高中数学 2.3 3离散型随机变量的期望与方差教案 选修选修2-3

教A版选修选修2-3

●课 题

§1.2.2 离散型随机变量的期望与方差(二) ●教学目标 (一)教学知识点

1.离散型随机变量的方差(Dξ)的概念，标准差(σξ)的概念.

2.离散型随机变量η=aξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(aξ+b)=a·Dξ的推导. 3.服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(n,p))的方差Dξ=npq. (二)能力训练要求

1.会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值.

2.会求随机变量η=aξ+b的方差值(D(aξ+b)=aDξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(n,p)的方差值、标准差σξ的值的计算.

3.能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率，也就是逆向思维的运用.

4.会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题. (三)德育渗透目标

1.通过实例和对初中知识的回顾培养学生的直觉思维中的类比能力，培养学生的辩证思维能力.

2.培养学生要学会观察问题、分析问题和解决问题的能力，学会用数学眼光分析自己周边的事物，抽象概括为数学模型，要体现生活与数学的关系.

3.培养学生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素.培养学生的健全的人格，让更多的学生有更好的发展.

●教学重点

离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征)，也是对随机变量的一种简明扼要的描写.随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度.随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ－Eξ)的均值.两个计算方差的简单公式：(1)D(aξ+b)=aDξ;(2)如果ξ~B(n,p),则Dξ=npq(这里q=1－p).

●教学难点

- 1 -

2

2

2

2

离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教学的难点，两个方差的计算公式

D(aξ+b)=a2Dξ，若ξ~B(n,p)则Dξ=npq的证明是另一个难点.第一个难点的原因是：由于

教科书没有引入随机变量函数的一般定义，故只有从初中代数的回顾中提出问题，给出方差定义.

●教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践法.在学生已经掌握离散型随机变量分布列及数学期望的认知水平上，利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差的概念.

●教具准备

投影仪或实物投影仪. 幻灯片 §1.2.2(二) A

例3：有A、B两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下： 其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉 强度不低于120.试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好？

●教学过程 Ⅰ.课题导入

在初中代数中我们曾经学过这样一个问题：设在一组数据x1,x2,…,xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1－x),(x2－x),…,(xn－x),那么S=

2

2

2

2

12

［(x1－x)+(x2－nx)2+…+(xn－x)2］叫做这组数据的方差.(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值

对应的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定义呢？这就是我们今天来学习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差.(板书课题)

Ⅱ．讲授新课 1.方差概念的导入

- 2 -

［师］如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1,x2,…,xn,…，且取这些值的概率分别是p1, p2, …, pn, … , (板书)，那么，如何定义ξ的方差呢？请同学们先讨论，然后再来总结.

［生］(稍过片刻后)因为ξ的期望它是反映了离散型随机变量取值的平均水平，这与我们初中所学过的一组数据x1，x2，…，xn的平均值的意义是相同的，由初中所学过的一组数据的方差定义直接类比有：把方差.

［师］初中我们学习的一组数据的方差的概念，这一组中的个数是有限的，而这个离散型随机变量ξ的取值是有限还是无限呢？其二，一组数据中每一个出现的频率都是一样的，即为

1222

［(x1－Eξ)+(x2－Eξ)+…+(xn－Eξ)］定义为随机变量ξ的n1，而离散型随机变量ξ所有可能取值对应的概率是否相同呢？请同学们再从这两点出n发，结合离散型随机变量ξ的期望定义，也要看看初中学习的平均数的定义，由几点出发能否得到离散型随机变量ξ的方差的定义呢？

(课堂上的学术研讨气氛十分浓厚，他们按照划分的学习小组进行讨论研究，教师也参与进去，个别指导或旁听或解疑或解答学生的问题)

［生］(片刻后)我们可以进行这样的类比：

一组数据：x1，x2，…，xn类比离散型随机变量ξ取值：x1，x2，…，xn，… 平均值xx1x2xn类比期望Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…

n2

2

2

2

2

方差S=［(x1－x)+(x2－x)+…+(xn－x)］类比(x1－Eξ)p1+(x2－Eξ)p2 方差：

2

1n+…+(xn－Eξ)pn+….

［师］刚才这位同学的类比是否合理呢？这是完全正确的.(开始板书下列内容)：把

2

Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…叫做随机变量ξ

差.Dξ的算术平方根

的均方差，简称为方

(国

D叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.“σ”读作

际音标)这就是随机变量ξ的方差和标准差的定义.由此可以看出，类比固然可以引导我们走向成功一面，但也会把我们领入歧途.

我们知道初中学习的方差它是说明了这组数据的波动情况，类似地离散型随机变量ξ的

- 3 -

方差Dξ和标准差σξ的实际意义是什么呢？

［生］这两个数学量都是反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.(板书) ［师］在学习数学期望时，我们证明E(aξ+b)=aEξ+b，你们能猜想出D(aξ+b)的式子吗？

［生］D(aξ+b)也是满足线性关系，即D(aξ+b)=aDξ+b. ［师］这仅仅是猜想，你能证明吗？

［生］可以，利用定义直接推导.(他走上讲台，在黑板上写道) ∵E(aξ+b)=aEξ+b.P(η=axi+b)=P(ξ=xi)(i=1，2，3，…，n，…).

