第一讲 n维向量及其运算、线性组合与线性表示
教 学 目 的：1.理解n维向量的定义，掌握n维向量的计算及性质。
2.掌握向量的线性组合与线性表示的概念，了解并会用线性表示的判别法。
教学重点与难点：1.有限n维向量与矩阵的关系
2.线性表示的判别法。
教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
一、n维向量的定义
定义1：n个有序数a1,a2,,an组成的数组称为n维向量，数ai(i1,2,,n)称为该向量的第i个分量．
a1a2n维向量可写成：an或a,a,a，前者称为n维列向量，后者称为n维行向量． 12nn维列向量可看作是n1矩阵，而n维行向量可看作是1n矩阵，因此n维列（行）
向量的转置是n维行（列）向量．可见，行向量理论与列向量理论是平行的，把有关列（行）向量的结论中的列（行）改为行（列），就得到行（列）向量的相应结论．为叙述方便，若无特别说明，本书所讨论的向量都是列向量．
常用小写希腊字母,,,„ 表示n维向量，用小写拉丁字母a,b,c，„ 表示n维向量的分量．如n维向量
a1a2=an，或=a,a,,aT．
12n附：分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量．本书中若无
特别说明，所讨论的向量都是实向量．
向量的一些相关概念
（1）零向量：分量全是零的向量，称为零向量，记作0．
（2）负向量：向量a1,a2,,an称为向量=a1,a2,,an的负向量，记作
1
TT．
（3）n维单位坐标向量：向量
(i)
i(0,,0,1,0,,0)T(i1,2,,n)
叫做n维单位坐标向量．
（4）向量相等：设向量=a1,a2,,anT，=b1,b2,,bnT，若
aibi(i1,2,n，则称向量,与相等，记作．
注意：两个向量只有维数相同时才有相等或不相等的概念．
（5）向量组：由若干个同维数的向量组成的集合，称为向量组．例如一个nm矩阵的全体列向量就是由m个n维列向量组成的向量组；反之，若给定m个n维列向量组成的向量组，则以这些向量为列，就得到一个nm矩阵．因此，含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应．
二、n维向量的运算
1．向量的加法
定义2：设向量=a1,a2,,an,a1b1TT，=b1,b2,,bnT，则向量
ab,2,anbn称为向量与的和，记作，即 2=a1b1,a2b2,,anbn．
利用向量的加法及负向量，可定义向量的减法：
T()=a1b1,a2b2,,anbn．
注：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算．
T1．向量的数乘
定义3：设向量=a1,a2,,an，k是一个数，则向量ka1,ka2,,kan称为数k与向量的乘积，简称数乘，记作k，即
k=ka1,ka2,,kan．
TTT向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算．向量的加法与数乘运算是矩阵的加法与数乘运算的特例，因此向量的两种运算满足以下规律：
（1）加法交换律 = ；
2
（2）加法结合律 ()(；) （3）零元律 0 +=； （4）负元律 +（）=0；
（5）数乘对向量加法的分配律 k()kk； （6）数乘对数加法的分配律 (kl)kl； （7）数乘对数乘法的结合律 (kl)k(l；) （8）1=，(1)= ，0= 0； （9）若，则； （10）若k(k0)，则1k；
（11）若k= 0，则k=0或=0． 例1 解向量方程
2X+3=3X+．
其中，(2,4,1,1)T,(1,5,2,0)T．
解 因为 2X+3=3X+， 所以 3X2X=3， 故 X3
=3(2,4,1,1)(1,5,2,0)(7,17,1,3)．
TTT三、线性组合与线性表示
为了讨论方便，我们将用符号(1,2,,m)表示以向量组1,2,,m为列构成的矩阵．
1．线性组合与线性表示的定义
定义4：设1,2,,m为n维向量组，k1,k2,,km是一组实数，则表达式
k11k22kmm
称为向量组1,2,,m的一个线性组合，而k1,k2,,km称为组合系数．
3
若向量是向量组1,2,,m的一个线性组合，即
k11k22kmm，
则称可由1,2,,m向量组线性表示．
结论：1．零向量可由任一向量组线性表示．
2．任意n维向量a1,a2,,an都可由n维单位坐标向量组线性表示，
这是因为：
a11a22ann．
