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高等代数（下）试题(10)

一填空题（每小题三分共15分）

1 A,B为n 阶可逆矩阵， C=OABO，则C1＝________。

2 A为n 阶矩阵， A=

12，则(3A)1A*=_______ 3 设f是一个n元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________.

4 设1,2,...n线性无关，W=L（1,2,...n），则W的维数为______________ 。 5 数量矩阵A=aE的特征根为 _______________。二单项选择题（每小题三分共15分）

1 设A是mn矩阵, B是nm矩阵,则（） (A) 当m>n时，必有行列式AB0 （B）当m>n时，必有行列式AB=0 （C）当n>m时，必有行列式AB0 （D）当n>m时，必有行列式AB=0

2设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，则（）(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。 (B) AB的秩与AC的秩一定相等。 (C) AB的秩与AC的秩一定不相等。

(D) AB的秩一定不超过C的秩。

3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）（ A） r=1；（B）r=2 ；（C） r=m （有限数）；（D） r=1或 4 数域F上 n维向量空间V有（）个基

（ A）１；（B） n；（C） n!；（D）无穷多.

5 设向量空间W= {(a,2a,3a) aR},则W 的基为：（）（A）（ 1, 2, 3,）；（B）（a, a ,a）；

（C） ( a , 2a 3a) ；（D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三（15分）

212130X=71211 求X 4四（15分）把二此型

f (,x2,x3)= x1x2+ x1,x3+ x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）

求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数 1）1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1) 2）1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7) 六（10分）求矩阵

 A=511602 的特征值与特征向量 311

七证明题（15分）

1设A为n阶矩阵，A3=2E, 证明B=A2-2A+2E 可逆，并求 B1

2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。

3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明：

存在不止一个V的

高等代数（下）试题(9)

一填空题（每小题三分共15分） 1 若A=a，则AA/=_____________.

2 A=11223445，则秩A=__________。11012

3 t 满足________时二次型 x221+4 x22+x3+2t x1x2+10 x1x3+6x2x3为

正定二次型。

4 形如A=0aa0的矩阵（aF）作为M2（F）的子空间，其维数为______________ 。

5 设n阶矩阵A满足A2=A，则A的特征根只有___________.

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1 A,B为 n 阶矩阵，则下列式子成立的是（（A）

AB = A+B （B） (A+B)1 =A1+B

1

（C） AB=BA

（D）

若AB=B+E，则有BA=B+E

2 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A2+B2+C2= （（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵 3设1,2,...S与1,2,...m均为向量空间V中向量， L（1,2,...n）=L（1,2,...S），则下列结论成立的是（ (A) S=m; (B) 1,2,...S可由1,2,...m线性表出； (C) 1,2,...S是L(1,2,...m) 的一个基

(D) 1,2,...S线性相关时，必有1,2,...m也相关+

4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是（（A）W1+ （W1W2）= W1W2 (B) W1+ （W1W2）= W1+W2 （C）W1+ （W1W2）= W1

）

） 3

）） (D ) W1+ （W1W2）= W2

5 设 A=1551，则A的特征根为（）（A）1（二重）；（B）5（二重）；（C） -4，6 ；（D）1，5 三（15分）

 已知A=122212 ,求A1 及(A*)1 221四（15分）把二此型

f( x,x22+4x21,x23)= x1+2 x23+2 x1x2+4x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 1=（2，0，1，2） 2=（-1，1，0，3）

3=（0，2，1，8） 4=（5，-1，2，1）六 (10分)

求矩阵

A=103441802 的特征值与特征向量 

七证明题（15分）

1 A,B为n 阶方阵，ABA=B1,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n. 2 证明：若A为正定阶矩阵，则A1也为正定阶矩阵。

3 设 V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。

高等代数（下）试题(8)

一填空题（每小题三分共15分）

11 A=32010121,B 为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=________。 a1a22a2a2 A=b1b12, B=b1b22,A=2,则2AB=__________ 。

3实二次型f( x221,x2,x3)= x21+2 x1x2-2 x2-x3的秩为______ ；符号差为______ 。

4 是向量空设间V中的一个向量，则的负向量由__________ 唯一确定。 5 齐次线性方程组(EA)X=0的__________都是A的________特征向量。二单项选择题（每小题三分共15分）

1 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（）成立 (A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I

2 A,B为n 阶对称矩阵，下列命题不正确的为（）

（A）A+B对称 ; （B）AB对称; （C）Am+Bm对称 ; （D）AB+BA对称。

3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）（ A） r=1；（B）r=2 ；（C） r=m （有限数）；（D） r=1或

4 数域F上 n维向量空间V有（）个基（ A）１；（B） n；（C） n!；（D）无穷多

5设 A=

1551，则A的特征根为（）（A）1（二重）；（B）5（二重）；

（C） -4，6 ；（D）1，5 三（15分）解矩阵方程 XA=B+2X，其中 5A=22310116340 B=012 四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3 通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)

1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)

六 (10分) 求矩阵

4100 A=

130361 的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1 设A为 n 阶矩阵，A0，且Am=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明当 AX=XB时，必有 B=0

2设A实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。 ..3证明：如果V=V1V2，V1=V11V12，则V= V11..V12 V2. 6

