理 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足2z+𝑧=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( ) A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
2.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,+∞)
D.(0,+∞)
3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5), [27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56
B.60
C.120
D.140
𝑥+𝑦≤2,
4.若变量x,y满足 2𝑥-3𝑦≤9,则x2+y2的最大值是( )
𝑥≥0,A.4
B.9
C.10
D.12
5.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.+π
1233
B.+π
1 233
C.+π
1 236
D.1+π
6
26.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.2
π
B.π
C.2 3π
13
D.2π
8.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos B.-4 C.4 9 D.-4 1 9 9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>2时, f 𝑥+ 11 =f 𝑥- .则22 f(6)=( ) B.-1 C.0 D.2 A.-2 10.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x) 具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 第Ⅱ卷(共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 . 12.若 𝑎𝑥 2 15 +𝑥 的展开式中x5的系数是-80,则实数 𝑥2𝑦2 E:2-2=1(a>0,b>0).若矩形𝑎𝑏 a= . 13.已知双曲线ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的 两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 14.在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 . |𝑥|,𝑥≤𝑚,15.已知函数f(x)= 2其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b 𝑥-2mx+4m,𝑥>𝑚,有三个不同的根,则m的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=cos𝐵+cos𝐴. (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求cos C的最小值. tan𝐴tan𝐵 17.(本小题满分12分) 在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线. (Ⅰ)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC; (Ⅱ)已知EF=FB=AC=2 3,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值. 2 1 18.(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)令 (𝑎𝑛+1)𝑛+1 cn=(𝑏+2)𝑛,求数列{cn}的前 𝑛 n项和Tn. 19.(本小题满分12分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率; (Ⅱ)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX. 20.(本小题满分13分) 已知f(x)=a(x-ln x)+ 2𝑥-1 ,a∈R. 𝑥23 4 23 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当a=1时,证明f(x)>f '(x)+对于任意的x∈[1,2]成立. 32 21.(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy中,椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的离心率是2,抛物线E:x2=2y的焦点F是C 𝑏𝑥2𝑦2 3的一个顶点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. (i)求证:点M在定直线上; (ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2.求𝑆1的最大值及取得最 2 𝑆 大值时点P的坐标. 2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 一、选择题 1.B 设z=a+bi(a、b∈R),则2z+𝑧=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B. 2.C ∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).故选C. 3.D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D. 4.C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示, x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C. 5.C 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R= 2,则R=2,所以半球的体积为 2 2πR3=6π,又正四棱锥的体积为3×12×1=3,所以该几何体的体积为3+6π.故选C. 3 易错警示 没有从俯视图中正确得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=造成21 2111 2错解.或解题粗心,误认为半径R=1造成错解. 6.A 若直线a和直线b相交,则直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α、β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交,平行或异面.故选A. 解题思路 根据两平面相交的定义证明充分性. 