基于代表性单元流域的水文模拟理论与方法

基于代表性单元流域的水文模拟理论与方法

田富强* 胡和平 雷志栋

（清华大学水利水电工程系，北京 100084）

摘要：当前的物理性水文模型以点尺度或REV尺度的控制方程为基础建立。由于流域下垫面条件和气象输入的高度变异性，当物理性水文模型应用于流域水文模拟时，无论对流域采用何种离散方案，在点尺度或REV尺度上定义的模型参数的确定都面临着巨大的困难。Reggiani等提出的基于代表性单元流域的水文模拟理论和方法直接在宏观尺度（代表性单元流域尺度）上建立控制方程，为流域水文模拟提供了新的“蓝本”。 关键字：代表性单元流域（REW），尺度问题，本构关系，流域水文模拟

1 概述

模拟流域对大气输入的水文响应是水文学研究的中心问题，而水文模型是进行流域水文模拟的主要工具[1,2]。水文模型经历了由“黑箱子”模型向过程机理模型发展的过程[3]：人们最早建立的是系统模拟模型，如单位线、经验相关和概化推理[4]等，这些方法将流域视为一个“黑箱子”，不考虑“黑箱子”内部的水文过程；随着对水文过程机理的逐步认识，系统模拟模型被过程机理模型所代替，可以分为概念性模型和物理性模型两种。概念性模型使用一系列相互串联和（或）并联的存储单元来模拟流域上发生的水文过程，其基础是质量守恒方程。随着人类实践对自然界改造范围的扩大和强度的增加，下垫面和气候变化条件下及缺资料地区的水文模拟和预测对于有限水资源的合理配置和科学管理显得十分必要和迫切

[1,2]

。概念性水文模型由于其参数的物理意义不明确而不能较好地解决这一问题，这使得具

目前，已有多个基于Freeze和Harlan[8]（1969，有物理基础的水文模型的研究提上了日程[5,6,7]。

简称FH69）“蓝本”的物理性流域水文模型得到了广泛应用，并日益与遥感和地理信息系统技术相结合，大大深化了对流域水文过程机理的认识，提高了水文预测的能力，如基于网格单元划分方法的SHE模型[5,9]、基于子流域划分方法的SWAT模型[10]、基于山坡单元划分方法的GBHM模型[11,12,13]等。

基于FH69的物理性水文模型与概念性水文模型相比有着显著的优越性[5,8]：一，同时考虑质量守恒和动量守恒，模型的机理性更强；二，能够充分利用可获得的地形、植被、土壤等信息；三，理论上可以充分代表流域下垫面条件和气象输入的不均匀性，并对流域内的水文状态变量和水流通量进行分布式地模拟；四，理论上模型参数具有物理意义，可根据实测资料确定，因而能够预测人类活动和气候变化对流域水文过程的影响。但自FH69模型提出之日起，就有学者不断对其提出批评[14,15,16]，指出其理论上的优越性在实践中难以充分实现，并存在如下的问题：一，过参数化。由于流域的高度不均匀性，需要将物理性水文模型 *

田富强（1975-），男，河南，讲师，在职博士生，主要从事流域水文模拟理论、防洪减灾及水信息学方面的研究。Email：tianfq@tsinghua.edu.cn

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中的数学物理方程在空间上进行离散，离散后的每个计算单元需要一套参数，所有单元的参数个数加起来是一个惊人的数字，存在无穷多的参数组合可以得到同样的结果（异参同效，，这使得物理性水文模型的参数率定工作变得十分复杂。二，模型输入较难Equifinality [17]）

获得。物理性水文模型需要关于下垫面条件和气象输入的详尽资料，这在实际流域中是难以获得的[18]，更了其在缺资料地区的应用。三，所需的计算能力是巨大的，这也了模型只能在实验性的小流域中应用。四，由于水文观测能力的，物理性水文模型分布式的详尽输出难以得到详尽的验证，往往只能对流域出口的径流过程进行验证。五，在多数情况下人们关心的往往不是点尺度的水文响应，而是较大尺度如子流域的水文响应，这使得物理性水文模型过于详细但也具有较大不确定性的分布式输出丧失意义。

实际上，FH69模型所依据的数学物理方程，如描述土壤水分运动的理查兹方程，描述河道水流演进的圣维南方程组等均为在点尺度或代表性单元体积尺度（REV）上成立的非线性方程。这些方程的非线性性质加上流域下垫面条件和气象输入的高度不均匀性使得求解方程所需要的参数和初边界条件均需要在点尺度或REV尺度上提供，这是目前的水文观测能力所难以达到的。因此，模型参数最终必须靠率定来确定，过参数化等问题是难以避免的。

