实验二--连续时间信号的频域分析

实验二 连续时间信号的频域分析

专业班级 通信1601 姓名 宁硕 学号 20 评分：

实验日期 ： 2017 年 12 月 13 日 指导教师: 张鏖峰

一、 实验目的

1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；

2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；

3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义；

4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质；

5、学习掌握利用MATLAB语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。

基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用MATLAB编程完成相关的傅里叶变换的计算。

以看得很清楚。

二、实验原理及方法

任何一个周期为T1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。

其中三角傅里叶级数为：

2.1

或：

2.2

指数形式的傅里叶级数为：

2.3

其中，

为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：

2.4

傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下：

2.5

2.6

连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，

任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号ejt的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号ejt称为频率分量（frequency component），其相对幅度为对应频率的|X(j)|之值，其相位为对应频率的X(j)的相位

三、实验内容和要求

Q2-1 编写程序Q2_1，绘制下面的信号的波形图：

其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(0t)、cos(30t)、cos(50t) 和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。

抄写程序Q2_1如下：

clear,%Clear all variables

close all,%Close all figure windows

dt = 0.00001; %Specify the step of time variable

t = -2:dt:4; %Specify the interval of time

w0=0.5*pi;

x1=cos(w0.*t);

x2=cos(3*w0.*t);

x3=cos(5*w0.*t);

N=input('Type in the number of the harmonic components N=');

x=0;

for q=1:N;

x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q;

end

subplot(221)

plot(t,x1)%Plot x1

axis([-2 4 -2 2]);

grid on,

title('signal cos(w0.*t)')

subplot(222)

plot(t,x2)%Plot x2

axis([-2 4 -2 2]);

grid on,

title('signal cos(3*w0.*t))')

subplot(223)

plot(t,x3)%Plot x3

axis([-2 4 -2 2])

grid on,

title('signal cos(5*w0.*t))')

执行程序Q2_1所得到的图形如下：

Q2-2 给程序Program2_1增加适当的语句，并以Q2_2存盘，使之能够计算例题2-1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。

通过增加适当的语句修改Program2_1而成的程序Q2_2抄写如下：

% Program2_1

clear, close all

T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;

x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0;

for m = -1:1 % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal

x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);

end

w0 = 2*pi/T;

N = 10; % The number of the harmonic components

L = 2*N+1;

for k = -N: N; % Evaluate the Fourier series coefficients ak

ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

phi = angle(ak); % Evaluate the phase of ak

subplot(211)'

k = -10:10;

stem (k,abs(ak),'k');

axis([-10,10,0,0.6]);

grid on;

title('fudupu');

subplot(212);

k = -10:10

stem(k,angle(ak),'k');

axis([-10,10,-2,2]);

grid on;

titie('xiangweipu');

xlabel('Frequency index x');

执行程序Q2_2得到的图形

Q2-3 反复执行程序Program2_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所得到

的周期方波信号。

通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：

% Program2_3

% This program is used to compute the Fourier series coefficients ak of a periodic square wave

clear,close all

T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;

x1 = u(t)-u(t-1-dt); x = 0;

for m = -1:1

x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); % Periodically extend x1(t) to form a periodic signal

end

w0 = 2*pi/T;

N = input('Type in the number of the harmonic components N = :');

L = 2*N+1;

for k = -N:1:N;

ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

phi = angle(ak);

y=0;

for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier series

y = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);

end;

subplot(221),

plot(t,x), title('The original signal x(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]),

subplot(223),

plot(t,y), title('The synthesis signal y(t)'), axis([-2,2,-0.2,1.2]), xlabel('Time t'),

subplot(222)

k=-N:N; stem(k,abs(ak),'k.'), title('The amplitude |ak| of x(t)'), axis([-N,N,-0.1,0.6])

subplot(224)

stem(k,phi,'r.'), title('The phase phi(k) of x(t)'), axis([-N,N,-2,2]), xlabel('Index k')

N=1

N=2

通过观察我们了解到：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲（Overshot），这种现象被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon）。即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。

1、周期信号的傅里叶级数与GIBBS现象

给定如下两个周期信号：

Q2-4 分别手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶级数的系数。

信号x1(t) 在其主周期内的数学表达式为：

x1(t)=t*(u(t+1)-u(t))-t*(u(t)-u(t-1));

计算x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：

通过计算得到的x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是：

信号x2(t) 在其主周期内的数学表达式为：

计算x2(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：

：

通过计算得到的x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是：

四、实验心得与体会

“信号与系统”课程不仅是信息类专业的重要课程，也是工科很多其他专业要求学习

和了解的。由于其理论和实践性都很强，因此就要求我们不仅要学好理论基础课，还要求我们有一定的实践能力。作为一名大二本科生，理论性的学习当然大部分可以从书本中获取，亦可借助于发达的网络。但是，理论毕竟与实践还有一定的差距，理论中的很多分析方法和现象往往具有很强的抽象性。这时，实验就为我们提供了一个平台。通过实验，我更增进了对一些理论知识的认识，同时，也认识到理论在实践中的重要价值。

通过这个实验我掌握了连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；

通过在实验中观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，能了解其特点以及产生的原因学习到并掌握利用MATLAB语言编写计算CTFS、CTFT和DTFT的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT、DTFT的若干重要性质。