马科维茨投资组合理论

马科维茨(Harry M.Markowitz,）1990 年因其在 1952 年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝 尔经济学奖。

主要贡献：发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance methodology.

主要思想：Markowitz 把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险 （因此 Markowitz 理论又称为均值－方差分析）；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定 的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行 投资决策。 基本假设： H1. 的投资。

H2. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。

Ep  对一个投资组合的预期收益率

所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少

 p  对一个投资组合的收益的标准差（不确定性）

H3. 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 H4. 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则：

一,如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取； 二,如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取； 三,如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。 基本概念

1．单一证券的收益和风险：

对于单一证券而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资 收益为：

价格变化＋现金流( 如果有） 持有期开始时的价格 P－＋CF  t Pt1 Pt 1 r 

假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布；将投资收益看成是随机变量。

任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率 p 进行加权。预期收益率等于各个 收益率和对应的概率的乘积之和。

E(r)   piri  p1r1  p2r2  ...  pnrn

i1n

pi 为第 i 个收益率的概率； r1 , r2,..., rn 为可能的收益率。

资产的风险用资产收益率的方差（variance）和标准差（standard deviation）来度量。

风险来源：市场风险（market risk）,利息率风险（interest-rate risk）,购买力风险（purchasing-power risk）, 管理风险（management risk）,信用风险（credit risk）,流动性风险（liquidity risk）,保证金风险（margin risk）,可 赎回风险（callability risk）,可转换风险（convertibility risk）,国内政治风险（domestic political risk）,行业风险 （industry risk）。

2．投资组合：

通常说投资组合由证券构成，一种证券是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。 3．投资组合的收益和风险： (1)投资组合的收益率

构成组合的证券收益率的加权平均数。以投资比例作为权数。

假定投资者 k 第 t 期投资于 n 种证券的权重向量为，t  (1,2,...,n )T ，i 是组合中第 i 种证券的当前 价值在其中所占的比例（即投资在第 i 中资产上的财富的份额，且

1  2  ...  n  1

(2)马科维茨组合收益率集

设 r1 , r2 ,..., rn 为 n 个方差有限的随机变量，它们称为 n 种证券的收益率。下列集合 R1 中的元素称为这 n 种

证券的组合的收益率：

R1  r  1r1  2r2  ...

 nrn | ri  ¡ ,i  1, 2,..., n; (3)资产组合的风险度量

 i1 i1 

n

资产组合的方差包括每个资产的方差和资产间的协方差。证券收益率之间的关系可以用相关系数、决定系 数、或协方差来表示。风险用过收益率的方差或标准差来刻画，如果Vij  Cov[r , rj ] 是 和j 之间的协方差：

i i

r r

Var(r ) Cov(1r1 , r2 ) ... Cov(1r , rn )

Cov(r2 1, r ) Var(r2 ) ... Cov(r2 , rn ) V  ... ... ... ... Cov(rn ,r)Cov(rn , r2 ... 1

)

Var(rn )

11 12 ... 1n

...  21  22 1n

... ... ... ...  n1  n2 ...  nn

i那么投资组合的标准差应该满足下列公式： 2[(  p  En n

i E[ri ]) ]

i12ri     E[(rE[r ])(r  E[r ])] V



niiii, j1jnjj

i1



i, j1 i, i j j

马科维茨考虑的问题是如何确定i ，使得证券组合在期望收益率一定时，风险最小.

我们使用下列矩阵表示：

TTi ,   (1,2 ,...,n ) , e  (1,1,...,1)T E(r ), i  1, 2,..., n,   (1, 2 ,..., n ) , i iV  (Vij )i, j1,2,...,n  (Cov[r , rj ])i, j1,2,...,n

称 为组合，   T  为组合的收益，  (TV)1/2 为组合的风险，这样均值－方差证券组合选择问题 为：

n 2Tmin wVw Vij

i1 i j  T we  1 s.t

T 1 ...    w2  ...  2n   1 1 2

 

n n 

这一问题的解

 称为对应收益  的极小风险组合。

用数学语言来说，这是个二次规划问题，即它是在两个线性等式约束条件下的二次函数的求最小值的问题。

T2 即对于任何 n 维向量 ，它必然有  wVw  0 。

写成二次函数的形式：

投资组合收益率的标准差：一个投资组合收益率的标准差取决于构成它的证券收益的标准差、它们的相关 系数、以及投资比例。

i j ij i j   P     Cov(ri,rj ) i i1 i1 ji1 j1

nn2 n n

投资组合风险的分散化

投资组合收益的标准差与构成组合的证券的收益标准差相联系。投资组合的风险分散功能：构成组合的证 券收益率之间的相关度越小，投资组合的风险越小。

4．无差异曲线：投资组合理论的主要结果直接源于投资者喜欢 EP 、不喜欢 P 的假定，某一个投资者这种 偏好的程度通常由一簇无差异曲线（indifferent curves）表示。（刻画了投资者对收益和风险的偏好特征）。

风险的偏好特征：不畏风险，极端畏惧，风险厌恶，风险喜好。 发现有效投资组合的集合

可行集：任何一种证券可以被 Ep、σp 图形上的一个点所描述。任何一个组合也是如此。取决于理论假设的 限制条件，只有某些组合是可行的。

(1) (2) (3) (4)

N 个证券可以形成无穷多个组合，由 N 种证券中任意 k 种证券所形成的所有预期收益率和方差的组合 的集合就是可行集。

它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边 界上。

任何两个可行组合的结合也将是可行的。 可行集将沿着它的上（有效）边界凸出。

有效组合：

e i

可得的 Ep 和 σp 结合的区域的上边界被称为有效边界或有效前沿（efficient 效边界上的组合构成有效组合集（efficient set）。

有效集：有效集描绘了投资组合的风险与收益的最优配置。

frontier）。Ep 和 σp 的值位于有

(1) 有效集是一条向西北方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；

(2) 有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表

一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用， 所以曲线是向左凸的；

(3) 有效集曲线上不可能有凹陷的地方。

最优投资组合：同时考虑投资者的偏好特征（无差异曲线）和有效集

(1) 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凹的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，最优

投资组合是唯一的。

(2) 对投资者而言，有效集是客观存在的，而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险—收益偏好决定

的。

有效集的推导：所有可能的点（Ep，σp）构成了（Ep，σp）平面上可行区域，对于给定的 Ep ，使组合的 方差越小越好，即求解下列二次规划。

只有两种资产的情况：上述所示在数学上被称为“二次规划模型”，可以直接运用拉格朗日乘数法求解。

  x11  x2 2  2x1x212

2 p

2222

L    xi x j ij  1(   xi Ri )  2 (1  xi )

 x1  x2  1

s.t. 

x1R1  x2R2 

L  0 (i  1,2, L , n); L L

 0;  0

有效边缘线的形状

1、是双曲线的一支，向右上方倾斜的曲线，反映”高风险，高收益”。 2、是一条上凸的曲线。

3、构成组合的证券间的相关系数越小，投资的有效边缘线就越是弯曲得厉害。