圆弧

初三 杨运根 学 科 数学 版 本 人教/北师版 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 【本讲教育信息】

一. 教学内容：

弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

教学目的

1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：

教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程

1. 圆周长：C2r 圆面积：Sr2

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系C2R，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°

2R。 360nR n°的圆心角所对的弧长是

180nR l180

注 这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

的圆心角所对的弧长就是

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2，所以圆心角为n°的扇形面积是：

S扇形nR21lR（n也是1°的倍数，无单位） 3602

5. 圆锥的概念

观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 6. 圆锥的性质

由图可得

（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等

7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：

nl 180 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：

1 S圆侧面clrl

2 c 圆锥的全面积为：rlr2

圆柱侧面积：2rh。

考点一 弧长及扇形面积的计算

例1：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为80cm，那么⊙O的半径为___________cm。 答案：120

解：由弧长公式：l RnR得： 180180l18080120cm n120

练习1：若扇形的圆心角为120°，弧长为10cm，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。 答案：15；25π

例2：两个同心圆被两条半径截得的AB10，CD6，又AC=12，求阴影部分面积。

解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n°

n(r12)10 AB180nr l6

CD180 ln60 

r18 ∴OC=18，OA=OC+AC=30 S阴S扇AOBS扇COD 11lOAlOC 2AB2CD111030618 22 96

 练习2：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画AB，以AB

为直径作半圆，求阴影部分的面积。

解：∵OA=4cm，∠O=90° ∴S扇形AOB90424cm

360 AB42cm SAOB8(cm)，S半圆2(22)24(cm2)

2 S弓形AmBS扇形AOBSAOB(48)(cm2) 则阴影部分的面积为：

S阴影S半圆S弓形AmB4(48)8(cm2)

方法小结： 弧长和扇形面积计算中半径均出现，故首先得知道半径大小。 扇形面积公式有两个，得根据题目所提供条件进行选择。

例3：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得

2l,c2r 22l 即2r,l2r

2 c 在Rt△SOA中，l2r2102

由此求得r103203(cm),l(cm) 33103203200(cm2) 333练习3：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。 答案：2π

例4：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？

故所求圆锥的侧面积为S圆侧面rl

解：BC1325212(cm)

以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：

S表S底S侧1221213300(cm2) 以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

11CD13512 22 CD60 13 SS上S下CDBCCDAC

606012513136017  13102013练习4：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9m2，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？

解：Sr2,9r2,r3 ∵h1=4，∴lh1r25 SS锥S柱

2rl2rh

35233.5152136

 S总2036720答：至少要720平方米的毛毡。

【模拟试题】

1. 已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为____________。

2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是__________。 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AB43，AD23，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为___________。

4. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ）

A.

800cm2 3

B.

500cm2 3 C. 800cm2 D. 500cm2

［探究］

12. （2004·）在相距40km的两个城镇A、B之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为10km，圆心恰好位于A、B连线的中点处，现要绕过湖泊从A城到B城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线，请你通过推理计算，说明哪条路线较短。

 （1）的路线：线段ACCD线段DB

 （2）的路线：线段AEEF线段FB（其中E、F为切点）