高等代数（下）试题(7)

a1a22a2 1 A=b1b22a1, B=b1b2,A=2,则2AB=__________ 。

1202 A=301121 ,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_____________。 3 二次型 f(x21 ,x2, x3)= x1+2x1x2+2 x2x3则f 的秩为_______。

正惯性指标为_______。

4 t 满足________时二次型2 x2+ x2+5x2123+2t x1x2-2 x1x3+4x2x3为正定二次型。1aa...aa......1...a......a5 Ann=aaa......1特征值为____________。

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A2+B2+C2=（）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵

2 设A为n 阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有（）

11（A） (A*)1=

AA （B）A1=

AA*

1（C） AA*= A A*=AI （D）(A*)1= AA1* 3 设W1，W2都是V的子空间，则不一定V的子空间的是（）（A）W1W2 (B) W1W2 ( C) W1+W2 (D) W1+V

04 设0是矩阵A的特征根，并且有A0，则 01 是的___________ 特征根（）

（A） -A （B） A/ （C）A* （D） A1 5 设向量空间W= {(a,2a,3a)

aR},则W 的基为：（）

（A）（ 1, 2, 3,）；（B）（a, a ,a）；

（C） ( a , 2a 3a) ；（D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)

三（15分）

1a12aa1.........A=...an...an1...an2...1 求A1`

四（15分）

把二此型

f( x,x,x)= x-3 x2123212-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(2,5,1,5)，2(1,2,2,3)

1(1,2,1,2)，2(3,1,1,1) ,3(1,01,1)

六 (10分) 求矩阵

210121 A=012 的特征值与特征向量七证明题（15分）

1 设A,B为n阶矩阵，A2=B2=1 且

A+

B=0，证明（A+B）不可逆。

2 为m n阶实矩阵， B=E+ A/A

, 证明：当0时，B为正定阶矩阵。3 A为n阶实反对称矩阵，即A/= - A，证明：若0是矩阵A的特征根，

则-0也是矩阵A的特征根

高等代数（下）试题(6)

一填空题（每小题三分共15分）

1 A为n 阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则AA*=______________。

12342 A=111024152，则秩A=__________。 3 实二次型f( x,x,x)= x+2 xx-2 x2-x2123211223的秩为_____；符号差为____。

4 数域F上任意n维向量空间V都可表为___________个一维子空间的直和 5 设n阶矩阵A满足A2=A，则A的特征根只有____________________。二单项选择题（每小题三分共15分） 1 设A是3矩阵,则2A等于（） (A) -2

A （B）2A（C） -8

A（D）8

2 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（）成立 (A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I 3 设1,2,...S与1,2,...m均为向量空间V中向量， L（1,2,...n）

=L（

1,2,...S）

，则下列结论成立的是（）

(A) S=m; (B) 1,2,...S可由1,2,...m线性表出；

(D)

1,2,...S线性相关时，必有1,2,...m也相关

4 设向量空间W= {(a,2a,3a)

aR},则W 的基为：（）

（A）（ 1, 2, 3,）；（B）（a, a ,a）；

（C） ( a , 2a 3a) ；（D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)

120020000005 设 A=00133 则A的特征根是（）（ A）1（四重）；（B）1（二重），2（二重）；

（C）2（二重），3（二重）；（D）1（二重），2，3 三（15分）

设A*是A的伴随矩阵，X满足 A*X= A1+2X，求矩阵X，其中

111A=111111 四（15分）把二此型

f (,x2,x3)= 2x1x2+2x1,x3-6 x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。五（10分）在 P4中，求由向量

i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1) 3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)

六 (15分) 求矩阵

122 A=

311221的特征值与特征向量七证明题（15分）

1设A为 n 阶反对称矩阵，（即AT= -A），E-A，E+A 皆可逆，

2 如果A1…Am是n 阶正定矩阵，k1…km 是正数，证明：k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。

3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

高等代数（下）试题(5)

一填空题（每小题三分共15分）

O1 A=EEnnEn，En为n 阶单位矩阵，则A1＝________。

122 A为n 阶矩阵，

A=，则

(3A)1A*=________。

3 正定二次型的特征根都是_______________。 4 设

1,2,...n线性无关，W=L（1,2,...n）

，则W的维数为________ 。5 齐次线性方程组(EA)X=0的_______都是A的特征向量。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1 设A是mn矩阵, B是nm矩阵,则（） (A) 当m>n时，必有行列式AB

0 （B）当m>n时，必有行列式AB=0

（C）当n>m时，必有行列式AB

0 （D）当n>m时，必有行列式AB=0

2 A,B为3 阶矩阵，A=(

,22,33) B=(,2,3),

,,2,3三维列向量，A=18，B=2, AB= （） 3 设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）（ A） r=1；（B）r=2 ；（C） r=m （有限数）；（D） r=1或 4 设

1,2,...S与

1,2,...m均为向量空间V中向量， L（

1,2,...n）=L（

1,2,...S），则下列结论成立的是（）

(A) S=m; (B) 1,2,...S可由

1,2,...m线性表出；

1,2,...m) 的一个基

(D)

1,2,...S线性相关时，必有1,2,...m也相关

5 设向量空间W= {(a,2a,3a) aR},则W 的基为：（）

（A）（ 1, 2, 3,）；（B）（a, a ,a）；

（C） ( a , 2a 3a) ；（D） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)

三（15分）解矩阵方程 XA=B+2X，其中 510A=2231163 B=04102

四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)= x21+2 x2+4x223+2 x1x2+4x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）在 P4中，求由向量

i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

1=（2，0，1，2） 2=（-1，1，0，3）

3=（0，2，1，8） 4=（5，-1，2，1）六 (10分) 求矩阵

10 A=3441802 的特征值与特征向量七证明题（15分）

1设A为 n 阶反对称矩阵，（即AT= -A），E-A，E+A 皆可逆， 2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。

3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V 的子空间W，使得V=UW。

高等代数（下）试题(4)

一填空题（每小题三分共15分） 11 若

A，则

A=_____________.