解决基于FH69的物理性水文模型存在的这些问题已成为流域水文模拟研究关注的焦点

[7,19]

，寻求在宏观尺度上直接建立描述流域水文过程的数学物理方程是其中一个重要的研究

方向，Reggiani等[20,21]从连续介质力学和热力学出发提出的基于代表性单元流域的水文模拟理论和方法是该方向的最新研究成果之一，为流域水文模拟提供了新的“蓝本”。

2 基于代表性单元流域的水文模拟理论和方法

基于代表性单元流域的水文模拟理论和方法（以下简称REW方法）的基本思路为：首先，将流域离散为代表性单元流域（Representative Elementary Watershed，以下简称REW），并按照流域上发生的水文过程将REW划分为不同的功能子区；其次，在各功能子区上针对各相物质（如土壤骨架、水、气体等）根据连续介质热力学的一般原理分别建立质量、动量和能量的守恒方程及熵的平衡方程，然后对局部方程分别在时间和空间上进行均化，得到REW尺度上描述各相物质的质量、动量、能量守恒规律的常微分方程组，这样得到的方程组是不定方程组：方程中未知量的个数多于方程的个数；再次，构建以上不定方程组的闭合条件，包括几何关系和本构关系。几何关系与空间尺度无关，并能达到较高的精度；本构关系则与尺度相关（REW方法的本构关系需要建立在REW尺度上），且不可能达到几何关系的精度，其建立需要新的观测事实和理论分析成果的支撑。 2.1 代表性单元流域

代表性单元流域是经过严格定义的子流域，是模拟流域水文响应的基本单元。自然流域及其水系具有明显的自相似结构，在空间尺度变换时流域和水系可以保持其几何不变性：我们可以将整个流域作为REW来看待，也可以将整个流域的某级子流域作为REW来看待。

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由于流域的这种分形本质[22]，我们可以根据模型应用的目的和拥有资料的情况来合理选择REW的空间尺度。图 1(a)-(c)显示了在不同空间尺度下一个实际流域离散为代表性单元流域的情况，图中的黑实线表示与某REW相关联的主河道，REW内部的河网（或称亚REW尺度的河网）以虚线表示，REW的边界以黑虚线表示。图1(a)中整个流域视为一个REW，这种情况下只有一条主河道，REW的边界与流域的边界相重合；图1(b)和图1(c)中整个流域被划分个多个REWs。从图(1)中可以看出，在分辨率较高的情况下与REW相关联的主河道在分辨率变低的情况下可能成为亚REW尺度的河网。

在REW方法中，一个REW被均化为一个点，整个流域被离散为M个点，并通过REW之间的水力联系相耦合，如图 2所示。

图 1 不同空间尺度下REW划分示意图[20]

(a) 整个流域视为一个REW (b) 整个流域离散为5个REWs (c) 整个流域离散为13个REWs

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图 2 流域被离散为M个点的耦合（M＝13）[20]

2.2 代表性单元流域中子区的划分

山坡和河网是流域水文响应的基本功能组件。河道中水的运动是直观的，比较容易观测，而山坡上水的运动则复杂得多。对于山坡而言，水在坡面和土壤两种不同介质中的流动特征迥异。坡面上，落在坡面不同区域上的降雨有不同的产流机制：超渗产流和蓄满产流；土壤中，以地下水位为界存在性质明显区分的两个区域：饱和区和非饱和区。据此，Reggiani等将REW定义为一个棱柱体（如图3所示），划分为5个子区：非饱和子区、饱和子区、主河道、蓄满产流子区和超渗产流子区，REW尺度的数学物理方程分别在5个子区上建立。

图3 REW子区划分示意图

[20]

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（1）非饱和子区：该子区由坡面和地下水位所包围的土壤、水和气体组成，水和土壤骨架、气体之间存在质量、动量和能量的交换。

（2）饱和子区：该子区由位于非饱和区以下的水和土壤骨架组成，该子区的上边界即地下水位，在接近河道的地区，地下水位达到地表，该子区的上边界即陆地表面；下边界可以是地下含水层的指定深度处，也可以是实际存在的不透水层。