7.B ∵f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)=4sin 𝑥+6 ·cos 𝑥+6 =2sin 2𝑥+3 ,∴T=2=π,故选B. 8.B 因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-cos 9.D 当x>时,由f 𝑥+ =f 𝑥- 可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), 222f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D. 易错警示 将函数的(局部)对称性与周期性混淆,或者忽略限制的范围,直接代入解析式求f(6)导致错误. 10.A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f '(x1)·f '(x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f '(x)=cos x,则f '(0)·f '(π)=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)=ln x的导函数为f '(x)=,则f '(x1)·f '(x2)= 𝑥1 1 1 1 1 𝑚·𝑛 4𝑚·𝑛 4 1 𝑛2𝑡 πππ2π ,又4|m|=3|n|,所以 𝑥1𝑥2 >0,故函数y=ln x不具有T性 质;y=f(x)=ex的导函数为f '(x)=ex,则f '(x1)·f '(x2)=e𝑥1+𝑥2>0,故函数y=ex不具有T性 22 质;y=f(x)=x3的导函数为f '(x)=3x2,则f '(x1)·f '(x2)=9𝑥1𝑥2≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选 A. 疑难突破 函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键. 二、填空题 11.答案 3 解析 a=1,b=8,i=2;a=3,b=6,i=3;a=6,b=3,a>b,所以输出i=3. 12.答案 -2 解析 𝑟10-2r Tr+1=a5-rC5𝑥,令 5 2 10-2r=5,解之得r=2,所以a3C5=-80,a=-2. 5 13.答案 2 解析 由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 𝑎 2𝑏2 因为2|AB|=3|BC|, 所以=6c, 𝑎4𝑏2 又b2=c2-a2, 所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-2(舍去). 14.答案 4 解析 直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为P= 33- - 44 1 3 |5𝑘-0| 1+𝑘<3,解之得-4 =. 4 3 思路分析 直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,从而求得k的范围,再利用几何概型的概率公式来求解概率. 15.答案 (3,+∞) 解析 f(x)的大致图象如图所示, 若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2 方法总结 本题考查分段函数问题、方程根的个数与函数图象的关系,主要采用数形结合的思想方法来解决. 三、解答题 16.解析 (Ⅰ)由题意知2 cos𝐴+cos𝐵 =cos𝐴cos𝐵+cos𝐴cos𝐵, 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. sin𝐴 sin𝐵 sin𝐴 sin𝐵 因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (Ⅱ)由(Ⅰ)知c=所以cos C= 3 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏2 , 𝑎+𝑏2 22 𝑎2+𝑏2-𝑐2𝑎+𝑏- 2 2𝑎𝑏2𝑎𝑏 = = + -≥, 8𝑏𝑎42 当且仅当a=b时,等号成立. 故cos C的最小值为2. 疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系. 17.解析 (Ⅰ)证明:设FC中点为I,连结GI,HI. 1 11 在△CEF中,因为点G是CE的中点,所以GI∥EF. 又EF∥OB,所以GI∥OB. 在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC. 又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC. (Ⅱ)解法一:连结OO',则OO'⊥平面ABC. 又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题意得B(0,2 3,0),C(-2 3,0,0), =(-2 3,-2 3,0), 所以𝐵𝐶 过点F作FM垂直OB于点M. 所以FM= 𝐹𝐵2-B𝑀2=3,可得F(0, 3,3). =(0,- 3,3). 故 𝐵𝐹 设m=(x,y,z)是平面BCF的法向量. =0,𝑚·BC由 =0,𝑚·BF -2 3x-2 3y=0,可得 - 3y+3z=0. 可得平面BCF的一个法向量m= -1,1, . 3因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1), 所以cos 𝑚·𝑛 3|𝑚|·|𝑛| =. 7 7所以二面角F-BC-A的余弦值为. 7 7解法二:连结OO'.过点F作FM垂直OB于点M. 则有FM∥OO'. 又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC. 可得FM= 𝐹𝐵2-B𝑀2=3. 过点M作MN垂直BC于点N,连结FN. 可得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角. 又AB=BC,AC是圆O的直径, 所以MN=BMsin 45°=2. 从而FN= 422 6, 7可得cos∠FNM=7. 所以二面角F-BC-A的余弦值为. 7 7解后反思 本题考查了线面平行、垂直的位置关系;考查了二面角的求解方法;考查了空间想象能力和逻辑推理能力.正确找到二面角的平面角或正确计算平面的法向量是求解的关键. 18.解析 (Ⅰ)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列{bn}的公差为d. 𝑎=𝑏1+𝑏2,11=2𝑏1+d,由 1即 𝑎2=𝑏2+𝑏3,17=2𝑏1+3d,可解得b1=4,d=3. 所以bn=3n+1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知cn= (6𝑛+6)𝑛+1(3𝑛+3)𝑛=3(n+1)·2n+1. 又Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2], 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3× 4+ 4(1-2𝑛)1-2 -(n+1)×2𝑛+2 =-3n·2n+2. 所以Tn=3n·2n+2. 