2019届高三第一次诊断性检测
数学（文）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用集合并集的定义求解即可. 【详解】因为
,
,
，故选A.
B. D.
,
,则
（ ）
所以，根据集合并集的定义可得
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 2.复数
为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数【详解】复数
,
在复平面内对应的点的坐标为
,位于第四象限，故选D .
，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握
纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，
可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，
， 棱锥的体积
，故选B.
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 4.设实数
满足约束条件
,则
的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
作出实数满足约束条件表示的平面区域（如图所示：阴影部分），
由由直线
得
得， ，平移
，
过点时，
直线在轴上截距最小，
，故选A.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，
时，时，时，时，
，满足循环终止条件，退出循环， 输出的值是9，故选C.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6.设为等差数列
的前项和,且
,则
（ ）
；
；
；
，
A. 28 B. 14 C. 7 D. 2 【答案】B
【解析】 【分析】
由等差数列的性质求得【详解】因为所以
，故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质7.下列判断正确的是（ ） A. “B. 函数C. 当D. 命题“【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值判断；利用基本不等式的条件 “一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断. 【详解】当对
时，
成立，，当
不成立，所以不正确； ，即
时等号成立，而
，所以
时，命题“若
,”是“
”的充分不必要条件 的最小值为2 ,则
”的逆否命题为真命题
,
”
（
）与前 项和的关系.
，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.
，
”的否定是“
,即
由三角函数的性质得 “若命题“
,
,则”的否定是“
的最小值不为2，所以不正确；
”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；
,
”，所以不正确，故选C.
【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破
较难的命题. 8.已知函数A.
B.
,若 C.
,
, D.
,则
的大小关系是（ ）
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数,由导函数的符号可得【详解】因为函数所以导数函数可得所以又因为所以
，故选D.
， 在上恒成立，
在上为增函数，
， ，
在上为增函数，由
，利用单调性可得结果.
【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等. 9.在各棱长均相等的直三棱柱所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以为原点，切值 ．
【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱角坐标系，则
，
，
中,棱长为 2,以为原点,，
，
为轴,,
，
为轴,建立空间直
,设异
为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线
与
所成角的正
中,已知M是棱
的中点,是棱
的中点，则异面直线
与
面直线与所成角为，则，
．
异面直线与所成角的正切值为．
故选：．
【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 ．
10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛, 基本事件有：含的基本事件有：齐王的马获胜的概率为
，故选C.
，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包
，共 6种,
，田忌上等、中等、下等马分别为
，
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先
，
….
，再
，
…..
依次
….
… 这样才能避
免多写、漏写现象的发生. 11.已知定义在上的函数
的图像关于直线
对称，且当
时,.过点作曲线
的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数A.
B.
C.
D.
的最小值为（ ）
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为，斜率为.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得的值，再根据单调性求得函数的最小值. 【详解】由于函数关于直线角为，斜率为.设切点为可知，斜率
，导数为.故选B.
【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题. 12.设椭圆：
的左，右顶点为，.是椭圆上不同于 ，的一点，设直线
，
的
①，将
对称，且过点，
的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜，故
，故切线方程为
②，联立①②解得
对称，故在
.依题意.故函数为处取得最小值为
代入切线方程得，函数在
时单调递增，且函数关于
斜率分别为，，则当A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出
的坐标,得到
(用
,
取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）
表示,求出
取最小值的，可得
，令
，则椭圆离心率可求 ．
，则
． 利用导数求得使
【详解】解：，，设，，则，则，，，
，
令，则．
，当时， 函数取得最小值
（2）． ．，
故选：．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知双曲线【答案】1 【解析】 【分析】 由
可得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结果.
的
,
，
，故答案为1 . ，
的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_____.
【详解】双曲线所以
设双曲线的一条渐近线方程为则到渐近线的距离为
【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 若双曲线方程为
，则渐近线方程为
.
14.已知函数【答案】2 【解析】 【分析】 由函数【详解】且
是奇函数,则实数的值为_____.
是奇函数可得的定义域为，
，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.
是奇函数，
，
，此时，
是奇函数，符合题意，故答案为2.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由
恒成立求解，（2）偶函数由
恒成立求解；二是利用特殊值：
奇函数一般由15.设为数列【答案】32 【解析】 【分析】 由果.
【详解】为数列则当-②得所以
时，可得
求解，偶函数一般由的前项和,且
,
求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. ,则
_____.
，，两式相减可化为，可得 (首项不符合通项），从而可得结
的前项和，且,②
,，①
, (常数），
则数列求得
是从第二项起，公比2的等比数列， ， (
）， ，
故当
时，
，故答案为32.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式
，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，
若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意验证16.已知为△比为________. 【答案】【解析】 【分析】
的重心，过点的直线与边
分别相交于点
.若
,则
的情况. 与
的面积之
根据，求得的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.
【详解】设，，由于三点共线，故
.由于与有公共角，由三角形面积公式得.
【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的面积公式，考查三角形重心的性质，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17.在
中,内角
所对的边分别为
，已知
,
.
