2016年山东省青岛市中考试题 数学

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.

1．﹣的绝对值是（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．5

2．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ） A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．计算a•a5﹣（2a3）2的结果为（ ） A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a6

5．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点户在A1B1上的对应点P的坐标为（ ）

A．C．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） （a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）

6．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（ ） A．C．

﹣﹣

=1 B．=1 D．

﹣﹣

=1 =1

7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分

的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）

A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2

8．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 ﹣13.75 ﹣8.04 ﹣2.31

分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）

A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．计算：

= ．

10．“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查了部分参与者，以

决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的调查数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次活动共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有 名．

11．AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点， 如图，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．

12．已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为 ．

13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．

14．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．已知：线段a及∠ACB．

求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（1）化简：

﹣

（2）解不等式组，并写出它的整数解．

17．小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

18．如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等， 在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈

，tan65°≈

）

19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差

a 7 7 1.2 甲

7 b 8 c 乙

（1）写出表格中a，b，c的值；

（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

20．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边似的距离分别为m， m．

（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？

21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由．

22．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：

… 160 200 240 300 … 月产销量y（个）

… 60 48 40 32 每个玩具的固定成本Q（元） …

（1）写出月产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；

（2）求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式； （3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？

（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？

23．问题提出：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1x5或2×3的矩形（axb 的矩形指边长分别为a，b的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题． 探究一：

如图①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形． 如图②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形．

如图③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形 如图④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形 如图⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形

探究二：

当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和两个5×（n﹣5）的矩形．显然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形． 探究三：

当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一个（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和两个10×（n﹣10）的矩形．显然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．

问题解决：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

24．已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC

于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2016年山东省青岛市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.

1．﹣的绝对值是（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．5

【考点】实数的性质．

【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案． 【解答】解：|﹣|=． 故选：C．

2．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ） A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg． 故选：D．

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B．

4．计算a•a5﹣（2a3）2的结果为（ ） A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a6 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】首先利用同底数幂的乘法运算法则以及结合积的乘方运算法则分别化简求出答案．

【解答】解：原式=a6﹣4a6=﹣3a6．

故选：D．

5．如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点户在A1B1上的对应点P的坐标为（ ）

A．C．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） （a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3） 【考点】坐标与图形变化-平移．

【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．

【解答】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位， 则P（a﹣2，b+3） 故选A．

6．A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（ ） A．C．

﹣﹣

=1 B．=1 D．

﹣﹣

=1 =1

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．

【解答】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：

﹣

=1．

故选：A．

7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）

A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2

【考点】扇形面积的计算．

【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积． 【解答】解：∵AB=25，BD=15， ∴AD=10， ∴S贴纸==175πcm2， 故选A．

﹣

8．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 ﹣13.75 ﹣8.04 ﹣2.31

分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）

A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 【考点】估算一元二次方程的近似解．

28262826=0【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+8）﹣的值，从而可以判断当（x+8）﹣

时，x的所在的范围，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知， 当x=20.7时，（x+8）2﹣826=﹣2.31， 当x=20.8时，（x+8）2﹣826=3.44，

故（x+8）2﹣826=0时，20.7＜x＜20.8， 故选C．

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．计算： = 2 ．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】首先化简二次根式，进而求出答案．

【解答】解：原式===2．

故答案为：2．

10．“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量．根据得到的调查数据，绘制成如图所示的扇形统计图．若本次活动共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有 2400 名．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体． 【分析】根据样本中选择红色运动衫的人数占总数的百分比，据此可估计总体中选择红色运动衫的人数占总数的百分比近似相等，列式计算即可．

【解答】解：若本次活动共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有12000×20%=2400（名）， 故答案为：2400．

11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= 62 °．

【考点】圆周角定理．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，求出∠BCD，根据圆周角定理解答即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=28°， ∴∠ACD=62°，

由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°， 故答案为：62．

12．已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为

．

【考点】根的判别式．

【分析】将一次函数解析式代入到二次函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中， 得：4x=3x2+c，即3x2﹣4x+c=0． ∵两函数图象只有一个交点，

∴方程3x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4×3c=0， 解得：c=． 故答案为：．

13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为

．

【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．

【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18﹣5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=

=

=12．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线，

∴OF=（BC﹣CE）=（12﹣5）=． 故答案为：．

14．如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中

虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 448480 cm3．

﹣

【考点】剪纸问题．

【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∠POQ=60°，∠OAD=∠OAK=30°，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，得出OD=AD=2cm，AD=

OD=2

cm，同理：BE=AD=2

cm，求出PQ、QM，无盖

柱形盒子的容积=底面积×高，即可得出结果．

【解答】解：如图，由题意得：△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠POQ=60°， ∴∠ADO=∠AKO=90°．

连结AO，作QM⊥OP于M，

在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°， ∴OD=AD=2cm，

∴AD=OD=2cm， 同理：BE=AD=2cm， ∴PQ=DE=20﹣2×2=20﹣4∴QM=OP•sin60°=（20﹣4

（cm）， ）×

=10

﹣6，（cm），

﹣6）×4=448

﹣480（cm3）；

∴无盖柱形盒子的容积=×（20﹣4故答案为：448

﹣480．

）（10

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．已知：线段a及∠ACB．

求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．

【解答】解：①作∠ACB的平分线CD， ②在CD上截取CO=a，

③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆； 如图所示：⊙O即为所求．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（1）化简：