2 设A为n 阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n 阶矩阵，AB=0,则秩B=________。 3 t 满足________时二次型 x2+4 x2+x2123+2t x1x2+10 x1x3+6x2x3为正定二次型。

4 形如A=

0aa0的矩阵（aF）作为M2（F）的子空间，其维数为______。 5 数量矩阵A=aE的特征根为 _______________。

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1 A,B为 n 阶矩阵，则下列式子成立的是（）

（E） AB =

A+

B （F） (A+B)1 =A1+B

1

（G） AB=BA

（H）

若AB=B+E，则有BA=B+E

2 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A2+B2+C2= （）

（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵 3设

1,2,...S与1,2,...m均为向量空间V中向量， L（1,2,...n） =L（

1,2,...S）

，则下列结论成立的是（）

(A) S=m; (B) 1,2,...S可由1,2,...m线性表出；

(D)

1,2,...S线性相关时，必有1,2,...m也相关+

4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是（）（A）W1+ （W1W2）= W1W2 (B) W1+ （W1W2）= W1+W2 （C）W1+ （W1W2）= W1 (D ) W1+ （W1W2）= W2

5 设 A=

1551，则A的特征根为（）（A）1（二重）；（B）5（二重）；

（C） -4，6 ；（D）1，5 三（15分）

1a12aa1.........A=...an...an1...an2...1 求A1`

四（15分）

把二此型

f( x1,x2,x3)= x2-3 x212-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1）1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1) 2）1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7) 六 (10分) 求矩阵

 A=312222111的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1设A为n阶矩阵，A3=2E, 证明B=A2-2A+2E 可逆，并求 B1 2 设A是实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。 3 设 V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。

高等代数（下）试题(3)

一填空题（每小题三分共15分）

11 设A为n 阶矩阵，A=2(B+E),且A2=A,则B2=__________。 aa22 A=b11b22a2, B=2a1b1b2,A=2,则2AB=__________ 。

3 二次型f( x,x,x)= x21231-2 xx + x2122+3 x1x3的矩阵是____________ 。 4 是向量空设间V中的一个向量，则的负向量由_________唯一确定。 5

设是F4的两个线性变换, =（x1，x2，x3，x4），

()=（0，x1，x2，x3）则2()=________________。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1 A,B，C为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A2+B2+C2=（）（A）3E （B）2E （C）E （D）O矩阵

2 A,B为n 阶对称矩阵，下列命题不正确的为（）

（A）A+B对称 ; （B）AB对称; （C）Am+Bm对称 ; （D）AB+BA对称。

3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成（）上的向量空间。（ A）复数域 C；（B）实数域C；（C）有理数域Q；（D）任意数域F 4 数域F上 n维向量空间V有（）个基（ A）１；（B） n；（C） n!；（D）无穷多 5 数域F上 n维向量空间的维数为r, 1,2,...nV, 且任意V中向量可由

1,2,...n线性表出，则下列结论成立的是（）

（ A） r=n；（B）rn ；（C） r n 三（15分）

212137 12011X=4 求X 四（15分）

把二此型 f( x1,x2,x3)= x1x2+ x1x3+x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)

1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)

六 (10分) 求矩阵

212101 A=012 的特征值与特征向量七证明题（15分）

1 设A为 n 阶矩阵，A0，且Am=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明当 AX=XB时，必有 B=0

2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A1也是正定矩阵。

3 证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

高等代数（下）试题(2)

一填空题（每小题三分共15分）

11设A为n 阶矩阵，A=2（B+I），且A2=A，则B2=_____________ 。 12 A=32101201 ,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_____________。 3 二次型 f(x1 ,x2, x3)= x21+2x1x2+2 x2x3则f 的秩为_______。

正惯性指标为_______。

3014 A= 1t3124的一个特征值为2，则 t=_______。 1aa...a...1a.........a 5 Ann=aaa.........a1特征值为___________________________。

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1设A，B分别是mn, np矩阵，则B/A/ 是（）（A） m p 矩阵 (B) pm 矩阵（C） n n 矩阵（D）n m 矩阵

2 设A为n 阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有（）1（A） AA*= A A*=

AI （B）A1=

AA*

11（C） (A*)1=

AA （D）(A*)1= AA1* 3 W1, W2都是线性空间V的子空间,则下列关系式不一定成立的是（）（A） W1 W

2 W1 , W1 W2 W2

(B) W1  W1+W2 , W2  W1+W2 (C) W1+W2  W1W2, (D) W1W2  W1+W2

4设00是矩阵A的特征根，并且有A0，则 01 是（）特征根

（A） -A （B） A/ （C）A* （D） A1

5 B为mn矩阵，则方程组BX=0只有零解是B/B=O为正定矩阵的（）（ A）充分条件（B）必要条件

（C ）充分必要条件（D非充分条件也非必要条件

三（15分）

设A*是A的伴随矩阵，X满足 A*X= A1+2X，求矩阵X，其中

A=111111111 四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3 通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(2,5,1,5)，2(1,2,2,3)

