立体几何中的建系设点

立体几何解答题的建系设点问题

在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

z1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点 2、x,y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

xOy（1）尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上

（2）找角：x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系，所以在标

zD'FA'GB'JCIxAHByEC'x,y轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：

O① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：

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① 正方形，矩形，直角梯形

② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直

④ 勾股定理逆定理：若ABACBC，则ABAC

（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点

（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D'点，坐标特点如下：

222x轴：x,0,0 y轴：0,y,0 z轴：0,0,z

规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为x,y,0，即竖坐标z0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出H,I点的坐标，位置关系清晰明了

OCI11H1,,0,I,1,0 222、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果Ax1,y1,z在底面的投影为Ax2,y2,0，那么

'AHBx1x2,y1y2（即点与投影点的横纵坐标相同）

由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的B点，其投影为B，而B1,1,0所以B1,1,z，而其到底面的距离为1，故坐标为B1,1,1

'''以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点

① 中点坐标公式：Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，则AB中点M图中的H,I,E,F等中点坐标均可计算

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，

x1x2y1y2z1z2,,，222.

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进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求A'点的坐标，如果使用向量计算，则设A'x,y,z，

uuruuuruuuuur''ABAB可直接写出A1,0,0,B1,1,0,B1,1,1，观察向量，而AB0,1,0 ，

'x10x1uuuurA'B'x1,y1,z1 y11y0 A'1,0,1

z10z1二、典型例题：

例1：在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，棱AB,BC,CD的中点，ABAC1,PA2，试建立适当的坐标系并确定各点坐标

例2：在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,CC1上的点，CFAB2CE，AB:AD:AA11:2:4，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标。

例3：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，

BECAFDB1BDEoPD,E,F分别是F空间直角ACA1C1D1FADDCCB1,ABC60o，CF 平面ABCD，

且CF1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。 小炼：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴），对于x,y轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的

DCAB某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴。

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例4：已知四边形ABCD满足AD∥BC,BAADDC1BCa，E是BC中点，将2VBAE翻折成VB1AE，使得平面B1AE平面AECD，F为B1D中点

AD

B'FADBECEC

思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

例5：如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O,OA4,OB3,OP4，且OP平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠近P），建立适当的直角坐标系并求各点坐标 小炼：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质

（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来

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