第16届华杯赛决赛模拟题.答案版(终版)

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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛

——模拟试卷

一、 填空题（每小题10分，共80分）

142011340220.25 。 1. 计算：

14077320110.125【分析】： 2。

2. 四位数中，数码0出现_ ____次。

【分析】一个数中出现3个0的有1000，2000，……, 9000.共9个。一个数中出现2个0的有993243个；只出现1个0的有39992187个。因此 ，四位数中，数码0出现21872243392700次。

3. 如图,每个正六边形的面积是1,则图中虚线围成的五边形的面积是_______.

【分析】：整个图形的面积减去外面的8个小块的面积.整个图形一共有10个小正六边形.我们把外面8个小块编号为1,2,3,4,5,6,7,8.如图.1号和6号正好是小六边形的一半,面积都是0.5.2号和3号刚好可以凑成一个六边形,所以,面积是1.同样,7号和8好凑成一个六边形,面积是1.4号和5号是两个一样的小三角形,而正六边形可以分成6个这样的小三角形,所以,4号和5号的面积都是1/6.所求面积是: 10-0.5×2-1-1-1/6×2=6+2/3=6.7.

4. “123456710111213…484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下

的数字（顺序不变）组成一个首位不为0的多位数，则这个多位数最大为______，最小为___ ___。 【分析】：根据题意，由于共有941291个数字，最后划去80个数字，还剩下11个数字，99997484950；10000123440。，为得到最小值，留下小的数字。

5. 所有适合不等式

7n20＜＜的自然数n之和为 。 1857【分析】：根据题意，n可以是2到14中的任意自然数，于是：2＋3＋„＋14 = 104。

6. 请从2、3、5、7、9中选出4个不同的数字组成一个四位完全平方数，那么这个平方

数是 。 【分析】：这5个数字和为26，除以9余8，平方数除以9的余数可以是0,1,4,7，那么从这5个数中，只有去掉7才符合要求。2、3、5、9中，只有5和9才能作个位，2作十位，尝试得四位数为5329。

7. 沿途顺次有3个站点A、B、C，A到B的距离与B到C的距离相同。甲乙两人同时从

A站出发前往C站。甲一直保持速度不变，乙开始的速度是每分钟120米，结果比乙

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早到B站5分钟，乙过了B站后速度变为每分钟180米，结果比甲早到C站5分钟，则甲的速度是每分钟 米。 【分析】：如果在甲走B到C的过程中，乙一直是每分钟180米，那么可以比甲多走180101800，(18001205)(180120)40分钟，AB距离是120(405)00米，甲速是0040135米/分。

8. 从立方体的八个顶点选三个顶点能组成 个直角三角形。

DABCHEFG

【分析】：每条棱和其他六个顶点（不含这条棱的两端）都构成直角三角形，但这条棱和它同在正方体一个面上的4个顶点都重复算了2次，所以12×4÷2=24；和其他两个非共面的顶点构成的直角三角形(对角的斜面上)有12×2=24,故24+24=48个。

二、简答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）

9. 甲乙丙三人郊游，甲带了4个汉堡，乙带了2个汉堡和4根香肠，丙带了5根香肠，

午餐时三人平分了这些食物。算账时丙付给甲5.9元，付给乙3.7元。那么汉堡和香肠的单价是多少元？ 【分析】：乙多带了1根香肠，所以香肠是3.7元，甲多带了2格 汉堡，少带了3根香肠，所以汉堡为(3.735.9)28.5元。

10. 全校2011名同学排成一行.第一次1~4报数,第二次1~7报数,第三次1~3报数.问:在第一

次报1,而在第二次报2,在第三次报3的同学有多少人? 【分析】：根据题意，令编号为a的同学第一次报1，第2次报2，第3次报3，则有： a41a72利用逐级满足法，找到满足这三个的最小的自然数为9，所有满足这三项条件的a30自然数为：84n9，则有84n92011，而n为自然数，所以n23，所以这样的同学共有24人。

111. 从1~2011中至少任取多少个数，可以保证选出的数中必有两个数的比不小于且不大

3于3。 【分析】：把数按照如下分组，（1~3）（4~12）(13~39)（40~120）（121~363）（3~1092）（1092~2011）

每组的任意两数肯定满足条件，所以每组取1个数，取7个数不能保证要求，比如说取每组的第1个数即可；如果取8个数，必然有1组出现2个数，那么肯定可以保证选出的数中必

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1有两个数的比不小于且不大于3。所以答案是8。

3

12. 世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负

一场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的两支球队出线．如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？ 【分析】：考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如果平局，则总得分为2分．四支队伍相互间进行了6场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为18分，但是出现了一场平局，因此总得分为18117分．一支队伍要确保出

1线，必须保证不可能出现两支比自己得分高的球队．因此其得分应大于总得分的，因此这

32支球队至少要得1735分，即至少得6分．很容易说明得6分一定出线，因为如果存在

3另外两支队伍出线，那么他们的得分应不小于6分，因此总得分将不小于18分，矛盾．另外，如果得分不到6分，那么这支球队最多只能得4分（因为得5分意味着两场平局，题目中告诉我们只有一场平局），这时候其他三支球队总得分为13分，如果分别为6分，6分，1分，那么4分的球队就不能出线了．

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1:4:41。

那么，④、⑤这两块的面积比是 。

【分析】：9:14。将图中的各点用字母表示，如图1所示。由题意可知， S△DMN:S△HBM1:4；所以，由共角定理可知：DM :HM=1:2，不妨设DM=1，则HM=2，S△DMN=

1，S△HBM=2，241，过N点做NI∥DH交BC于I点，则长方形DNIH的面积是△DMN面积21416的6倍，即S四边形D==3，所以，=＋－=SSSS△DMN多边形CHMNEHNI长方形CENI四边形DNIH22S多边形CHMNE=

＋

S四边形DNIHDN11－3=18，，即EN=6，则正方形DEFG的边长为7，且CF=7－2S四边形NICEEN61=18，S⑤=S四边形CFGH=4×7=28，所以，④:⑤=18:28=9:14。 23=4，S④=S△AEN=6×6×

14. 华杯赛至今已经举行了十六届，让“第十六届华罗庚金杯赛”这十个汉字分别代表0~9

这10个数字。如果华罗庚+金杯赛 =第十六届，又知:第+十+六+届=18。那么

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华罗庚×金杯赛的最大值和最小值的差是多少？

【分析】：分析可知：“第”=1；由于数字“0”用在加数的个位、十位、百位都会出现重复的矛盾，所以“0”只能用在和数上。第十六届有两种情况分别为10，和1098。 （1）若第十六届=10，则华+金=10，罗+杯=8，庚+赛=9，根据和一定差越小，积越大，差越大，积越小。可得最大值为：457×632，最小值为324×765。

（2）若第十六届=1098，则华+金=10，罗+杯=9，庚+赛=8，可得最大值为：475×623，最小值为342×756，对比以上4个式子，求得最大值和最小值的差为：475×623-324×765=48065。

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