1(1,2,1,2)，2(3,1,1,1) ,3(1,01,1)

六 (10分) 求矩阵

14100 A=

33601 的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1 设A,B为n阶矩阵，A2=B2=I, 且

A+

B=0，证明（A+B）不可逆。

2 设A为m n阶实矩阵， B=E+ A/A , 证明：当0时，B为

正定矩阵。

3 A为n阶实反对称矩阵，即A/= - A，证明：若0是矩阵A的特征根，

则-0也是矩阵A的特征根

高等代数（下）试题(1)

一填空题（每小题三分共15分）

1 设A 是一个n阶方阵，且Am=0，则（E-A）(E+A+…+A

m1)=___________

2 设A为n 阶矩阵，且秩A=r, P,Q为n阶可逆矩阵，则秩（AQ）=______ 秩（APQ）=________

3 二次型 f(x1 ,x2, x3)=-6 x1 x2 的矩阵是___________

4 设 W1, W2是有限维线性空间V的子空间，W1, W2 ,W1 W2 W1+ W2之间的维数公式为_________________________。

5 设0是矩阵A的一个特征根，且A0，则10是 _________的一个特征根。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1 设A，B，C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有（）若AB=BA，则（A）若AB=AC，则B=C （B） A（B+C）=（B+C）A

（C） Am An =A

mn

（D）（A+B）（A-B）=A2-B2

2 设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，则（）（A） AB的秩与AC的秩不一定相等。（B） AB的秩与AC的秩一定相等。（C） AB的秩与AC的秩一定不相等。

（D） AB的秩一定不超过C的秩。

3 设W1，W2都是V的子空间，则不一定V的子空间的是（）（A）W1W2 (B) W1W2 ( C) W1+W2 (D) W1+V 4 设W1=

(a,0,0)aF，W2=(0,b,c)b,cF，` W3=(a,b,0)a,bF，

则下列结论不成立的是（）（A）dimW1+W2=F3 (B) W2+W3是直和

（C）W1+W2+ W3= F3 （D） W1+W2是直和

4 设是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是（）（A） 一定有特征根，从而有特征向量。（B）有特征根，但无有特征向量。（C）若有特征根，则一定有特征向量。

（D）不一定有特征根，但一定有特征向量。三（15分）

122212 已知A=221 ,求A1 及(A*)1 四（15分）把二次型

f (x1,x2,x3)=2 x1x2+2 x1,x3-6 x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。五（10分）在 P4中，求由向量

i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)

3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)

六（15分）求矩阵

511602 A=311 的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1 设A,B为n阶矩阵，且ABA=B1 ，证明秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 2 如果A1…Am是n 阶正定矩阵，k1…km 是正数，证明：k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。

....3 证明：如果V=V1V2，V1=V11V12，则V= V11V12 V2.

高等代数（下）答案 (1)

一1，E 2 , r 3, 030030000 4, dimW1+ dimW2=dim(W1+ W2)+dim(W1 W2)

5 A1

二 1，C 2，A 3，A 4，B 5，C

2 三（15分）已知A=12212 ,求A1 及(A*)1

221解：（AE）12210012100212010 2036210 2210010092212210019919201029929 4分

10012999 A1=

19122122， A=27 (A*)1=1 =112212212 221A272 四（15分）

把二次型 f (x1,x2,x3)= 2x1x2+2 x1,x3-6x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f (x1,x2,x3)的矩阵

011121032103 A=130230100100 5分 010110001001

4分 21

2000122200 020020006111 0120111 6分 110001001 f (x2221,x2,x3)=2w1-2w2-6w3 2分

x1w1w2w3 xw 2分

21w2 x3w3 五（10分）

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)

3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)

2111111 解： 12212000303103031 4分 111110200100 00000031 3分

10201，3，4是L(1，2,3，4)的一组基

维数为3 3分

六（15分）求矩阵

5 A=11602 的特征值与特征向量 311511解：62=（2）3=0 6分 311

矩阵的特征值与特征向量 1=2=3=2 3分

3x1x2x3解方程组06x12x22x30 3分

3x1x2x30A 的特征向量为k1 (1, 3, 0 ) + k2(0, 1, 1 ) 七证明题（15分）

1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B1 ，证明秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 证明：因为ABA=B1，所以ABAB=E

（E-AB）（E+AB）=0

秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 2分

秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩（(E-AB+ E+AB)=n 2分

所以,秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 1分 2如果A1…Am是n 阶正定矩阵，k1…km 是正数，证明：k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。

证明：A1…Am是n 阶正定矩阵，

所以XA1X0…… XAmX0 2分X(k1 A1+ …+ km Am)X0 2分所以，k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。 1分

.3证明：如果V=V1V2，V1=V11...V12，则V= V11V12 V2. 证明：显然有V= V11V12 +V2. 设  11

+2=0

. 因为（ 11 12

）+2=0 ，V=V1V2

所以 

11

12=0

，2=0

.有因为，V1=V11V12，所以 11=

 12=0

从而，V= V11..V12 V2.