T有的向量可由某一向量组线性表示，而有的向量则不能．如向量(1,0,1)T不能由向量组1(1,2,0)T,1(2,3,0)T线性表示．事实上，若设k11k22，则将推出矛盾：1=0．那么，如何判断一个向量能否由某一向量组线性表示呢？下面我们就来讨论这个问题．
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
b1bi若 bjbnb1bjbibna11a12a1maaai1i2imk1k2kmaaaj1j2jmaan1n2anma1ma11a12ajmaj1aj2k1k2kmaaaimi1i2aan1an2nm， 则 ，
4
b1kbi bjbnbia11a12a1mkakakai1i2imk1k2kmaaaj1j2jmaan1n2anmaikaj1k2aj1an11， ．
ai1kbjk1bjbnb1a1a212kajaj2an2a1maimkajm2kmajmanm由此可见，若以向量1,2,,m,为列的矩阵
A(1,2,,m,)
经初等行变换变成以向量1,2,,m,为列的矩阵
B(1,2,,m,)
则k11k22kmmk11k22kmm． 2．线性表示的充分必要条件
定理1：n维向量可由n维向量组1,2,,m线性表示的充分必要条件是，矩阵(1,2,,m)的秩等于矩阵(1,2,,m,)的秩，即
R(,,,m)=R(1,2,,m,)．
证 必要性．设k11k22kmm，则
m1ii(1,2,,m,)((1,2,,m,0) i1,2,,m)ckc故R(1,2,,m,)=R(1,2,,m,0)=R(1,2,,m)．
充分性．设
R(1,2,,m,)=R(1,2,,m)=r
则矩阵(1,2,,m,)可以经过初等行变换变成矩阵
5
0000 0000001b1,i1b1,j10b1,j1b1,r10000000000001b2,j1b2,r10000000000b1,r1b1m0100b2,r1b2md2br,r1brmdr(1,,m,)
000000d1显然
d1id2jdrr，
于是
d1id2jdrr，
即向量可由向量组1,2,,m线性表示．
例2 设1=(1，2，－1，3)T，2=(2，4，－2，6)T，3=(2，－1，1，－3)T，1=(4，3，0，3)T，2= (4，3，－1，3)T，试判断向量1与2能否由向量组1,2,3线性表示？若能，写出表示式．
解 因为
221241(1,2,3,1)12136341r22r1r3r13043r1r00302000455 3499210003r3r259r4r252000455， 01002所以R(1,2,3,1)=3，又最后一个矩阵的前三列是由矩阵(1,2,3)经初等行变换变来的，所以
10R(1,2,3)=R00200025=2， 00 6
因此R(1,2,3,1)R(1,2,3)，故1不能由向量组1,2,3线性表示．
因为
221241(1,2,3,2)121633r3r4r135952r2r2r241r22r1r3r130r3r4101302000455 3399211r2050052000010021， 00所以R(1,2,3,2)=R(1,2,3)=2，故2能由向量组1,2,3线性表示，且表示式为
2213或223．
7
第二讲 线性相关与线性无关
教 学 目 的：1.理解线性相关、线性无关的定义。
2.了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
教学重点与难点：1.线性相关、线性无关的定义
2.线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
一、线性相关与线性无关的定义
定义1：设1,2,,m为n维向量组，如果存在不全为零的数k1,k2,,km，使
k11k22kmm0，
则称向量组1,2,,m线性相关，否则称向量组1,2,,m线性无关．
一些实例：
1．向量组1= (1，0，1)，2= (1，2，2)，3= (1，2，4)是线性相关的，因为有不全为零的数2，1，1，使21230．
2．n维单位坐标向量组1,2,,n是线性无关的，因为不存在不全为零的数
k1,k2,,km，使
T
T
T
k11k22knn0．
换句话说，若有
k11k22knn0，
即得(k1,k2,,kn)(0,0,,0)，则有ki0(i1,2,,n），即k1,k2,,km全为零．
由定义即可推出：
n维向量组1,2,,m不线性相关，（1）即不存在不全为零的数k1,k2,,km，
使
k11k22kmm0，
则1,2,,m就是线性无关；或者说，如果由
8
k11k22kmm0，
可以推出
k1k2km0，
那么1,2,,m就是线性无关．
