2021-2022学年上海市杨浦区八年级(上)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年上海市杨浦区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 与根式√2𝑎不是同类二次根式的是( )

A. √9 2𝑎B. √8𝑎

C. √2𝑎 3D. −2√2𝑎3𝑏2 2. 下列各式中，一定成立的是( )

A. √(𝑎+𝑏)2=𝑎+𝑏 C. √𝑎2−1=√𝑎+1⋅√𝑎−1

B. √(𝑎2+1)2=𝑎2+1 D. √𝑏=𝑏√𝑎𝑏 𝑎1

3. 下列关于𝑥的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是( )

A. 𝑥2−𝑥−𝑚 B. 𝑥2−𝑚𝑥+1 C. 𝑥2+𝑥+1

3𝑥D. 𝑥2−𝑚𝑥−1

4. 已知点(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)都在反比例函数𝑦=−的图象上，如果𝑥1<𝑥2，那么𝑦1与𝑦2的大小关系正确的是( )

A. 𝑦1<𝑦2

B. 𝑦1=𝑦2 C. 𝑦1>𝑦2 D. 无法判断

二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）

5. 如果√1有意义，那么实数𝑥的取值范围是______．

2𝑥

6. 计算：√(𝜋−4)2=______． 7. 化简：√16𝑎2𝑏(𝑎<0)=______． 8. √2𝑎−√𝑏的一个有理化因式是______． 9. 方程𝑥(𝑥−3)=𝑥−3的根是______． 10. 解不等式：√3𝑥−3<2𝑥的解集是______．

11. 若关于𝑥的一元二次方程(𝑚−3)𝑥2−3𝑥+𝑚2=9的常数项为0，则𝑚= ______ ． 12. 在实数范围内分解因式：𝑥2−3𝑥𝑦−𝑦2=______．

6𝑎2

13. 已知𝑥=𝑎是关于𝑥的一元二次方程𝑥2+3𝑥−2=0的根，则−=______． 2−3𝑎14. 已知关于𝑥的方程(𝑥−1)2=5−𝑘没有实数根，那么𝑘的取值范围是______．

15. 已知𝑦与2𝑧成反比例，比例系数为𝑘1，𝑧与𝑥成正比例，比例系数为𝑘2，𝑘1和𝑘2是已知数，

2且𝑘1⋅𝑘2≠0，则𝑦关于𝑥成______比例．(填“正”或“反”)

1

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16. 如果函数𝑦=(𝑚−1)𝑥𝑚______．

2−3

是正比例函数，且𝑦的值随𝑥的值的增大而增大，那么𝑚的值

17. 等腰三角形中，底角的度数用𝑥表示，顶角的度数用𝑦表示，写出𝑦关于𝑥的函数解析式______，函数的定义域______．

18. 在平面直角坐标系中，点𝐴(−4,1)为直线𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)和双曲线𝑦=𝑥(𝑚≠0)的一个交点，点𝐵(−5,0)，如果在直线𝑦=𝑘𝑥上有一点𝑃，使得𝑆△𝐴𝐵𝑃=2𝑆△𝐴𝐵𝑂，那么点𝑃的坐标是______．

三、解答题（本大题共9小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. (本小题6.0分)

计算：√3−(−2√27+3√1).

8326𝑚

20. (本小题6.0分)

计算：2√𝑎𝑏3×3√𝑎3𝑏÷3√1

4𝑎21. (本小题6.0分) 解方程：(2𝑥−1)2=4𝑥． 22. (本小题6.0分)

用配方法解方程：2𝑥2−6𝑥−1=0 23. (本小题6.0分) 计算与求值． 已知𝑎=

21√2，求𝑎−2𝑎+1−𝑎−2𝑎+1的值． 2+√3𝑎−1𝑎2−𝑎24. (本小题7.0分)