高等代数（下）答案 (2)

一 I 2 , 2 3, 3 2 4, 6 5，1=1-（n-1）a, 2=…=n=1-a

二 1 B，2，A 3，C 4，D 5，C

三（15分）

设A是A的伴随矩阵，X满足 AX= A

**1+2X，求矩阵X，其中

111111A=111 1011110解：A1= 2011 1011101 A*=2011 X = A

1（A*-2E）

1 11 X=401110011

四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3

通过非退化线性替换化成平方和。

10221032230100010解A=001

4 分 3 分 3分

5分

3分

100010400241162114

0201 6分

1161214021P=0， X=PY ， 3分

1f( x2y21,x2,x3)=y1-422+24y3 3分

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(2,5,1,5)，2(1,2,2,3)

1(1,2,1,2)，2(3,1,1,1) ,3(1,01,1) 解：=x11+x22= -y11-y22-y33 4分

解方组组的秩为4 6分所以dim(W1 W2)=1， 2分（53，119，-19，-134）是W1 W2的一组基。 3分

六 (10分) 求矩阵

14100 A=

30361 的特征值与特征向量 4100130解：361=（1）2(2)=0 3分

矩阵的特征值与特征向量 1=2=1,3=-2 2分

解方程组

5x110x20x12x203x6x021 ,

2x110x20x15x203x6x3x0231TT 3分

得A的征向量为 k1 (-2, 1, 0 )+k2(0, 0, 1 ) 2分

七证明题（15分）

2 设A,B为n阶矩阵，A=B=1 且证明：

22A+

=0，证明（A+B）不可逆。

2分

AB= +

AEEBB2=

ABBAABABABABAB= -

（

A）=0 所以=-1，

AB所以（A+B）=0，（A+B）不可逆。 1分

/2 设A为m n阶实矩阵， B=E+ AA , 证明：当0时，B为正定矩阵

证明： XBX=X（E+ AA）X 1分

// XEX 0 X AAX 0 2分

XBX=X（E+ AA）X0

/ 所以，当0时，B为正定矩阵 2分

3 A为n阶实反对称矩阵，即A= - A，证明：若证明： =

/0是矩阵A的特征根，则-

0也是矩阵A的特征根

EA =

(EA)/n 2分

2分

EA=（-1）

EA0 若

是矩阵A的特征根，则-

0也是矩阵A的特征根 1分

高等代数（下）答案 (3)

1111302一 1，E 2， 12 3，3200 4  5，（0，0，x1，x2）

二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A

三（15分）

2 1122130711X=4 求X 223100110010解：（AE）121001 110010043120  011101 100313010323

001324 3133231324 A=

， 7 X= A11014=3

四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+ x1x3+x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

x1y1y2x1y1y2解：令x3y3

f( x1,x2,x3)= （

y1y3）

222-y2-y

3 2分 4分 4分

3分

4分

2 f( x1,x2,x3)= z12-z22-z

3 4分

非退化线性替换为

x1z1z2z3x1z1z2z3

x3z3 4分

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)

1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)

解：=x11+x22= -y11-y22 4分解方组组的秩为3 4分所以dim(W1 W2)=1， 2分

1+2=122 W1 W2， 3分 1+2是W1 W2的一组基。 2分

六 (10分) 求矩阵

210121 A=012 的特征值与特征向量 210121解：012=（2）（2-2）（2+2）=0 5分

矩阵的特征值1=2， 2=2+2，3=2-2，解方程组得特征向量为

1=（1，0，-1），2=（1，-2，1）3=（1，2，1） 5分 A的特征向量为k11+k22+k33 2分

七证明题（15分）

3分28

1 设A为 n 阶矩阵，A0，且Am=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明当 AX=XB时，必有 X=0 证明： AX=XB

AmX=XBm=0 3分 B可逆，所以必有 X=0 2分

2 设A 是 n元正定矩阵，试证：A1也是正定矩阵。

证明：A可逆，存在可逆矩阵C使得

A = CTC 2分 A

1= C

1（CT）

1= （（C

1）T）T（CT）

1 2分

所以，A

1也是正定矩阵。

3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

证明：设V为n维向量空间，而1，2，…n为它的一组基，

则L（i）都是V的一维子空间，且 L（1）+ L（2）+…L（n）= L（1，2，…n）=V 2分

而1，2，…n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一 2分

故以上的和为直和

所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 1分

高等代数（下）答案 (4)

4一 1 2 , 2 2, 3 -5t0 4, 1 5， a二 1 D，2，A 3，B 4，C 5，C

三（15分）

1a12aa1...............an...A=an1an2...1 求A1`

解：

A = 1 1a1a1...............A*==a1 1A1`=

A A* 1a1a1............... =a1

四（15分）把二此型 22

f( x1,x2,x3)= x1-3 x2-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f (x1,x2,x3)的矩阵

111113310022130100120110010010 A=001001 6分

4分

5分 3分

2分

100020003110011

001 6分

f (x1,x2,x3)=w2221+2w2-3w

3 2分

xw11w2x2w2w3 x3w3 2分

五（15分）求由向量

i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1）1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1) 2）1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7)