∴D(aξ+b)=［ax1+b－E(aξ+b)］p1+［(ax2+b)－E(aξ+b)］p2+…+［(axn+b)－E(aξ +b)］pn+…=(ax1+b－aEξ－b)p1+(ax2+b－aEξ－b)p2+(ax3b－aEξ－b)p3+…+(axn+b－

2

2

2

2

2

2

aEξ－b)2pn+…=(ax1－aEξ)2p1+(ax2－aEξ)2p2+…+(axn－aEξ)2pn+…=a2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(xn－Eξ)2pn+…］=a2Dξ.

(注：该生刚开始时，写［x1－E(aξ+b)］，［x2－E(aξ+b)］，…，展开后发现不对，没有办法推下去，这时教师现场指导，考查的随机变量是η=aξ+b，而不是ξ，它所对应的可能值是ax1+b，ax2+b，…，axn+b，….而不是x1，x2，…，xn，…，学生进行修改，继续推导下去.然后教师走到学生中间与他们共同研究，发现问题个别指导，达到共识)

［师］原来你的猜想是D(aξ+b)=aDξ+b，而证明的结果是D(aξ+b)=aDξ，你是相信哪一个呢？

［生］(齐声说)相信证明的结果.

［师］类比的思想方法在科学发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的.但我们要知道事物都是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有的时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实.所以，我们既要学习类比与猜想，又要学会严密的证明，这样我们思维品质更加优异，更具有辩证性.

如果离散型随机变量ξ满足二项分布，即ξ~B(n，p)，那么Dξ又等于什么？同学们能否仿照Eξ的证明方法给出证明？

(学生跃跃欲试，拿起笔在草稿上飞速书写或相互讨论)

［生］我愿意到黑板上推导试试看.因为ξ~B(n，p)，∴Eξ=np，Dξ=E(ξ－Eξ)=

2

2

2

2

E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2.而Eξ2=02·Cn·p0qn+12·

233n－3n1n－122n－222n0·pq+2··p·q+3·pq+…+n·pq.(*) C1CCCnnnn0 - 4 -

∵k=(k－k)+k，∴k222

Ckn=(k－k)

2

kkk1+k·Cn=k(k－1)Cn+nCn1=n(k－1) Cknk21k1k1+n1=n(n－1)+n. CCkCCn2n1n1n1∴(*)为Eξ=0+［n·(1－1)·Cn1+n·Cn1］pq2

001n－1

+［n(n－1)Cn2+nCn1］pqkn－k012n－2

+

［n(n－1)Cn2+nCn1］pqn1223n－3

+…+［n(n－1)Cn2+nCn1］pq1n2k2k1+…+［n(n－1)Cn2+

0n2nCn1］pn·q0=n(n－1)p2［Cn2p0qn－2+Cn2p1qn－3+…+Cn2pn－2q0］+np·［Cn1p0qn－1

+Cn1pq11n－2

0+Cn1pq2

22n－3

+…+Cn1p2

n1n－1

q0］=n(n－1)p2(p+q)n－2+np·(p+q)n－1=n(n－1)p2+np

2

2

∴Dξ=Eξ－(Eξ)=n(n－1)p+np－(np)=np－np=np(1－p)=npq(q=1－p).即Dξ=npq. ［师］这位同学已经证明的太妙了！请同学详细读读他的书写过程.你的解法和他的是否相同，如果你没有证出来，你的问题症结在何处，正确找出差异，才能更好地进步.

［生］我看太繁，没有敢往下写，也不知道如何化简(*)式，我没有他的那种毅力. ［生］对于kCnk1k2

我知道运用，但对于k，我就不知道该如何化简了.他在黑nCkCn1nk1k2k1，然后再来运用(k－1)·Cn1=(n－1)Cn2.nCkn12

板写的是拆项(即添项去项)，构造出kCn这是证明本题的核心所在.他的代数推理能力太棒了，我要向他学习.

［师］这两位同学都说出真心话，他们对黑板上的同学的证明给予了充分的肯定.从这里也看出了我们在平时的学习中要有恒心，要有信心，要有坚韧不拔的毅力和坚强的意志，见到困难不能低头，只有这样才能把自己的工作和学习做的更加出色.(学生们一起鼓掌)

(这种宽松和谐气氛的营造不是老师一个人去说教的，而是靠师生共同去创造的，教师的宽厚待人、谦虚求实、严而有爱、学识广博，往往是唤醒沉睡的课堂的关键，教师的精湛的教学艺术又是活跃课堂研讨气氛的调和剂，教师的作用是组织者、策划者，而学生才是真正的主人)

2.课本例题

［例1］(原课本例5)已知离散型随机变量ξ1和ξ2的概率分布

- 5 -

求这两个随机变量ξ1与ξ2的期望、方差与标准差. (教师简要地把表写在黑板上，请同学来编题，设计问题) ［师］按黑板上的表格中的有关数据，哪位同学提出求什么问题？ ［生］可以求随机变量ξ1、ξ2的方差与标准差. ［师］对，那我们就一起来求解吧！