已知：关于𝑥的方程𝑥2−(𝑘+2)𝑥+2𝑘=0 (1)求证：无论𝑘取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形𝐴𝐵𝐶的一边长𝑎=1，另两边长𝑏，𝑐恰好是这个方程的两个根，求△𝐴𝐵𝐶的周长．

25. (本小题7.0分)

在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(𝑚,6)，𝐵(𝑛,1)在反比例函数𝑦=(𝑘≠0)的第一象限内的图

𝑥象上．过点𝐴向𝑥轴作垂线，垂足为𝐶；过点𝐵向𝑥轴作垂线，垂足为𝐷，且𝐶𝐷=5．

𝑘

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(1)求𝑚，𝑛的值，并求出反比例函数的解析式； (2)联结𝐴𝐵、𝐴𝑂、𝐵𝑂，求𝑆△𝑂𝐴𝐵．

26. (本小题7.0分)

制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？ 27. (本小题9.0分)

如图，正比例函数𝑦=𝑥的图象与反比例函数𝑦=(𝑘≠0)的图象交于𝐴(𝑎,−2)、𝐵两点．

2𝑥(1)求反比例函数的解析式和点𝐵的坐标．

(2)点𝑃为第一象限内反比例函数图象上一点，过点𝑃作𝑦轴的平行线，交直线𝐴𝐵于点𝐶，连接𝑃𝑂，如果△𝑃𝑂𝐶的面积为3，求点𝑃的坐标．

(3)点𝐸在𝑦轴上，反比例函数图象上是否存在一点𝐹，使△𝐵𝐸𝐹是以𝐵𝐹为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点𝐹的坐标；如果不存在，请说明理由．

1

𝑘

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答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：𝐴．√9=3√2𝑎，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2𝑎)，所以是同类二次

2𝑎2𝑎根式，故本选项不符合题意；

B.√8𝑎=2√2𝑎，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2𝑎)，所以是同类二次根式，故本选项不符合题意；

C.√2𝑎=1√6𝑎，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项符合33题意；

D.−2√2𝑎3𝑏2=−2𝑎|𝑏|√2𝑎，即化成最简二次根式后被开方数相同(都是2𝑎)，所以是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：𝐶．

先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看被开方数是否相同即可．

本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．

2.【答案】𝐵

【解析】 【分析】

本题主要考查了二次根式的化简，二次根式乘除运算法则的应用． 【解答】

解：𝐴．√(𝑎+𝑏)2=|𝑎+𝑏|，故本选项错误； B.√(𝑎2+1)2=|𝑎2+1|=𝑎2+1，故本选项正确；

C.只有𝑎+1≥0，𝑎−1≥0时该等式才成立，故本选项错误； D.只有当𝑏>0时该等式才成立，故本选项错误； 故选：𝐵．

3.【答案】𝐷

【解析】解：选项A，𝑥2−𝑥−𝑚=0，𝛥=1+4𝑚的值有可能小于0，即𝑥2−𝑥−𝑚在实数范围内不一定能分解因式；

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选项B，𝑥2−𝑚𝑥+1=0，𝛥=𝑚2−4的值有可能小于0，即𝑥2−𝑚𝑥+1在实数范围内不一定能分解因式；

选项C，𝑥2+𝑥+1=0，𝛥=1−4=−3<0，即𝑥2+𝑥+1在实数范围内不一定能分解因式； 选项D，𝑥2−𝑚𝑥−1=0，𝛥=𝑚2+4>0，方程有两个不相等的实数根，即𝑥2−𝑚𝑥−1在实数范围内一定能分解因式． 故选：𝐷．

对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．

本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．

4.【答案】𝐷

【解析】解：∵反比例函数𝑦=−中𝑘=−3， ∴图象在二、四象限，在每个象限𝑦随𝑥的增大而增大， 当𝑥1，𝑥2同号，即0<𝑥1<𝑥2或𝑥1<𝑥2<0，𝑦1<𝑦2， 当𝑥1，𝑥2异号时，即𝑥2>0>𝑥1，𝑦1>𝑦2； 故选：𝐷．