解：=x11+x22= -y11-y22 4分解方组组的秩为3 4分所以dim(W1 W2)=1， 4分（5，-2，-3，-4）是W1 W2的一组基 3分

1+2=122 W1 W2， 3分 1+2是W1 W2的一组基。 2分

六 (10分)

31212 求矩阵 A=

2211的特征值与特征向量 122311解：221=（3）3=0 3分

矩阵的特征值与特征向量 1=2=1,3=-3 2分

2x12x22x303x12x2x30解方程组 ,

2x12x22x30 3分

A 的特征向量为k (1, -2, 1 ) 2分

七证明题（15分）

1设A为n阶矩阵，A3=2E, 证明B=A2-2A+2E 可逆，并求 B1

证明：B=A（A+2E）（A-E）

A2 A1 = 2 2分

A3-E=E，（A - E）

1 = A2+A+E

1A3+8E=10E，（A+2E）1 =10 （A2-2A+4E） 2分

1A2B1=10 （A2+A+E）（A2-2A+4E）2 1分

2 设A是实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。证明：A是实对称矩阵，t E +A是实对称矩阵，

令f1(t), f2(t),…fn(t),为t E +A的顺序主子式， 2分它们都是首项系数为1的多项式

当t 充分大后，f1(t), f2(t),…fn(t)0 2分所以，当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。 1分

3 设 V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。证明：设V的一组基为1，2，…n

L（1，2，…n）=V

则L（i）都是V的一维子空间， 2分 V= V1+V2

W1 = L（1，w2= L（

r2，…r）V1，

2，r1，…

n）V

， 2分

所以，存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。 1分

高等代数（下）答案 (5)

一 1 , A1=EnO(1)nEnE，2, 26n 3 ,大于零 4, n 5,解，属于的 n二 1 ,B 2, A 3, D 4 , B 5, A

三（15分）解矩阵方程 XA=B+2X，其中

A=510231 B=342160102 解： X（A-2E）=B 2分

X=B（A-2E）1 3分

X=B（A-2E）1 =11123221 10分

四（15分）把二此型

f( x2221,x2,x3)= x1+2 x2+4x3+2 x1x2+4x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

1102100解：A1202E =

021040 014011210 6分 00010001011

 0010000 5分 1021120012f (x221,x2,x3)=w1+w2 2分

y2y x1x1yy22y3 2分

23

x32y3五（15分）

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 1=（2，0，1，2） 2=（-1，1，0，3）

3=（0，2，1，8）

4=（5，-1，2，1）

2101解：10230521 3分 12811221 3分 0000 2分

1210100121 01000121030062 所以

i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基为 1 ，2维数为2 2分

六 (10分) 求矩阵

103 A=410 的特征值与特征向量 4823解：

100=（2）（1-3）（1+3）=0 5分

44182

矩阵的特征值1=2， 2=1+3，3=1-3， 3分

解方程组得特征向量为

TTT (-2, 1, 0 )， (3，-1,2-3 )， (3，-1,2+3 )。 5分

TTTA的征向量为 k (-2, 1, 0 )+k (3，-1,2-3 )+k (3，-1,2+3 ) 2分

七证明题（15分）

1设A为 n 阶反对称矩阵，（即A= -A），E-A，E+A 皆可逆，

证明：

TE-AEA=(E-A)TEA

EAEA= EA2 2分

0

所以，E-A，E+A 皆可逆， 3分

2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。

证明：因为，A，B都是n元正定矩阵

所以，XAX0，XBX0 2分 X （A+B）X= XAX+XBX 0， 2分

A+B也是正定矩阵。 1分

3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W，

使得V=UW。

解：设1,2...s为U的一组基，它可扩展成V的一组基

1,2...s，S1,...n 令W1=L（S1,...n），W2=L（1+S1,...1n）

V=UW1 V=UW2 2分

存在不止一个V的子空间W，使得V=UW。

高等代数（下）答案 (6)

一 1 AE 2, 2 3 , 3，2 4, n 5,0和1 二 1 ,C 2, D 3, B 4 ,A 5, D

三设A*是A的伴随矩阵，X满足 A*X= A1+2X，求矩阵X，其中

A=1111 11111101解：A1= 12110 011101 A*=12110 011 X = A

1（A*-2E）

1 X=

11014101 101 

四（15分）

把二次型

f (x1,x2,x3)= 2x1x2+2 x1,x3-6x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f (x1,x2,x3)的矩阵

011103212031 A=130230 100100 010110010001

200201200

0220020006111111 0120110001001

4 分 3 分

3分

5分 5分 6分 37

f (x1,x2,x3)=2w1-2w2-6w3 2分

222x1 x2x3w1w1w2w2w3 2分

五（10分）

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

1(2,1,3,1)，2(1,2,0,1)

3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)

2111111 解： 12210002031 303103111110200100 0000031 010201，3，4是L(1，2,3，4)的一组基

维数为3

六 (15分) 求矩阵

A=312222111的特征值与特征向量 122解：311=（3）3=0 221

矩阵的特征值与特征向量 1=2=1,3=-3 2x12x22x30解方程组 ,3x12x2x30 2x12x22x30A 的特征向量为k (1, -2, 1 )

七证明题（15分）

4分 3分

3分

2分

3分

2分

1设A为 n 阶反对称矩阵，（即AT= -A），E-A，E+A 皆可逆，

证明：

E-AEA=(E-A)TEA

EAEA= EA2 2分

0

所以，E-A，E+A 皆可逆， 3分

2如果A1…Am是n 阶正定矩阵，k1…km 是正数，证明：k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。

