拔高专题 抛物线与圆的综合
一、基本模型构建
常见模型 思考 圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。 二、拔高精讲精练
探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题
例1: （2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
1（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线4 .
（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD=5242=3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A（2，0），B（8，0）；
199（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-）， 44499259225∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵
164444225225225MA2+EA2=52+=，ME2=，
161616（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如下： 由勾股定理得：BC=OC2OB2=4282=45，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）；
22②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=BPBD=8032=71，∴P（5，71）；
③当PC=BC=45时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=PC2MC2=8052=55，∴PD=4+55，
∴P（5，4+55）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形， 点P的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）．
.
【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-
1（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x2轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标； （3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．
111725（x2-7x+6）=-（x2-7x）-3=-（x-）2+，∴抛物线的解析式222281725725化为顶点式为：y=-（x-）2+，顶点M的坐标是（，）；
2282811（2）解：∵y=-（x2-7x+6），∴当y=0时，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，
2270），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为
2（1）解：∵y=-R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，
.
最小值为BC=6232=35．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），
16kb＝0171k＝∴，解得2，∴直线BC的解析式为：y=x-3，令x=，得y=×
222b＝3b＝37575-3=-，∴R点坐标为（，-）； 2424177（3）证明：设点P坐标为（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），
222155717∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=
2222225（）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解2得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，
7257725，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）282282257254002=，PN2=（2-）2+22==， 642464252625MN2=（）=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP
648舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（是⊙N的切线．
【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．
探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题
例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，
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0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代
4＝c入得：0＝4a2bc，
0＝64a8bc1a＝4155解得b＝．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；
422c＝4（2）∵y=
1251992-x+x+4=（x+5），∴E（-5，-），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，
424443m＝0＝2mn33334，
直线CE与y轴交于点G，则9，解得：∴y=x+，在y=x+
＝5mn4242n＝342中，令x=0，y=如图
33，∴G（0，）， 22AB，AC，AG，则
BG=OB-OG=4-
1，连接
35=，22 .
CG=OC2OG2=2()=
23225，∴BG=CG，AB=AC， 2AB＝AC在△ABG与△ACG中，BG＝CG，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A与y轴相切
AG＝AG于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切；
（3）存在点F，使△BDF面积最大， 如图2连接BD，BF，DF，设F（t，过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则125t+t+4），424＝d，解得
0＝8kd11k＝．∴直线BD的解析式为y=x+4， 22d＝411151t+4），∴FN=t+4-（t2+t+4）=-t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S22424111OD•FN=×8×（-t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S△BDF最大，△BNF=22415最大值是16，当t=-4时，t2+t+4=-2，∴F（-4，-2）．
42∴点N的坐标为（t，
【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）．
（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；
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（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。
4a2bc＝0解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴64a8bc＝0，
c＝41a＝43解得b＝，
2c＝4∴抛物线的解析式为：y=
123x-x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连42接AC、BC，由勾股定理得：AC=20，BC=80．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）； （2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴8kb＝0，
b＝41113k＝解得，如答图2-1，2， ∴直线BD解析式为：y=-x+4．设M（x，x2-x-4）
242b＝41113x+4）．∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）22421111=-x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE-xD）+ME（xB-xE）=ME（xB-xD）42221=4ME，∴S△BDM=4（-x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM的
4过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-面积有最大值为36；
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31m-4），∵S△OBD=OB22111131•OD==16，S梯形OBMN=（MN+OB）•ON=（m+8）[-（m2-m-4）]=-m
2224221313（m2-m-4）-4（m2-m-4）， 42421113113S△MND=MN•DN=m[4-（m2-m-4）]=2m-m（m2-m-4），∴S△BDM=S△
2242242113131m（m2-m-4）-4（m2-m-4）-2m+mOBD+S梯形OBMN-S△MND=16-2424221313（m2-m-4）=16-4（m2-m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=24242解法二：如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，m2-时，△BDM的面积有最大值为36．
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【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
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