（2）单个向量线性相关充分必要条件是=0．
（3）两个向量1,2线性相关充分必要条件是1与2的对应分量成比例． （4）每一个含有零向量的向量组都线性相关．
二、向量的线性相关与线性表示的相互关系．
定理1 n维向量组1,2,,m(m2)线性相关的充分必要条件是向量组中有一个向量可由其余向量线性表示．
证 必要性．因为1,2,,m线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,,km，使
k11k22kmm0．
不妨设k1 0，则
1(k2k1)2(k3k1)3(kmk1)m，
即1可由其余向量线性表示．
充分性．不妨设
1k22kmm，
则有
(1)1k22kmm0，
因1，k2，„，km不全为零，所以1,2,,m线性相关． 证毕
向量组的线性相关性，也可用矩阵的秩来判别．
定理2 n维向量组1,2,,m线性相关的充分必要条件是矩阵
(1,2,,m)的秩小于m，即R(1,2,,m)m．
9
证 必要性．设向量组1,2,,m线性相关，则当m=1时，R(1)=01；当m1时，向量组中有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设m可由1,2,,m1线性表示，则由上一讲的定理1得 R(1,2,,m)R(1,2,m,1． m)m1充分性．设R(1,2,,m)rm，则矩阵(1,2,,m)可以经过初等行变换变成矩阵
001b1，i10000000000000000b1，j10b1，j1b1，r100000001b2，j1b2，r10000000b1，r1b1m 0b2，r1b2m1br，r100000brm0因此
mb1mib2mjbrmr，
即m可由其余向量线性表示，故1,2,,m线性相关．
注意：向量组1,2,,m线性相关，只能说明至少有一个向量可由其余向量线性表示，并不能说明其中任一向量均可由其余向量线性表示．
推论1 n维向量组1,2,,m线性无关充分必要条件是矩阵(1,2,,m)的秩等于m，即R(1,2,,m)m．
推论2 n维向量组1,2,,n线性无关充分必要条件是矩阵(1,2,,n)的行列式不等于零，即|1,2,,n|0.
推论3 当mn时，n维向量组1,2,,m必线性相关． 证 因为(1,2,,m)是nm矩阵，所以当mn时，
R(1,2,,m)min(n,m)m，
故1,2,,m线性相关． 证毕
由此可知，当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关．
10
例1 讨论下列向量组的线性相关性．
（1）1=(2，2，7，1)T，2=(3，1，2，4)T，3=(1，1，3，1)T； （2）1=(3，2，5，4)T，2=(3，1，3，3)T，3=(3，5，13，11)T． 解 （1）因为
22(1,2,3)71r22r1r37r1r42r131241112rr147312111 233141141140730402r4r 03010030100113011314r4r20440000r315211r21143r4r300410010030010 100所以R(1,2,3)= 3，故1,2,3线性无关．
（2）因为
32(1,2,3)541r22r10r3r1004313331r1r2r32r25242r2r1131104411125 312r35r2191r4r29909055110299
0000所以R(1,2,3)= 23，故1,2,3线性相关．
例2 问a取什么值时，下列向量组线性相关？
1(a,12,12),2(T12,a,12),(T12,12,a)．
T解 因为
11
a121212a1212ac1c2c1c3a1a1a112a1212a
121212a1r2r1r3r112120(a1)(a1212)，
200a＋0a所以a1或a12时，行列式|1,2,3|＝0，从而1,2,3线性相关．
四、线性相关性的相关结论．
定理3 如果向量组1,2,,m线性无关，而向量组1,2,,m,线性相关，则可由1,2,,m表示，且表示式是唯一的．
证 因为向量组1,2,,m线性无关，所以R(1,2,,m)m．又因为向量组1,2,,m,线性相关，所以
mR(1,2,,m)R(1,2,,m,)m1，
于是
R(1,2,,m,)mR(1,2,,m)．
即，可由1,2,,m表示.
若k11k22kmm，同时又有l11l22lmm，则有
(k1l1)1(k2l2)2(kmlm)m0，
因为1,2,,m线性无关，所以kili0(i1,2,,m)， 即kili(i1,2,,m)，故由1,2,,m表示时表示式是唯一的.