（1）求的值； （2）若
,求
的面积.
【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由（2）由正弦定理
，利用余弦定理可得，
,结合
可得结果；
，由三角形面积公式可得结果.
, 利用三角形内角和定理可得
.
【详解】（1）由题意，得∵∴∵
，∴
，
，可得, .
. ,
. .
（2）∵由正弦定理∵a>b，∴∴∴
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2）
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
,
平面
,点是棱
的中点.
角形、三角函数有关的问题时，还需要记住18.如图,四棱锥
的底面
是边长为2的菱形,
（1）证明：（2）当
平面；
的体积.
时,求三棱锥
【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）连接
交
于点，连接
，则，分别为
，
中点，由三角形中位线定理可得，则点到平面
的距离即为
,从而可的长度. 结合
的
得结论；（2）取线段的中点，先证明
的距离即为
垂直于平面的长度. 由为
A，可得点到平面长度，利用
的中点，可得点到平面的距离即为
即可得结果.
【详解】（1）如图，
连接AC交BD于点O，连接MO. ∵M，O分别为PC，AC中点， ∴PA∥MO ,
∵PA不在平面BMD内，MO
平面BMD.
∴PA∥平面BMD.
（2）如图，取线段BC的中点H，连结AH.
∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA. 又PA∩AD=A，PA，AD
平面PAD.
AH⊥平面PAD.∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度. ∴BC∥AD，∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度. ∵M为PC的中点，∴点M到平面PAD的距离即为AH的长度.
.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
19.在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据： 等级代码数值 38 48 58 68 78 88 销售单价(元
16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8 （1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)； （2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？
参考公式：对一组数据
,
，····
,其回归直线
的斜率和截距最小二乘估计分别为：
,.
参考数据：【答案】（1）【解析】 【分析】
,.
；（2）28.5.
(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数,再根据
样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将
代入线性回归方程求出对应的的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.
【详解】（1）由题意得，
，
，
， .
所以回归方程为（2）由（1）知当
； 时，
元.
，
故估计该等级的中国小龙虾销售单价为
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算
； 回归直线过样本点中心
个变量的变化趋势. 20.已知点
和
,且
,动点满足
，记动点的轨迹为曲线. 的值；③计算回归系数
；④写出回归直线方程为
是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两
（1）求曲线的方程； （2）设不经过点【答案】（1）
的直线；（2）.
与曲线相交于两点
,若直线
与
的斜率之和为1,求实数的值.
【解析】 【分析】 （1）设
，由
，可得
，代入
，整理即可得结果；（2）设
.联
立，可得，根据直线与的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定
理可得【详解】（1）设 ∴
，从而可得结果.
.∵
，
,即
∴.
∵,∴
∴曲线的方程
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）. 联立由
，消去y，得
，可得
. .
又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，
，则
且，
，
由解得
，
的值为3.
，
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标
，根据题意列出关于
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知
曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把代入21.已知函数
.
.
分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将
（1）当（2）当
时,讨论函数时,若不等式
在
的单调性；
在
时恒成立,求实数的取值范围.
.
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）求出数
上单调递增，在上单调递减；（2）
，在定义域内，分别令
时，不等式
求得的范围，可得函数
在
增区间，时恒成立,等价于
求得的范围，可得函
在(1，
的减区间；（2）当
+∞)上恒成立，令的实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，知∵当a<0，x>0时，有∴x>1时，
.
，先证明当时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意
,
；当0 易知，当b≤0时，∴b>0 又 ①当b≥时，∴所以②又 时， ， . .又 在[1，+∞)上单调递减. . ，不合题意. 在(1，+∞)上恒成立. 在x∈(1，+∞)时恒成立. 在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减. ,符合题意； , 在[1，+∞)上单调递减, . , ∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得 ∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减. 又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意. 综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ). 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数( 图象在 恒成立( 即可)或 或 恒成立（ 即可）；② 数形结合 上方即可)；③ 讨论最值恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意 的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正 半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设点【答案】（1）【解析】 【分析】 .若直与曲线相交于两点 ， ,求；（2） 的值. . . （1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 ，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程， 利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得 直线l的普通方程为将曲线C的极坐标方程化为即 .∴x2+y2=2y+2x. . 中，得 . . 故曲线C的直角坐标方程为（2）将直线l的参数方程代入 . 化简，得 . ∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2. 由根与系数的关系，得由直线方程参数的几何意义知, ， ，即t1，t2同正. . 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和 换成和即可. . 的解集； 无实数解,求实数的取值范围. . 23.已知函数（1）求不等式（2）若关于x的方程【答案】（1）【解析】 【分析】 ；（2） （1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）由（1）知函数 的最小值为为，若关于的方程 无实数解，解不等式 ，即可得结果. 【详解】（1）由题意，知， 由f(x)-3<0，可得，或，或. 解得，或. . ∴不等式的解集为 （2）由（1）知函数f(x)的值域为[，+∞）. 若关于x的方程解得-2 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 无实数解，则m+2m<0， 2 ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容