（3）主河道：该子区由主河道中的水体组成。蓄满产流子区的产流、饱和子区的侧渗和直接降雨为该子区的水量补充项。

（4）蓄满产流子区：该子区由地下水位线、地表面的交线和主河道的边界线所围的面积组成。该子区上的水流由超渗产流子区的入流和直接降雨补充。

（5）超渗产流子区：该子区由坡面上的超渗产流区域和亚REW尺度的河网组成，其水流汇入蓄满产流子区。 2.3 控制方程及本构关系

在流域离散为REWs及REW划分为不同功能子区的基础上，Reggiani等基于连续介质热力学基本原理和Hassanizadeh等发展的均化方法[23,24,25]建立了REW尺度上各相物质的质量、动量和能量守恒方程。由于流域的分形本质，REW的划分可以在任意尺度上进行并且具有几何不变性，这使得REW尺度上的控制方程也具有几何变化性，可以应用到任意的空间尺度上。根据守恒原理建立的方程中未知量的个数多于方程个数，是不定方程组，其闭合需要补充的几何关系和本构关系。几何关系的建立是相对直接和简单的，根据对流域地形特征的分析可以得到；本构关系的建立则需要大量水文观测、试验的结果及水文理论研究，的成果来支撑，具体的函数形式只能是经验性质的（这也是所有本构关系的共同特征[26,27]）并且难以达到几何关系的精度。目前水文学已经建立了微观和宏观尺度的大量经验公式（如微观尺度上的达西定律和谢才公式等），可供建立REW尺度的本构关系时借鉴。

Reggiani等[21]建立了初步的本构关系，得到了简化条件下的闭合方程组，包括13个以常微分方程形式表示的基本方程（含质量和动量守恒方程，能量守恒方程在热均衡假设条件下成为恒等式），10个的几何关系，共23个方程和23个未知量。质量守恒方程和动量守恒方程的基本形式如下（以饱和区为例）：

① 饱和区质量守恒方程

d

(ρεysωs)=Aso[po−ps+ρ(φo−φs)]−

󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊dt󰀈󰀋󰀉󰀋󰀊

含水量的变化率

与蓄满产流子区之间的水流通量

u

Busωuvz󰀈󰀋󰀉󰀋󰀊与非饱和区之间的水流通量

1sssssA

+Asr[pr−ps+ρ(φr−φs)]+∑BlsA[±AlsA+vx⏐+vy⏐(vx)+±AlsA(vy)]+eext,,xlyl󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊l2󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊与主河道之间的水量通量

与其他REW或流域外界之间的水量通量

（1）

② 饱和区动量守恒方程

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ssAssAssAs

±∑AlsA,λ[−p+ρ(φl−φ)]+±Aext,λ[−p+ρ(φext−φ)]󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊l

󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊流域外界的作用力

其他REW的作用力

+±Aλ[−p+ρ(φ−φ)]=−Rvλ ; λ=x,y

󰀈󰀋󰀋󰀋󰀋󰀉󰀋󰀋󰀋󰀋󰀊N不透水层的作用力

摩擦阻力

sbotssbotsss

（2）

式中已标出了各项的物理含义，限于篇幅不一一解释各符号的意义，详见文献[21,28,29]。除式（1）和式（2）所代表的3个方程外，另外还有描述非饱和子区、超渗产流子区、蓄满产流子区和主河道的4个质量守恒方程和6个动量守恒方程，共13个基本方程。值得指出的，式（2）表示的动量守恒方程也是常微分方程，但由于已经忽略了惯性项所以简化为代数方程的形式。