推论1 设可由1,2,,m表示，则表示式是唯一的充分必要条件是
12
1,2,,m线性无关．
证 充分性由定理3即得．
必要性．设k11k22kmm，若1,2,,m线性相关，则有不全为零的数l1,l2,,lm，使l11l22lmm0，于是又有
(k1l1)1(k2l2)2(kmlm)m，
不妨设l10，则k1k1l1，这与的表示式是唯一矛盾. 故1,2,,m线性无关．
推论2 设有向量与向量组1,2,,m，则
（1）当R(1,2,,m,)＝R(1,2,,m)m时，可由1,2,,m线性表示且表示式唯一；
（2）当R(1,2,,m,)＝R(1,2,,m)m时，可由1,2,,m线性表示但表示式不唯一．
如，上一讲例2中，因为R(1,2,3,2)=R(1,2,3)23，所以由1,2,3表示时表示式不唯一．比如：2213或223．
例3 设1=(1＋，1，1)，2=(1，1＋，1)，3=(1，1，1＋)，=
(0，，)．试问当取何值时，
2TTTT（1）可由1,2,3线性表示，且表示式唯一？ （2）可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一？ （3）不能由1,2,3线性表示． 解 因为
13
11,2,3,111110r1r3121121111111112021r2r1r3(1)r1001122rr232231001022(3)(12)1所以
（1）0且3时，R(1,2,3,)=R(1,2,3)3，可由1,2,3线性表示，且表示式唯一；
（2）当＝0时，R(1,2,3,)=R(1,2,3)13，可由1,2,3线性表示，但表示式不唯一；
（3）当＝3时，R(1,2,3,)3R(1,2,3)＝2，不能由1,2,3线性表示．
定理4 若向量组1,2,,m线性相关，则在这一组向量里添加若干个向量得到的新的向量组仍是线性相关的．
证明 设添加的向量为m1,m2,,mk，由于1,2,,m线性相关，必存在不全为零的数k1,k2,,km，使
k11k22kmm0，
于是
k11k22kmm0m10mk0
而k1,k2,,km,0,,0仍不全为零，因此向量组1,2,,m,m1,,mk线性相关． 证毕
解释：如果在一个向量组中有部分向量（叫做部分组）线性相关，则整个向量组必线性相关．因此定理4可用一句话来概括，就是：“部分相关，整体必相关”．
推论 若向量组1,2,,m线性无关，则从中取出的任意非空部分组都线性无关．
证 若从中取出的部分组线性相关，则由“部分相关整体必相关”知1,2,,m
14
线性相关，与条件矛盾，因此结论成立． 证毕
此推论的结论可概括为：“整体无关，部分必无关”．
设(a1,a2,,ak)T,(a1,a2,,ak,ak1,,akl)，则称是的接长向量． 定理5 设1,2,,m是k维线性无关向量组，1,2,,m分别是1,2,,m的kl维接长向量，则1,2,,m必线性无关．
证 因为R(1,2,,m)R(1,2,,m)m，所以R(1,2,,m)m，故1,2,,m线性无关． 证毕
定理5可用一句话来概括，就是：“无关组添加分量仍无关”．
推论 设1,2,,m是k维向量组，1,2,,m分别是1,2,,m的
kl维接长向量，若1,2,,m线性相关，则1,2,,m必线性相关．
此推论的结论可概括为：“相关组减少分量仍相关”．
15
第三讲 向量组的秩
教 学 目 的：1.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向
量组的极大线性无关组及其秩。
2.了解向量组等价的概念，以及向量组的秩和矩阵的秩的关系。
教学重点与难点：1.极大无关组，向量组的秩及求法
2.向量组的秩与矩阵的秩的关系。
教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
一、极大线性无关组
定义1：如果向量组的一个部分组1,2,,r满足 1）1,2,,r线性无关；
2）向量组中每一个向量均可由1,2,,r线性表示．
则称1,2,,r是该向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 由于向量组中的向量可由极大线性无关组线性表示，因此在某种程度上对向量组的讨论可以归结为对其极大线性无关组的讨论．
一些结论：
1．n维单位坐标向量组1,2,,n是所有的n维向量组成的向量组Rn 的一个极
大线性无关组．
2．只含有限个向量的向量组，当向量组本身线性无关时，它的极大线性无关组就是向
量组本身．
3．每一个含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组．
例1 设1=(2，1，4，3)T，2＝(－1，1，－6，6)T，3＝(－1，－2，2，－9)T，4=(1，1，－2，7)T，5=(2，4，4，9)T，求向量组1,2,3,4,5的极大线性无关组．
解 因为
21(1,2,3,4,5)431166122911272142rr44931166212911274249 16
1000r22r1r34r1r43r113103001001002310312116446123r33r24r2r10001000001001001310101011002431613603911000r23r3r1r31r4310r2rr128r44082433r4r1360131004031)r2(1300004000313
1r2r30r3r400所以
1100040313000312,5413234
又因为最后一个矩阵的第1，2，4列是由矩阵(1,2,4)经过初等行变换变来的，所以矩阵(1,2,4)与矩阵