证明：A1…Am是n 阶正定矩阵，

所以X/A1X0…… XAmX0 X/(k1 A1+ …+ km Am)X0 所以，k1 A1+ …+ km Am也是正定矩阵。 3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

证明：设V为n维向量空间，而1，2，…n为它的一组基，则L（i）都是V的一维子空间，且 L（1）+ L（2）+…L（n）= L（1，2，…n）=V 而1，2，…n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一故以上的和为直和

所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

2分 2分 1分

2分

2分 1分 39

高等代数（下）答案 (7)

一 1，1 2 , 2 2 3 2 4,-2t2 5，1=1-（n-1）a, 2=…=n=1-a

二 1 A，2，C 3 A 4, D 5, A 三（15分）

1a1A=2aa1 求A1` ............an...an1...an2...1解： A = 1 1a1A*==a1 ...............a1A1`=

1A A* 1a1 =a1 ...............a1

四（15分）把二此型

f( x221,x2,x3)= x1-3 x2-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f (x1,x2,x3)的矩阵

111133101022 A=130120 100110010010001001

3分

6分 4分 2分 5分 40

100020 003110 6分 011001 f (x)=w2221,x2,x31+2w2-3w3 2分

xw1w2 1xw22w3 2分

x3w3

五（15分）

求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数

1(2,5,1,5)，2(1,2,2,3)

1(1,2,1,2)，2(3,1,1,1) ,3(1,01,1)

解：=x11+x22= -y11-y22-y33 4分

解方组组的秩为4 6分所以dim(W1 W2)=1， 2分（53，119，-19，-134）是W1 W2的一组基。 3分

六 (10分) 求矩阵

210 A=121 的特征值与特征向量

012210解：

121=（2）（2-2）（2+2）=0 012

矩阵的特征值1=2， 2=2+2，3=2-2，解方程组得特征向量为

1=（1，0，-1），2=（1，-2，1）3=（1，2，1） A的特征向量为k11+k22+k33

5分

3分

5分

2分

七证明题（15分）

3 设A,B为n阶矩阵，A2=B2=1 且A+B=0，证明（A+B）不可逆。证明：AB= AEEB=ABBAAB=ABAB 2分（ A+B）2=0 所以AB=-1，AB= -AB 2分

所以（A+B）=0，（A+B）不可逆。 1分

2 设A为m n阶实矩阵， B=E+ A/A , 证明：当0时，B为正定矩阵证明： XBX=X（E+ A/A）X 1分 XEX 0 X AAX 0 2分 XBX=X（E+ AA）X0

所以，当0时，B为正定矩阵 2分

4 A为n阶实反对称矩阵，即A= - A，证明：若0是矩阵A的特征根，则-0也是矩阵A的特征根证明：

///EA =(EA)/ 2分

=EA=（-1）nEA 2分若0是矩阵A的特征根，则-0也是矩阵A的特征根 1分

高等代数（下）答案 (8)

一 1 1, 2 12, 3 2和1 4, 5，解，属于0。二 1 D，2，A 3，D 4，B5，C

三（15分）解矩阵方程

XA=B+2X，其中

510340 A=231 B=012216解： X（A-2E）=B X=B（A-2E）1 X=B（A-2E）1 =111222

四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+4x1x3-62x3 通过非退化线性替换化成平方和。

1022103解A=2230 100 010001

100010424 00 1126 11402011126P=1142， X=PY ，001

13 2分

3分

10分

3分 6分 3分

f( x1,x2,x3)=y1-

五（15分）

2122 3分 y2+24y34求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数 1(3,1,2,1)，2(0,1,0,2)

1(1,0,1,3)，2(2,3,1,6)

解：=x11+x22= -y11-y22 解方组组的秩为3 所以dim(W1 W2)=1， 1+2=122 W1 W2， 1+2是W1 W2的一组基。

六 (10分) 求矩阵

A=4131000 的特征值与特征向量 3614100解：130=（1）2(2)=0 361

矩阵的特征值与特征向量 1=2=1,3=-2 5x110x202x110x解方程组20x ,12x20 x15x20 3x16x203x16x23x30得A的征向量为 kTT1 (-2, 1, 0 )+k2(0, 0, 1 )

七证明题（15分）

1 设A为 n 阶矩阵，A0，且Am=0，B为 n 阶可逆矩阵，证明当 AX=XB时，必有 B=0 证明： AX=XB

AmX=XBm=0

4分 4分 2分 3分 2分 3分

2分

3分

2分

3分

B可逆，所以必有 X=0 2分 3 设A是实对称矩阵，证明：当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。证明：A是实对称矩阵，t E +A是实对称矩阵，

令f1(t), f2(t),…fn(t),为t E +A的顺序主子式， 2分它们都是首项系数为1的多项式

当t 充分大后，f1(t), f2(t),…fn(t)0 2分

所以，当t 充分大后，t E +A是正定矩阵。 1分

....3证明：如果V=V1V2，V1=V11V12，则V= V11V12 V2. 证明：显然有V= V11V12 +V2. 设 

11

+2=0

. 因为（ 11 12

）+2=0 ，V=V1V2 所以 

11

12=0

，2=0

.有因为，V1=V11V12，所以

11=

 12=0

.. 从而，V= V11V12 V2.