［师］我们先计算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定义求解. 解：Eξ1=1×

11111111+2×+3×+4×+5×+6×+7×=×(1+2+3+4+5+6+7)=4. 77777777111112222

+(2－4)×+(3－4)×+(4－4)×+(5－4)×+(6－77777Dξ1=(1－4)2×

4)×

2

112222222112

+(7－4)×=(3+2+1+0+1+2+3)×=2×14×=4. 7777D14=2

∴σξ1=

Eξ2=3.7×

11111111+3.8×+3.9×+4×+4.1×+4.2×+4.3×=×(3.7+3.8+3.97777777717(3.74.3)8=4. ×

227111112222

+(3.8－4)×+(3.9－4)×+(4－4)×+(4.1－4)×+(4.2777772

+4+4.1+4.2+4.3)=

Dξ2=(3.7－4)2×

－4)×

17+(4.3－

4)×

2

1111412222222

=0.04. =(0.3+0.2+0.1+0+0.1+0.2+0.3)×=×2×14×71002577100- 6 -

∴σξ2=

D211=0.2 255［师］此题中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各个不同的数值，ξ1取较为分散的数值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取较为集中的数值3.7，3.8，3.9，4，4.1，4.2，4.3.Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=0.04.方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=0.2可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差，这个偏差甚至可以让学生从随机变量的分布列通过猜想得到.

［例2］(原课本P14例6)甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平. (教师先在黑板上列出两张表格，请学生命题，但又不同于上题) ［师］请同学们根据表中提供的数据编拟一道试题.

［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，各有关数据如表所示，求甲、乙两名射手的击中环数的期望、方差和标准差.

［师］可以！还有哪位同学提出新的问题.

［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，根据所给的数据，问哪个水平高？ ［师］这个问法比较好，也是目前生产、生活中常见的问题，从实际问题抽象成数学问题，这个过程就需要建构.要想更好地回答这个问题，必须要计算期望与方差，利用它们来分析.

［生］Eξ1=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，Dξ1=(8－9)×0.2+(9－9)×0.6+(10－9)×0.2=0.2+0+0.2=0.4

2

2

2

Eξ2=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，Dξ2=(8－9)2×0.4

9)×0.4=0.4+0+0.4=0.8.

2

+(9－9)×0.2+(10－

2

从上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1- 7 -

的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些.

［师］ξ1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情况不一样.Eξ1=Eξ2，这时通过Dξ1和Dξ2来比较ξ1与ξ2的集中与离散程度，即两名射手射击成绩的稳定状况.在许多问题中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2很接近时用Dξ1和

Dξ2来比较两个随机变量ξ1和ξ2，并决定取舍.

下面再看一题(打出幻灯片§1.1.2 A)请一位同学读题，然后谈谈你的解题策略是什么？ ［生］(读完题后说)要比较它们的质量，首先要看他们的平均抗拉强度是否达标，即它们的数学期望是否低于120，再比较它们的方差.

［生］解：EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125.

EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.

两种钢筋的平均抗拉强度都是125.此时我们再看它们与平均强度的偏离程度，即它们的方差大小：

DξA=0.1×(110－125)2+0.2×(120－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－

125)+0.2×(135－125)=50.

2

2

DξB=0.1×(110－125)2+0.2×(115－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－

125)+0.2×(145－125)=165.

∵DξB>DξA，∴B种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差很大，即取值较分散，所以尽管它们中有的抗拉强度指标很大，但不合格的数量比A种的要多，故可以认为A种钢筋比B种钢筋质量要好.

［师］这个例子说明，在实际问题中仅靠期望值还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即离散型随机变量的方差.请同学们注意收集整理这些信息，一定能有更大的收获.

Ⅲ.课堂练习

课本P15练习题，1、2、3、4题(学生板演) Ⅳ.课时小结

［师］今天我们学习离散型随机变量的方差，它是随机变量的又一个重要特征数.离散型随机变量的方差的公式是Dξ=

2

2

2

(xiniE)2·pi,即Dξ=E(ξ－Eξ)2.特例

是:①D(aξ+b)=aDξ;②如果ξ~B(n，p)，那么Dξ=np(1－p);③D(ξ=c)=0.要灵活运用方差

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来研究有关问题.注重学以致用.

Ⅴ．课后作业

(一)课本P16，7、8题.

(二)预习课本P17，§1.3抽样方法. ●板书设计

离散型随机变量的方差 一、定义： 1.把Dξ=(x1－Eξ)p1+(x2－Eξ)p2+…+(xn－Eξ)pn+…叫做随机变量ξ的方差. 2.Dξ的算术平方根3.几个特例： ①D(aξ+b)=aDξ; ②ξ~B(n，p)，则Dξ=np(1－p); ③D(ξ=c)=0. 公式：D(aξ+b)=aDξ的推导过程， ξ~B(n，p)时，Dξ=np(1－p)的推导. 二、例题 例1 例2 例3

22222D叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ. - 9 -