﹣

（2）解不等式组，并写出它的整数解．

【考点】分式的加减法；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可． 【解答】解：（1）原式=

﹣

==；

（2）

由①得：x≤1， 由②得：x≤，

，

则不等式组的解集为x≤1，

则不等式组的整数解为{x∈Z|x≤1}． 17．小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

【考点】游戏公平性． 【分析】首先依据题先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可． 【解答】解：这个游戏对双方是公平的． 列表得：

∴一共有6种情况，积大于2的有3种， ∴P（积大于2）==，

∴这个游戏对双方是公平的．

18．如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等， 在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈

，tan65°≈

）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】作BF⊥AE于点F．则BF=DE，在直角△ABF中利用三角函数求得BF的长，在直角△CDB中利用三角函数求得CD的长，则CE即可求得． 【解答】解：作BF⊥AE于点F．则BF=DE．

在直角△ABF中，sin∠BAF=在直角△CDB中，tan∠CBD=

，则BF=AB•sin∠BAF=10×=6（m）． ，则CD=BD•tan65°=10×

≈27（m）．

则CE=DE+CD=BF+CD=6+27=33（m）．

答：大楼CE的高度是33m．

19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差

a 7 7 1.2 甲

7 b 8 c 乙

（1）写出表格中a，b，c的值；

（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数． 【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【解答】解：（1）甲的平均成绩a=

=7（环），

∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b=

=7.5（环），

其方差c=﹣7）2] =

×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10

×（16+9+1+3+4+9）

=4.2；

（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，

综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．

20．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边似的距离分别为m， m．

（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据题意求得B（，），C（，），解方程组求得拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；

（2）令y=0，即﹣x2+2x=0，解方程得到x1=0，x2=2，即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得：B（，），C（，），

把B，C代入y=ax2+bx得

，

解得：，

∴拋物线的函数关系式为y=﹣x2+2x； ∴图案最高点到地面的距离=

=1；

（2）令y=0，即﹣x2+2x=0， ∴x1=0，x2=2， ∴10÷2=5，

∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．

21．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

∠BAE=∠DCF，【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，由SAS证明△ABE≌△CDF

即可；

（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，

∴四边形BEDF是平行四边形， ∴OB=OD， ∵DG=BG， ∴EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形．

22．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：

… 160 200 240 300 … 月产销量y（个）

… 60 48 40 32 每个玩具的固定成本Q（元） …

（1）写出月产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；

（2）求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式； （3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？

（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？

【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）设y=kx+b，把，代入解方程组即可．

（2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题．

（3）求出销售价即可解决问题．

（4）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【解答】解；（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，不妨设y=kx+b，则，满足函数关系式，得

解得

，

产销量y（个）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y=﹣2x+860．

（2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，将Q=60，y=160代入得到m=9600， 此时Q=

．

（3）当Q=30时，y=320，由（1）可知y=﹣2x+860，所以y=270，即销售单价为270元， 由于

=，∴成本占销售价的．

，即Q≥24，固定成本至少是24元，

（4）若y≤400，则Q≥

400≥﹣2x+860，解得x≥230，即销售单价最底为230元．

23．问题提出：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1x5或2×3的矩形（axb 的矩形指边长分别为a，b的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题． 探究一：

如图①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形． 如图②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形．

如图③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形 如图④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形 如图⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形

探究二：

当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和两个5×（n﹣5）的矩形．显然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形． 探究三：

当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一个（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和两个10×（n﹣10）的矩形．显然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．

问题解决：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可） 【考点】四边形综合题．

【分析】先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，由此把要解决问题转化为已经解决的问题，即可解决问题．

【解答】解：探究三：边长为18，19的正方形分割示意图，如图所示，

问题解决：若5≤n＜10时，如探究一．

若n≥10，设n=5a+b，其中a、b为正整数，5≤b＜10，则图形如图所示，

均可将正方形分割为一个5a×5a的正方形、一个b×b的正方形和两个5a×b的矩形．显然，5a×5a的正方形和5a×b的矩形均可分割为1x5的矩形，而b×b的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形即可． 问题解决：边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形，如图所示，

．

24．已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC

于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=

，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH=QM=

，FQ=

，根据相似三角形的性质得到

，根据图形的面积即可得到结论，

（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论； （4）由角平分线的性质得到DM=DN=

，根据勾股定理得到ON=OM=

=，

由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，

①当AP=PO=t，如图1， 过P作PM⊥AO， ∴AM=AO=，

∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD， ∴△APM∽△ADC， ∴∴AP=t=

， ，

②当AP=AO=t=5， ∴当t为

或5时，△AOP是等腰三角形；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G， 在△APO与△CEO中，

，

∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t，

∵△CEH∽△ABC， ∴∴EH=∵DN=

， ，

=

，

∵QM∥DN，

∴△CQM∽△CDN，

∴∴QM=∴DG=

，即

， ﹣

=

，

，

∵FQ∥AC，

∴△DFQ∽△DOC， ∴∴FQ=

， ，

+（

+5）•

=﹣t2+t+12，

∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF=×5×∴S与t的函数关系式为S=﹣t2+t+12；

（3）存在，

∵S△ACD=×6×8=24，

∴S五边形OECQF：S△ACD=（﹣t2+t+12）：24=9：16， 解得t=，t=0，（不合题意，舍去），

∴t=时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；

（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N， ∵∠POD=∠COD， ∴DM=DN=∴ON=OM=∵OP•DM=3PD， ∴OP=5﹣t， ∴PM=

﹣t，

，

=，

∵PD2=PM2+DM2， ∴（8﹣t）2=（

﹣t）2+（

）2，

解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88， ∴当t=2.88时，OD平分∠COP．

2016年6月23日