这些方程含有23个未知量，分别是描述5个子区水流运动的速度

(v,v,v,v,v,v,v,v)，非饱和子区的饱和度(s)，5

ux

uy

uz

sx

sy

o

c

r

u

个子区的水平投影面积

(yω,yω,yω,yω,mξ)，除主河道外4个子区的水平投影面积占REW总面积的比

u

u

s

s

c

c

o

o

rr

例

主河道横断面面积(m)，主河道横断面宽度(w)，主河道高程差(y)，(ω,ω,ω,ω)，

u

s

c

o

r

r

r

超渗产流子区和蓄满产流子区分界线的长度Λ

()和主河道边线的长度(Λ)。为使方程组

co

or

闭合，需要补充10个的几何关系，其基本形式如下（以描述饱和子区和非饱和子区的总体积不变的几何关系为例）：

duud

(yω)+(ysωs)=0 dtdt

u

s

u

s

（3）

式中ω和ω表示非饱和子区和饱和子区的水平投影面积，y和y分别表示非饱和子区和饱和子区的厚度。

式（1）和式（2）所代表的守恒方程已经包含了相应的本构关系。如式（2）中的摩擦阻力项，被表示为流速的线性函数，这可以认为是适用于低流速条件的达西定律在REW尺度的推广。值得注意的，本构关系的建立以连续介质热力学中的本构公理为指导，具有扎实的理论基础，这比直接推广达西定律具有更强的逻辑性和说服力，同时可以根据新的观测事实改变函数的具体形式，而这并不影响守恒方程的基本形式。譬如，在某些情况下，式（2）中的摩擦阻力项为流速的二次函数项更符合实际，这种改变并不影响模型的求解。

3 最新进展

Reggiani等[21]运用热力学第二定律对本构关系的基本形式进行了初步探讨，建立了可用于描述流域主要水文过程的闭合的常微分方程组。之后，Reggiani等[28]模拟了由单个REW组成的假想流域的长时段水量平衡，其中对REW方程组进行简化，忽略了快速的地表水运动方程，并进行了无量纲化处理。模拟结果表明REW方法能够很好地模拟气象、土壤和地形条件等对长时段水量平衡的影响。

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Reggiani等[29]还对地表水文过程起主要作用的洪水过程进行了分析，仅保留蓄满产流子区、超渗产流子区和主河道3个子区的控制方程，计算结果表明REW方法对短历时的降雨～径流关系也能很好地进行模拟。

为验证REW方法在实际流域应用的效果，Reggiani[30]等基于REW方法研制了数值求解模型，在比利时的Geer流域（划分为73个REWs）进行了应用。之后，Zhang31等通过土壤分层考虑了土壤垂向不均匀性对入渗和蒸发的影响，并在模型中加入了植被截留项，提出了REWASH模型，大大提高了模型模拟和预测的效果。

认为本构关系应当合理表达REWZehe[32]和Lee[33,34]等对本构关系进行了进一步的探讨，

内部下垫面条件的不均匀性，并可以通过开展新的试验和观测、理论推导、数值试验等方法来建立。Lee[34]运用以上方法针对德国的Weiherbach流域建立了考虑REW内部变异性的本构关系，并进行了验证。

由于地表水流和地下水流运动的速度存在数量级上的差别，所以REW方法得到的常微分方程组是刚性的，其数值求解的稳定性和收敛性较难同时得到保证。Lee等[35]在其模型（CREW）中采用了4阶隐式Runge-Kutta方法，在德国的Weiherbach流域和澳大利亚的Susannah Brook流域应用效果良好。

以上表明，尽管REW方法目前还不完善，但初步的应用结果是令人鼓舞的，已显示出了较强的生命力。与基于FH69的物理性水文模型相比，REW方法的优越性在于：一，REW方法将描述流域水文过程的数学物理方程直接建立在子流域尺度上，使方程建立的尺度与模型应用的尺度相一致；二，REW方法得到的控制方程是常微分方程组，其数值求解与偏微分方程相比要容易得多，现有的普通计算能力将满足基于REW方法的水文模型在实际流域应用的需要；三，REW方法要求的输入资料比较少，其输出也相对较少，但直接符合人们的需要，在数量和表达形式上是“恰当”的[36]。譬如，FH69模型模拟土壤水运动时使用理查兹方程，求解后直接得到的是各网格点的含水率数据，而REW方法则直接得到各REW中非饱和子区与各相邻子区的水文通量和自身含水量的增量。第四，REW方法将流域离散为REWs，从本质上看也是分布式的，能够充分利用人们可获得的关于流域地形、土壤、植被和气象等信息：流域整体的空间变异特性由REWs的划分体现，而REW内部的空间变异特性则可由本构关系的参数体现[34]。

4 需要进一步解决的主要问题

英国Lancaster大学的Beven教授[16]对REW方法给予了高度评价，认为是发展尺度协调的水文模拟新理论的壮举。同时，Beven也指出REW方法存在的困难在于本构关系的建立。从根本上讲，REW尺度本构关系的建立需要新的观测方法和试验手段的支撑，而目前这样的观测手段和结果是比较欠缺的。因此，本构关系的具体形式依赖于人们对水文过程性质的定性判断，其参数的确定依赖于对已有观测资料、理论分析成果和数值试验结果的率定。