分𝑥1，𝑥2同号和异号两种情况讨论．

本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

3𝑥5.【答案】𝑥>0

【解析】解：如果√1有意义，那么实数𝑥的取值范围是𝑥>0．

2𝑥故答案为：𝑥>0．

根据所给二次根式含有分母，除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．进而可得结果．

本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握所给式子中含有分母，除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

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6.【答案】4−𝜋

【解析】解：∵𝜋<4， ∴𝜋−4<0， ∴原式=4−𝜋． 故答案是：4−𝜋．

首先判断𝜋−4的符号，然后根据绝对值的性质即可化简．

本题考查了绝对值的性质，正确理解当𝑎>0时|𝑎|=𝑎；当𝑎=0时|𝑎|=0；当𝑎<0时|𝑎|=−𝑎，是关键．

7.【答案】−4𝑎√𝑏

【解析】解：原式=4|𝑎|√𝑏 =−4𝑎√𝑏， 故答案为：−4𝑎√𝑏．

根据二次根式的性质即可求出答案．

本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题是基础题型．

8.【答案】√2𝑎+√𝑏

【解析】解：∵(√2𝑎−√𝑏)(√2𝑎+√𝑏)=2𝑎−𝑏， ∴√2𝑎−√𝑏的一个有理化因式是：(√2𝑎+√𝑏)； 故答案为：√2𝑎+√𝑏(答案不唯一)．

根据分母有理化是指把分母中的根号化去这一定义求得．

本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化的定义，正确判断什么时候乘二次根式本身，什么时候与分母组成平方差公式是解题关键．

9.【答案】1或3

【解析】解：𝑥(𝑥−3)=𝑥−3， 𝑥(𝑥−3)−(𝑥−3)=0， (𝑥−3)(𝑥−1)=0， 𝑥−3=0，𝑥−1=0， 𝑥1=3，𝑥2=1，

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故答案为：1或3．

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

10.【答案】𝑥>−3√3−6

【解析】解：移项得：√3𝑥−2𝑥<3， 合并得：(√3−2)𝑥<3， 解得：𝑥>

3即𝑥√3−2>−3√3−6．

故答案为：𝑥>−3√3−6．

不等式移项，合并同类项，把𝑥系数化为1，即可求出解集．

此题考查了二次根式的应用，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法及二次根式性质是解本题的关键．

11.【答案】−3

【解析】解：方程整理得：(𝑚−3)𝑥2−3𝑥+𝑚2−9=0， 由常数项为0，得到𝑚2−9=0， 解得：𝑚=3或𝑚=−3，

因为原方程为一元二次方程，故𝑚−3≠0，即𝑚≠3， 则𝑚=−3， 故答案为：−3．

方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出𝑚的值即可．

此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)．

12.【答案】(𝑥−3−√13𝑦)(𝑥−3+√13𝑦)

22【解析】解：原式=𝑥2−3𝑥𝑦+𝑦2−𝑦2 44=(𝑥−2𝑦)2−(2𝑦)2

=(𝑥−2𝑦+2𝑦)(𝑥−2𝑦−2𝑦)

