高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数

04 一次 函数 k，b k0 b0 yk0 b0 yOO符号 b0 yOb0 yOb0 yOb0 y图象 Oxxxxxx性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 二次函数

a0 a0 图像 bx2a bx2a b2a 定义域 对称轴 , x顶点坐标 b4acb2,2a4a 4acb2,4a b,2a递减 值域 4acb2,4a b,2a递增 单调区间 欧阳地创编

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b,2a递增 b,2a递减 反比例函数

1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称

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图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

指数函数y=a(a＞0，a≠1)

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质

x

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图

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像在R上是增函数；

当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数

比较幂式大小的方法：

1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比

较；

2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量

进行比较；

4. 对多个数进行比较，可用

0或1作为中间量进行

比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一

个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=a在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=a(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函

xx

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数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).

因为指数函数y=a的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草图

图 象 a＞1 a＜1 12110x

性 质 (1)x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数 设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2 补充 性质 欧阳地创编

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比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称 一般形式 定义域 值域 函 数 值 变 化 情 况 指数函数 y=ax(a＞0，a≠1) (-∞，+∞) (0，+∞) 当a＞1时， 1(x0)ax1(x0)1(x0)对数函数 y=logax(a＞0，a≠1) 单调性 图像 (0，+∞) (-∞，+∞) 当a＞1时 0(x1)logax0(x1)0(x1) 当0＜a＜1时， 当0＜a＜1时， 1(x0)0(x1)ax1(x0)logax0(x1)1(x0)0(x1) x当a＞1时，a是增函数； 当a＞1时，logax是增函x当0＜a＜1时，a是减函数. 数； 当0＜a＜1时，logax是减函数. y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数

幂函数

yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变

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化，图像都过（1,1）点

①

a11,,1,2,332时，幂函数图像过原点且在0,上是增

函数．

1a,1,22② 时，幂函数图像不过原点且在0,上是

减函数．

③ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

yxn 奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n1 O x O x O x

y y y 0n1 O x O x O x

y y y n0 O x O x O x

yx x|x0 x|x0 定义域 R R R 非奇非奇偶性 奇 奇 奇 奇 偶 在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限象限的象限单象限单单调递增 单调递增 单调递减 增减性 调递增 调递增 yx yx2 yx3 12yx1 欧阳地创编

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幂函数

yx（xR，是

常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数

yx（xR，是常数）的图像都过点(1,1)；

②当

1,2,3,12时函数yx的图像都过原点(0,0)；

③当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；

yx2,3④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线

（如c1）

④

12时，

yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线

（如c3

⑤ 1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限

是“下滑”曲线（如c4）

当0时，幂函数yx有下列性质： （1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；

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（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。

当0时，幂函数yx有下列性质： （1）图象都通过点(1,1)；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数

yx的图象必然

经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

byaxx（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在函数

（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，

函数

yaxbx（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

时间：2021.03.04 创作：欧阳地 欧阳地创编