2分 3分 45

高等代数（下）答案 (9)

一 1 a , 2 2, 3 -24t0 4, 1 5，0和1 5二 1 D，2，A 3，B 4，C 5，C 三（15分）

212 已知A=212 ,求A1 及(A*)1

221解：（AE）122100212010 221001210 120036210 009221

A1=11229212， 221A=27 (A*)1=11122A =

2721212 2

四（15分）

把二此型

f( x1,x2222,x3)= x1+2 x2+4x3+2 x1x2+4x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

11002解：A12104E =

02201040 0120 01010010110001f (x221,x2,x3)=w1+w2 y1y22y x1xy2y3x2323

五（15分）

210019921010900129299 2分 5分 100100  012102 012001 2分

2分

2929 4分19 46

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 1=（2，0，1，2） 2=（-1，1，0，3）

3=（0，2，1，8） 4=（5，-1，2，1）

五（15分）

在 P4中，求由向量i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 1=（2，0，1，2） 2=（-1，1，0，3）

3=（0，2，1，8） 4=（5，-1，2，1）

20解：102511121 3分 2038110011221012 5分 03612100112020001 3分 0000 所以 i（I=1,2,3,4）生成的子空间的基为 1 ，2 2分

维数为2 2分

六 (10分) 求矩阵

A=103410 的特征值与特征向量 482310解：

410=（2）（1-3）（1+3）=0 5分

482

矩阵的特征值1=2， 2=1+3，3=1-3， 3分解方程组得特征向量为

(-2, 1, 0 )T， (3，-1,2-3 )T， (3，-1,2+3 )T。 5分

A的征向量为 k (-2, 1, 0 )T+k (3，-1,2-3 )T+k (3，-1,2+3 )T 2分

七证明题（15分）

1 A,B为n 阶方阵，ABA=B1,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.

1设A,B为n阶矩阵，且ABA=B1 ，证明秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 证明：因为ABA=B1，所以ABAB=E

（E-AB）（E+AB）=0

秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 2分

秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩（(E-AB+ E+AB)=n 2分

所以,秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n 1分 2 证明：若A为正定阶矩阵，则A

1也为正定阶矩阵。

证明：A可逆，存在可逆矩阵C使得

A = CTC 2分 A

1= C

1（CT）

1= （（C

1）T）T（CT）

1 2分

所以，A1也是正定矩阵。 1分

3 设 V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。证明：设V的一组基为1，2，…n

L（1，2，…n）=V

则L（i）都是V的一维子空间， 2分 V= V1+V2 W1 = L（1，2，…r）V1，

w2= L（r，r1，…

n）V

2， 2分

所以，存在V的非平凡子空间WiVi，I=1,2,使得V= W1W2。 1分

高等代数（下）答案 (10)

O一 1 , A=11nA1，2, (1) 3 ,n 4, n 5, nBO26二 1 ,B 2, A 3, D 4 , D 5, A

三（15分）

212130X=71121 求X 4223100解：（AE）110010 1210011  10010043120 011101100313 010323 001324 A1=313323，

324 X= A171=014 3

四（15分）把二此型

f( x1,x2,x3)=x1x2+ x1x3+x2x3

通过非退化线性替换化成平方和。

解：令x1y1y2x1y1y2 x3y3 f( x（y2221,x2,x3)= 1y3）-y2-y3 f( x2221,x2,x3)= z1-z2-z3 非退化线性替换为

2分 4分

4分

3分

4分

4分 49

 x1z1z2z3x1z1z2z3 4分

x3z3

五（15分）

求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数 1）1(1,2,1,0)，2(1,1,1,1) 2）1(2,1,0,1))，2(1,1,3,7)

解：=x11+x22= -y11-y22 解方组组的秩为3 所以dim(W1 W2)=1，（5，-2，-3，-4）是W1 W2的一组基

1+2=122 W1 W2， 1+2是W1 W2的一组基。

六（15分）求矩阵

51 A=1602 的特征值与特征向量 311511解：62=（2）3=0 6分 311

矩阵的特征值与特征向量 1=2=3=2 3分

3x1x2x3解方程组06x12x22x30 3分

3x1x2x30A 的特征向量为k1 (1, 3, 0 ) + k2(0, 1, 1 )

七证明题（15分）

4分 4分 4分 3分 3分 2分

1设A为n阶矩阵，A3=2E, 证明B=A2-2A+2E 可逆，并求 B1 证明：B=A（A+2E）（A-E）

A1 = A22 2分

A3-E=E，（A - E）1 = A2+A+E A3+8E=10E，（A+2E）1 =

110 （A2-2A+4E） 2分 B1=1A22210 （A+A+E）（A-2A+4E）2 1分

3 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。

证明：因为，A，B都是n元正定矩阵

所以，XAX0，XBX0 2分 X （A+B）X= XAX+XBX 0， 2分

A+B也是正定矩阵。 1分

3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W，使得V=UW。

解：设1,2...s为U的一组基，它可扩展成V的一组基

1,2...s，S1,...n 2分令W1=L（S1,...n），W2=L（1+S1,...1n）

V=UW1 V=UW2 2分

存在不止一个V的子空间W，使得V=UW。 1分

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