3

√13913

3√133√13第7页，共17页

=(𝑥−

3−√133+√13𝑦)(𝑥−𝑦)． 223−√133+√13𝑦)(𝑥−𝑦)． 22

故答案为：(𝑥−

利用配方法因式分解．

本题考查了整式的因式分解，掌握配方法是解决本题的关键．

13.【答案】−6

【解析】解：把𝑥=𝑎代入𝑥2+3𝑥−2=0，得𝑎2+3𝑎−2=0． 所以2−3𝑎=𝑎2． 所以原式=−

6𝑎2

𝑎2=−6．

故答案是：−6．

把𝑥=𝑎代入已知方程，得到1−3𝑎=𝑎2，整体代入所求的代数式进行求值即可．

考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

14.【答案】𝑘>5

【解析】解：∵关于𝑥的方程(𝑥−1)2=5−𝑘没有实数根， ∴5−𝑘<0， 解得𝑘>5， 故答案为：𝑘>5．

根据直接开平方法解一元二次方程求解即可得出答案．

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

15.【答案】反

【解析】解：∵𝑦与2𝑧成反比例，比例系数为𝑘1，

1， ∴𝑦=2𝑧

𝑘

∵𝑧与𝑥成正比例，比例系数为𝑘2， 21

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∴𝑧=𝑘2×2𝑥=2𝑘2𝑥， ∴𝑦=

𝑘12𝑧11

=

12×2𝑘2𝑥

𝑘1=

𝑘1𝑘2𝑥，

∵𝑘1和𝑘2是已知数，且𝑘1⋅𝑘2≠0， ∴𝑦关于𝑥成反比例， 故答案为：反．

根据反比例函数的定义得出𝑦=

𝑘1

，根据正比例函数的定义得出𝑧2𝑧=

1

𝑘𝑥，求出𝑦22

=𝑥𝑘1𝑘2，再根据反

比例函数的定义得出答案即可．

本题考查了正比例函数与反比例函数的定义，能熟记正比例函数与反比例函数的定义是解此题的关键．

16.【答案】2

【解析】解：∵函数𝑦=(𝑚−1)𝑥𝑚∴𝑚2−3=1且𝑚−1>0， ∴𝑚=2， 故答案为：2．

根据题意得不等式，于是得到结论．

本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)中，当𝑘>0时，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑘<0时，𝑦随𝑥的增大而减小是解答此题的关键．

2−3

是正比例函数，且𝑦的值随𝑥的值的增大而增大，

17.【答案】𝑦=−2𝑥+180° 0<𝑥<90°

【解析】解：根据题意得，𝑦=−2𝑥+180°， −2𝑥+180∘>0

∵{， 𝑥>0∴0<𝑥<90°，

故答案为：𝑦=−2𝑥+180°，0<𝑥<90°．

根据三角形内角和定理得2𝑥+𝑦=180°，然后变形就可以求出𝑦与𝑥的函数解析式．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

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18.【答案】(4,−1)或(−12,3)

【解析】解：∵点𝐴(−4,1)为直线𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)和双曲线𝑦=𝑥(𝑚≠0)的一个交点， ∴𝑘=−，𝑚=−4．

∴直线𝑦=−𝑥与反比例函数𝑦=−的另一个交点为𝐶(4,−1)．

4𝑥

1

4

14

𝑚

由对称性可知：𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴当点𝑃与𝐶重合时，𝑆△𝐴𝐵𝑃=2𝑆△𝐴𝐵𝑂，此时𝑃(4,−1)．

当点𝑃在𝑂𝐴的延长线上时，𝑃′𝐴=𝐴𝐶时，𝑆△𝐴𝐵𝑃=2𝑆△𝐴𝐵𝑂，此时𝑃′(−12,3)， 综上所述，满足条件的点𝑃的坐标为(4,−1)或(−12,3)； 故答案为：(4,−1)或(−12,3)．

先利用待定系数法求得两函数的解析式，然后根据中心对称性得出直线𝑦=−𝑥与反比例函数𝑦=

4−𝑥的另一个交点为𝐶(4,−1).由对称性可知：𝑂𝐴=𝑂𝐶，推出当点𝑃与𝐶重合时，𝑆△𝐴𝐵𝑃=2𝑆△𝐴𝐵𝑂，此时𝑃(4,−1).当点𝑃在𝑂𝐴的延长线上时，𝑃′𝐴=𝐴𝐶时，𝑆△𝐴𝐵𝑃=2𝑆△𝐴𝐵𝑂，再利用中点坐标公式求解即可．

本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．

4

1

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19.【答案】解：原式=√6−(−√6+√6)