方法总结 若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前n项和可以采用错位相减法求解,注意相减后的项数容易出错. 19.解析 (Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意,E=ABCD+𝐴BCD+A𝐵CD+AB𝐶D+ABC𝐷, 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(𝐴BCD)+P(A𝐵CD)+P(AB𝐶D)+P(ABC𝐷) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P(𝐴)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(𝐵)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(𝐶)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(𝐷) =4×3×4×3+2× 4×3×4×3+4×3×4×3 =. 32 3232 1 2 3 2 3 1 3 2 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为3. (Ⅱ)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=4×3×4×3=144, P(X=1)=2× 4×3×4×3+4×3×4×3 =144=72, P(X=2)=4×3×4×3+4×3×4×3+4×3×4×3+4×3×4×3=144, P(X=3)=×××+×××= 3 2 3 1 32111132 12 4343434314412 3 2 3131311212311212 25 3 1 1 1 1 2 1 1 10 5 1111 1 2 =, 1 2 60 5 1 P(X=4)=2× ×××+××× ==, 4343434314412P(X=6)=4×3×4×3=144=4. 可得随机变量X的分布列为 3232 36 1 X P 0 11 52 253 14 56 1414472 14412 12 所以数学期望EX=0×144+1×72+2×144+3×12+4×12+6×4=6. 20.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=a--2+3=𝑥𝑥 𝑥 𝑎2 2 (𝑎𝑥2-2)(x-1) 𝑥3 1 5 25 1 5 123 . 当a≤0时,x∈(0,1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增, x∈(1,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减. 当a>0时, f '(x)= 2𝑎(𝑥-1)𝑥3 𝑥- 𝑎 𝑥+ 𝑎 . 22 (1)0 𝑎 当x∈(0,1)或x∈ 𝑎,+∞ 时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈ 1, 𝑎 时, f '(x)<0, f(x)单调递减. (2)a=2时, =1,在x∈(0,+∞)内,f '(x)≥0, f(x)单调递增. 𝑎2 22 (3)a>2时,0< 𝑎<1, 当x∈ 0, 𝑎 或x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈ 𝑎,1 时, f '(x)<0, f(x)单调递减. 综上所述, 当a≤0时, f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减; 当0 𝑎 𝑎 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a=1时, f(x)-f '(x)=x-ln x+𝑥2- 1-𝑥-𝑥2+𝑥3 =x-ln x+𝑥+𝑥2-𝑥3-1,x∈[1,2]. 设g(x)=x-ln x,h(x)=𝑥+𝑥2-𝑥3-1,x∈[1,2]. 3 12 3 12 2𝑥-1 1 2 2 则f(x)-f '(x)=g(x)+h(x). 由g'(x)=𝑥≥0,可得g(x)≥g(1)=1. 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)= -3𝑥2-2x+6 𝑥4 𝑥-1 . 设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]内单调递减. 因为φ(1)=1,φ(2)=-10, 所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=, 2 2 1 1 当且仅当x=2时取得等号. 所以f(x)-f '(x)>g(1)+h(2)=, 23 即f(x)>f '(x)+对于任意的x∈[1,2]成立. 2 3 易错警示 讨论f '(x)的符号时,未能正确分解因式,或对参数a未讨论或对a分类讨论不全面(尤其易忽略a=0的情形),都是容易出错的地方. 21.解析 (Ⅰ)由题意知 𝑎2-𝑏2 3 𝑎 =2,可得a2=4b2. 1 因为抛物线E的焦点F的坐标为 0,2 , 所以b=2,所以a=1. 1 所以椭圆C的方程为x2+4y2=1. (Ⅱ)(i)设P 𝑚,2 (m>0). 由x2=2y,可得y'=x, 所以直线l的斜率为m. 𝑚2 因此直线l方程为y-=m(x-m), 2 𝑚2 即y=mx-2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 𝑥2+4𝑦2=1, 联立 𝑚2 𝑦=𝑚𝑥-2 𝑚2 得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0. 由Δ>0,得0 , 2𝑚3 4𝑚2+1 . 𝑚2 -𝑚2 将其代入y=mx-2,得y0=2(4𝑚2+1). 因为𝑥0=-4𝑚, 0 𝑦1 所以直线OD方程为y=-4𝑚x. 1 联立 𝑦=-4𝑚x,得点M的纵坐标yM=-4, 𝑥=𝑚 1 1 所以点M在定直线y=-4上. (ii)由(i)知直线l方程为y=mx-. 2𝑚2 1 令x=0,得y=-,所以G 0,- .又P 𝑚, ,F 0, ,D 2, , 22224𝑚+12(4𝑚2+1)所以S1=2·|GF|·m= 12 2 1 (𝑚2+1)m 4 𝑚2𝑚2𝑚2 1 2𝑚3-𝑚2 , =. S2=·|PM|·|m-x0|=×所以𝑆1= 2 12𝑚2+12𝑚3+m𝑚(2𝑚2+1)2 4 ×4𝑚2+18(4𝑚2+1) 𝑆 2(4𝑚2+1)(𝑚2+1) (2𝑚2+1)2 . 设t=2m2+1. 则𝑆=2 𝑆1(2𝑡-1)(𝑡+1)2𝑡2+t-1 𝑡2 = 𝑡2𝑆 =-𝑡2+𝑡+2, 9 11 当𝑡=2,即t=2时,𝑆1取到最大值4, 2 11 此时m=2,满足(*)式, 2所以P点坐标为 2,4 . 因此𝑆1的最大值为4,此时点P的坐标为 2,4 . 2 21 𝑆9 21 疑难突破 以点P的横坐标为参变量表示出点D的坐标,进而得出直线OD的方程,结合直线MP的方程,消参可得到点M的纵坐标.合理计算三角形的面积并利用函数思想是解决(Ⅱ)(ii)的关键. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容