高三数学一轮复习常用逻辑知识教案

1．命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 课标要 ② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； 2．简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解\"或\"、\"且\"、\"非\"逻辑联结词的含义。 求 3．全称量词与存在量词 ① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 命题走 本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。 预测2017年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以选择、填空题为主，考察的向 重点是条件和复合命题真值的判断。 教学多媒体 准备 要点精讲: 1．命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 教学过逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q； 程 非p。 2．复合命题的真值 “非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 真 假 非p 假 真 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q 真 真 真 假 注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 3．四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 4．条件 一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。 可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而qp；(2)必要不充分条件，即pq,而qp；(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pq且qp。 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。 5．全称命题与特称命题 这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 典例解析： 1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( ) 11A．若＝，则x＝y xyB．若x＝1，则x＝1 D．若xb”是“a>b”的充分条件； ②“|a|>|b|”是“a>b”的必要条件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件． 解析：①由2>－3⇒/ 2>(－3)知，该命题为假；②由a>b⇒|a|>|b|⇒|a|>|b|知，该2222222222 命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题． 答案：②③ 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条 件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分 (必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分 不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是 “q⇒p”． 2．从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而， 当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命 题的真假，这就是常说的“正难则反”． 四种命题的关系及真假判断 典题导入 下列命题中正确的是( ) ①“若x＋y≠0，则x，y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m>0，则x＋x－m＝0有实根”的逆否命题； 1④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题． 2A．①②③④ C．②③④ 22222 B．①③④ D．①④ ①中否命题为“若x＋y＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确． B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 以题试法 1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价． 解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆 学生对四种命题，逻辑联接词和全称命题、特称命题总体掌握情况还好，命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为但对充奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”分是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④ 充分必要条件的判定 典题导入 (1)(2012·福州质检)“x<2”是“x－2x<0”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2条件、必要条件，特别是判断还存在一定困难。后期需要加(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 2 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22强。 (1)取x＝0，则x－2x＝0，故由x<2不能推出x－2x<0；由x－2x<0得00 C a≤1， 法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C. 由题悟法 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是： (1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/ p； (2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/ q，且q⇒p； (3)若p是q的充要条件，则p⇔q. 以题试法 23．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件， 则实数a的取值范围是( ) A．(3，＋∞) 1C.－∞，－ 2 1B.－∞，－∪[3，＋∞) 2 B．p∨q是假命题 D．綈q是真命题 31D.－∞，－∪(3，＋∞) 212解析：选D 由2x－5x－3≥0得x≤－或x≥3. 2∵x∈{3， a}是不等式2x－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3， 1∴a≤－或a>3. 21．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则( ) A．p∧q是真命题 C．綈p是真命题 答案：D 2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是( ) 1A．∃x0∈R，x0＋＝2 2x0 B．∃x0∈R，sin x0＝－1 D．∀x∈R,2>0 xC．∀x∈R，x>0 答案：C 2 3．(2012·湖南高考)命题“∃x0∈∁RQ，x0∈Q”的否定是( ) A．∃x0∉∁RQ，x0∈Q C．∀x∉∁RQ，x∈Q 33 B．∃x0∈∁RQ，x0∉Q 33D．∀x∈∁RQ，x∉Q 3解析：选D 其否定为∀x∈∁RQ，x∉Q. 4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________. 答案：所有的三角形都不是等边三角形 5．命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 20解析：∃x0∈R,2x0－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a－72≤0，解得－22≤a≤22. 答案： 1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的 “并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的 意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 2．正确区别命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分 别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且 只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 含有逻辑联结词命题的真假判定 典题导入 222 (2012·齐齐哈尔质检)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x－3x＋2<0的解集是{x|13，B不正确；对于C，易知3≠0，因此C正确；对于D，注意到lg 1＝0，因此D正确． B 由题悟法 1．全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即xxxx2 可，否则这一特称命题就是假命题． 以题试法 2．(2012·湖南十二校联考)下列命题中的真命题是( ) 3A．∃x0∈R，使得sin x0cos x0＝ B．∃x0∈(－∞，0)，2x0>1 5C．∀x∈R，x≥x－1 D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x 36解析：选C 由sin xcos x＝，得sin 2x＝>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的552 由题悟法 1232图象，可知B，D错误；因为x－x＋1＝x－＋>0恒成立，所以C正确． 24 全称命题与特称命题的否定 典题导入 (2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A．所有能被2整除的整数都是奇数 B．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C．存在一个能被2整除的整数是奇数 D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D. 若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________． 答案：所有能被2整除的整数都不是奇数 1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提． 2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假 相反． 4．常见词语的否定形式有： 原语句 否定形式 是 不是 都是 > 不都是 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 对任意x∈A使p(x)真 存在x0∈A使 ≤ p(x0)假 以题试法 3．(2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 解析：选C 命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f( x1))(x2－x1)<0”． 需要用具体例子说明至少、至多的含义。 常用逻辑知识 1．命题及其关系 两个互为逆否命题的真假是相同的， 例1 板书设计 即两个互为逆否命题是等价命题. 例2 若判断一个命题的真假较困难时， 例3 可转化为判断其逆否命题的真假。 例4 2．简单的逻辑联结词 \"或\"、\"且\"、\"非\" 3．全称量词与存在量词 全称命题的否定是特称命题， 特称命题的否定是全称命题。 学生对逻辑知识本身掌握情况较好，但涉及与其他知识结合的题目时，学生往往出现困难，困难教学反思 的原因是学生对其他相关知识遗忘的较多。因此，复习本部分知识前，适当复习回顾有关知识是必要的。