42=4+√6−2 =

3√6． 4

√6√6【解析】根据二次根式的加减法的计算法则进行计算即可．

本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的计算法则是正确计算的前提．

20.【答案】解：原式=2×4×3√𝑎𝑏3⋅𝑎3𝑏×𝑎

=2𝑎2𝑏2√𝑎．

【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

1

31

21.【答案】解：方程整理得：4𝑥2−8𝑥+1=0，

这里𝑎=4，𝑏=−8，𝑐=1， ∵𝑏2−4𝑎𝑐=−16=48>0， ∴𝑥=

8±4√38=

2±√3， 2解得：𝑥1=

2+√3，𝑥22

=

2−√3． 2

【解析】方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

22.【答案】解：∵2𝑥2−6𝑥=1，

∴𝑥2−3𝑥=2，

∴𝑥2−3𝑥+=+，即(𝑥−)2=

3√11∴𝑥−2=±2，

9412943211， 41

则𝑥1=√11+3，𝑥2=3−√11．

22【解析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

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因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

23.【答案】解：∵𝑎=2+√3，

∴𝑎=2−√3，

∴𝑎=2+√3，𝑎−1=1−√3<0，

1

1𝑎2−2𝑎+1√𝑎2−2𝑎+1 ∴−

𝑎−1𝑎2−𝑎2

(𝑎−1)𝑎−1

=+

𝑎−1𝑎(𝑎−1)1

=𝑎−1+ 𝑎=1−√3+2+√3 =3．

【解析】首先关键𝑎的值求得=2+√3，𝑎−1=1−√3<0，然后把原代数式变形为𝑎−1+，再进一步代入求得数值即可．

此题考查二次根式的化简求值，利用完全平方公式把代数式变形，问题简单易懂．

1

𝑎1𝑎24.【答案】(1)证明：△=(𝑘+2)2−4⋅2𝑘=(𝑘−2)2，

∵(𝑘−2)2≥0，即△≥0，

∴无论取任何实数值，方程总有实数根；

(2)解：当𝑏=𝑐时，△=(𝑘−2)2=0，则𝑘=2， 方程化为𝑥2−4𝑥+4=0，解得𝑥1=𝑥2=2， ∴△𝐴𝐵𝐶的周长=2+2+1=5； 当𝑏=𝑎=1或𝑐=𝑎=1时，

把𝑥=1代入方程得1−(𝑘+2)+2𝑘=0，解得𝑘=1， 方程化为𝑥2−3𝑥+2=0，解得𝑥1=1，𝑥2=2， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， ∴△𝐴𝐵𝐶的周长为5．

【解析】(1)先计算出△=(𝑘+2)2−4⋅2𝑘=(𝑘−2)2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；

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(2)分类讨论：当𝑏=𝑐时，△=0，则𝑘=2，再把𝑘代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当𝑏=𝑎=1或𝑐=𝑎=1时，把𝑥=1代入方程解出𝑘=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．

本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：①当△>0，方程有两个不相等的实数根；②当△=0，方程有两个相等的实数根；③当△<0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．

(1)点𝐴(𝑚,6)，𝐵(𝑛,1)在反比例函数𝑦=(𝑘≠0)【答案】解：25.𝑥的第一象限内的图象上． ∴6𝑚=𝑛=𝑘， ∵𝐶𝐷=5， ∴𝑛−𝑚=5，

∴𝑚=1，𝑛=6，𝑘=6， ∴反比例函数的关系式为𝑦=， 即：𝑚=1，𝑛=6，𝑦=； (2)∵𝑆△𝐴𝑂𝐶=𝑆△𝐵𝑂𝐷，

∴𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆梯形𝐴𝐶𝐷𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐵𝑂𝐷， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆梯形𝐴𝐶𝐷𝐵=(1+6)×5=

