他六个顶点(不含这条棱的两端)都构成直角三角形,但这条棱和它同在正方体一个面上的4个顶点都重复算了2次,所以12×4÷2=24;和其他两个非共面的顶点构成的直角三角形(对角的斜面上)有12×2=24,故24+24=48个。

二、简答下列各题(每小题10分,共40分,要求写出简要过程)

9. 甲乙丙三人郊游,甲带了4个汉堡,乙带了2个汉堡和4根香肠,丙带了5根香肠,

午餐时三人平分了这些食物。算账时丙付给甲5.9元,付给乙3.7元。那么汉堡和香肠的单价是多少元? 【分析】:乙多带了1根香肠,所以香肠是3.7元,甲多带了2格 汉堡,少带了3根香肠,所以汉堡为(3.735.9)28.5元。

10. 全校2011名同学排成一行.第一次1~4报数,第二次1~7报数,第三次1~3报数.问:在第一

次报1,而在第二次报2,在第三次报3的同学有多少人? 【分析】:根据题意,令编号为a的同学第一次报1,第2次报2,第3次报3,则有: a41a72利用逐级满足法,找到满足这三个的最小的自然数为9,所有满足这三项条件的a30自然数为:84n9,则有84n92011,而n为自然数,所以n23,所以这样的同学共有24人。

111. 从1~2011中至少任取多少个数,可以保证选出的数中必有两个数的比不小于且不大

3于3。 【分析】:把数按照如下分组,(1~3)(4~12)(13~39)(40~120)(121~363)(3~1092)(1092~2011)

每组的任意两数肯定满足条件,所以每组取1个数,取7个数不能保证要求,比如说取每组的第1个数即可;如果取8个数,必然有1组出现2个数,那么肯定可以保证选出的数中必

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1有两个数的比不小于且不大于3。所以答案是8。

3

12. 世界杯足球赛,每个小组有4支球队,每两支球队之间各赛一场,胜一场得3分,负

一场得0分,平局各得1分.每个小组总分最多的两支球队出线.如果在第一小组比赛中出现了一场平局,问:在第一小组中一支球队至少得多少分,一定能够出线? 【分析】:考察两支队之间进行比赛所获得的分数,如果产生胜负关系,那么两队总得分为3分,如果平局,则总得分为2分.四支队伍相互间进行了6场比赛,如果不出现平局,应当得分总和为18分,但是出现了一场平局,因此总得分为18117分.一支队伍要确保出

1线,必须保证不可能出现两支比自己得分高的球队.因此其得分应大于总得分的,因此这

32支球队至少要得1735分,即至少得6分.很容易说明得6分一定出线,因为如果存在

3另外两支队伍出线,那么他们的得分应不小于6分,因此总得分将不小于18分,矛盾.另外,如果得分不到6分,那么这支球队最多只能得4分(因为得5分意味着两场平局,题目中告诉我们只有一场平局),这时候其他三支球队总得分为13分,如果分别为6分,6分,1分,那么4分的球队就不能出线了.

三、解答下列各题(每小题15分,共30分,要求写出详细过程)

13. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,①、②、③这三块的面积比依次为1:4:41。

那么,④、⑤这两块的面积比是 。

【分析】:9:14。将图中的各点用字母表示,如图1所示。由题意可知, S△DMN:S△HBM1:4;所以,由共角定理可知:DM :HM=1:2,不妨设DM=1,则HM=2,S△DMN=

1,S△HBM=2,241,过N点做NI∥DH交BC于I点,则长方形DNIH的面积是△DMN面积21416的6倍,即S四边形D==3,所以,=+-=SSSS△DMN多边形CHMNEHNI长方形CENI四边形DNIH22S多边形CHMNE=

S四边形DNIHDN11-3=18,,即EN=6,则正方形DEFG的边长为7,且CF=7-2S四边形NICEEN61=18,S⑤=S四边形CFGH=4×7=28,所以,④:⑤=18:28=9:14。 23=4,S④=S△AEN=6×6×

14. 华杯赛至今已经举行了十六届,让“第十六届华罗庚金杯赛”这十个汉字分别代表0~9

这10个数字。如果华罗庚+金杯赛 =第十六届,又知:第+十+六+届=18。那么

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华罗庚×金杯赛的最大值和最小值的差是多少?

【分析】:分析可知:“第”=1;由于数字“0”用在加数的个位、十位、百位都会出现重复的矛盾,所以“0”只能用在和数上。第十六届有两种情况分别为10,和1098。 (1)若第十六届=10,则华+金=10,罗+杯=8,庚+赛=9,根据和一定差越小,积越大,差越大,积越小。可得最大值为:457×632,最小值为324×765。

(2)若第十六届=1098,则华+金=10,罗+杯=9,庚+赛=8,可得最大值为:475×623,最小值为342×756,对比以上4个式子,求得最大值和最小值的差为:475×623-324×765=48065。

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