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但总的来讲，作为一种新的尺度协调的水文模拟理论，REW方法已经显示了强大的生命力。当然，任何一种新理论的完善都需要一个过程，REW方法目前还不完善，其需要进一步深入研究的课题主要包括：

（1）各种下垫面条件下蒸腾蒸发过程的考虑：目前，REW的子区划分中没有植被、裸土、积雪、冰川和冻土等复杂的下垫面条件，因而无法从物理机制出发考虑蒸腾蒸发过程。毫无疑问，蒸腾蒸发是流域水文过程的重要组成部分，必须在现有的理论框架下推导控制复杂下垫面条件下蒸腾蒸发过程的数学物理方程，并讨论其本构关系。

（2）陆地表面能量交换过程的考虑：在REW的理论框架中包括了质量守恒、动量守恒和能量守恒，但为使问题得到简化，目前均假设流域处于热均衡状态，从而忽略了能量平衡（这直接导致了蒸腾蒸发物理过程的忽略）。但陆地表面的能量交换是水文过程的驱动力，并且与大气运动密切相关，对各种下垫面条件下的蒸腾蒸发有显著影响。因此，应该放松流域热均衡状态的假设，在考虑蒸腾蒸发的同时考虑陆地表面的能量交换过程。

（3）本构关系理论和方法的进一步深入探讨：本构关系对于方程组的闭合必不可少，在REW方法中占有重要地位。这需要在本构公理[26]的指导下设计新的试验，以新的观测和试验数据来验证或新建符合实际的本构关系。

（4）亚REW尺度不均匀性的研究：流域下垫面条件和气象输入的不均匀性对水文过程有重要影响。在REW方法中，流域整体的空间变异性通过REW的划分来体现，REW内部的空间变异性则要通过本构关系的参数来体现。目前，关于REW内部不均匀性的研究还是初步的，可借鉴传统物理性水文模型中关于次网格不均匀性的研究成果，建立亚REW尺度不均匀性的统计模型，并将其耦合到本构关系的研究中。

（5）参数的确定和率定：正如Beven所指出的，限于水文观测能力，多数情况下人们尚不能直接获得本构关系中的有关参数，还需要通过率定的方法来解决。基于FH69的物理性水文模型同样存在参数率定的问题，对于传统物理性水文模型人们已做了比较深入的工作，可在此基础上研究REW方法中参数率定和确定的方法。

（6）在不同类型实际流域中的应用：不同地质、地貌和气候特征的流域其水文过程存在明显的差别，这对模型的实际应用影响很大；不同的应用目的所关心的水文过程不同，这也会对模型的应用产生影响。在目前水文观测理论和技术相对落后的情况下，分别不同特征在REW的流域和不同的应用目的进行研究，对于模型参数的确定无疑会带来极大的方便[37]。方法的理论和数值计算模型研究相对成熟后，工作重心应放在不同类型流域和不同应用目的的分类研究上。

（7）在缺资料地区的应用：缺资料地区的水文预测（PUB）是生产实践对水文科学提出的挑战性课题，REW方法由于其具有物理基础且要求较少的参数，可望在PUB的研究中有所突破，应结合遥感技术加强REW方法在缺资料地区水文模拟和预测方面的研究工作。

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Advances in Novel Hydrologic Modeling Approach Based on

Representative Elementary Watershed Tian Fuqiang Hu Heping Lei Zhidong

(1 Department of Hydraulic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The current generation of physically based distributed models, based on blueprint presented by Freeze and Harlan, have the distinct advantage that they explicitly consider conservation of both mass and momentum, albeit at the point or Representative Elementary Volume scale. However, they suffer from serious shortcomings of which the most essential one is incompatible between scale of equations and scale of application. This incompatibility makes physical parameters of the model uninterpretable. To overcome it, Reggiani etc. presented a novel hydrological modeling approach based on representative elementary watershed through a systematic derivation of a new set of balance equations for mass, momentum, energy and entropy, including associated constitutive relationships for various exchange fluxes, at the scale of a well defined spatial domain, the Representative Elementary Watershed(REW). The aim of this paper is to present a summary of development of REW approach, followed by a brief introduction of unifying framework of REW approach, and a survey of tasks needed further research.

Key words: Representative Elementary Watershed, scale problem, constitutive relationship, hydrologic modeling

致谢

本研究得到国家自然科学基金资助，“基于代表性单元流域（REW）的水文模拟理论与方法研究”（项目批准号：50509013）。

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