1

2

35． 2

𝑘

6𝑥

6𝑥

𝑘

(1)根据点𝐴(𝑚,6)，𝐵(𝑛,1)在反比例函数𝑦=(𝑘≠0)的第一象限内的图象上．【解析】可得6𝑚=

𝑥𝑛，由𝐶𝐷=5，即𝑛−𝑚=5，代入即可计算𝑚、𝑛的值，进而确定反比例函数的关系式； (2)根据反比例函数系数𝑘的几何意义，以及三角形，四边形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查反比例函数系数𝑘的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数关系式，掌握反比例函数系数𝑘的几何意义以及待定系数法求反比例函数关系式是解决问题的前提．

26.【答案】解：设平均每个月成本下降𝑥，

根据题意得：625(1−15.2%)−500(1−𝑥)2=625−500，

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解得：𝑥=−1.9(舍去)或𝑥=0.1=10%， 答：平均每个月下降成本的百分比是10%．

【解析】设平均每个月成本下降𝑥，分别表示出下降后的售价及成本即可列出方程求解． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出下降后的成本和售价，难度不大．

27.【答案】解：(1)将𝐴(𝑎,−2)代入𝑦=2𝑥，得−2=2𝑎，

解得：𝑎=−4， ∴𝐴(−4,−2)，

将𝐴(−4,−2)代入𝑦=，得−2=解得：𝑘=8，

∴反比例函数的解析式为𝑦=，

𝑥∵点𝐵和点𝐴关于原点对称， ∴𝐵(4,2)；

(2)如图，过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，交𝐴𝐵于𝐶，

8

𝑘𝑥

𝑘

， −4

11

设𝑃(𝑚,)，则𝐶(𝑚,𝑚)，

𝑚2∵𝑆△𝑃𝑂𝐶=3， ∴𝑚×|𝑚−

1

2128|𝑚81

=3，

解得：𝑚=2√7或2，

4√7∴𝑃(2√7,7)或(2,4)；

(3)存在，当∠𝐹=90°时，

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∴∠𝐵𝐹𝐺+∠𝐻𝐹𝐸=90°， ∵∠𝐵𝐹𝐺+∠𝐹𝐵𝐺=90°， ∴∠𝐻𝐹𝐸=∠𝐹𝐵𝐺， 又∵∠𝐸𝐻𝐹=∠𝐹𝐺𝐵， ∴△𝐹𝐵𝐺≌△𝐻𝐹𝐻(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐹𝐺=𝐻𝐸，𝐵𝐺=𝐻𝐹， 设𝐹𝐻=𝑚，则𝐹(𝑚,6−𝑚)， ∴𝑚(6−𝑚)=8， 解得𝑚=2或𝑚=4(舍)， ∴𝐹(2,4)；

当点𝐸在𝑦轴负半轴时，如图，

同理可得𝐹(−4,−2)，

当∠𝐵=90°时，当点𝐹在第一象限，

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设𝐹(𝑚,)，则=4+2， ∴𝑚=， ∴𝐹(3,6)；

当点𝐹在第三象限时，

443

8𝑚8𝑚

设𝐹(𝑚,)，则2−=4，

𝑚𝑚解得𝑚=−4， ∴𝐹(−4,−2)，

综上：𝐹(2,4)或(−4,−2)或(,6)．

3

【解析】(1)将𝐴(𝑎,−2)代入𝑦=𝑥，可得点𝐴坐标，将𝐴(−4,−2)代入𝑦=，可得𝑘的值，再根据

2点𝐴、𝐵关于原点对称，得出点𝐵的坐标；

1

𝑘𝑥

4

88

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(2)设𝑃(𝑚,)，则𝐶(𝑚,𝑚)，根据𝑆△𝑃𝑂𝐶=3，即可得出𝑚的方程；

𝑚2

(3)分∠𝐹=90°或∠𝐵=90°，分别根据𝐾型全等，表示出点𝐹坐标，从而解决问题．

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，图形与坐标的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造𝐾型全等是解题的关键．

81

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