1000010000 10等价，于是R(1,2,4)3，因此1,2,4线性无关，故1,2,4是所给向量组的一个极大组．
本例实际上给出了一种求向量的极大线性无关组的方法． 求向量的极大线性无关组的方法
一般地，要求向量组1,2,,m的极大线性无关组，可用矩阵的初等行变换，将矩阵(1,2,,m)变成行最简形矩阵，在行最简形矩阵中列向量是单位坐标向量的列所对应的向量组1,2,,m中的部分向量组，就是这个向量组的极大线性无关组．
如果对例1中的最后一个矩阵再做如下初等行变换
17
100001001100401103011rr12013000000000010111301(1)r203000001000103 1300则1,3,4线性无关，且213,513334，故1,3,4也是所给向量组的一个极大组．
由此可见，向量组的极大线性无关组一般是不唯一．
二、向量组的等价性
定义2：若向量组1,2,,s中的每个向量都可由向量组1,2,,m线性表示，则称向量组1,2,,s可由向量组1,2,,m线性表示．
定义3：若向量组1,2,,s与向量组1,2,,m可互相线性表示，则称向量组1,2,,s与向量组1,2,,m等价．
结论：1．向量组与它的极大线性无关组等价；
2．向量组的任意两个极大线性无关组等价．
向量组的等价性具有下列三个性质： 1）自反性：每个向量组都与自身等价；
2）对称性：若向量组（I）与向量组（II）等价，则向量组（II）与向量组（I）等价； 3）若向量组（I）与向量组（II）等价，向量组（II）与向量组（III）等价，则向量组（I）与向量组（III）等价．
定理1：n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,m线性表示的充分必要条件是，矩阵(1,2,,m)与矩阵(1,2,,m,1,2,,s)的秩相等，即
R(1,2,,m)R(1,2,,m,1,2,,s)．
证 必要性．因为i可由1,2,,m线性表示，所以i也可由1,2,,m,1,2,i线性表示(i2,,s)．于是有
R(1,2,,m,1,,s)R(1,2,,m,1,,s1)
R(1,2,,m,1)R(1,2,,m)．
18
充分性．因为
R(1,2,,m)R(1,2,,m,i)R(1,2,,m,1,,s)R(1,2,,m)
所以
R(1,2,,m,i)R(1,2,,m)，
因此，i可由1,2,,m线性表示(i1,2,1,2,,m线性表示．
s,，)故1,2,,s可由
推论1 若n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,m线性表示，则
R(1,2,,s)R(1,2,,m)．
推论2 n维向量组1,2,,m与n维向量组1,2,,s等价的充分必要条件是
R(1,2,,m)R(1,2,,s)R(1,2,,m,1,2,,s)．
推论3 若n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,m线性表示，且sm，则1，2，„，s线性相关．
证明 因为
R(1,2,,s)R(1,2,,m)ms，
所以1,2,,s线性相关．
推论4 若n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,m线性表示，且1,2,,s线性无关，则sm．
推论5 若n维向量组1,2,,s与n维向量组1,2,,m等价，且两向量组都线性无关，则sm．
推论6 一个向量组中任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相同．
例2 判断向量组1= (0，1，2，3)T，2= (3，0，1，2)T，3= (2，3，0，1)T与向量组1= (2，1，1，2)T，2= (0，2，1，1)T，3= (4，4，1，3)T是否等价．
19
解 因为
01(1,2,3,1,2,3)233203102141241r2r111213100010002010230031232240411131012123110r22r10322r33r1016102811r33r20r42r20003124042r3r5779312161322281457
0479160020441r4r3157551525135203115021600200457152500所以
R(1,2,3)R(1,2,3,1,2,3)3
又因为
1241r2r1157035r1r (1,2,3)5152500000235041245r3r230333 05000000即
R(,,)2，
故向量组1,2,3可由向量组1,2,3线性表示，但两向量组不等价．
例3 n维向量组1,2,,m与n维单位坐标向量组1,2,,n等价充分必要条件是，R(1,2,,m)n．
证明 因为矩阵
10(1,2,,n)0
20
01000 1是单位矩阵，所以R(1,2,,n)n．
必要性．因为向量组1,2,,m与向量组1,2,,n等价，所以
R(1,2,,m)=R(1,2,,n)n．
充分性．因为矩阵(1,2,,m,1,2,,n)是n(m+n)矩阵，它有一个n阶子式|1,2,,n|1，所以R(1,2,,m,1,2,,n)n，因此
R(1,2,,m)= R(1,2,,n,1,2,,n)=R(1,2,,n)n，
所以向量组1,2,,m与向量组1,2,,n等价．
三、向量组的秩
定义4 向量组1,2,,m的极大线性无关组所含向量个数，称为该向量组的秩，记作R{1,2,,m}．
规定：由零向量组成的向量组的秩为零．
定理2 若一个向量组的秩为r，则该向量组中的任意r1向量都线性相关． 证 设1,2,,r是向量组的一个极大线性无关组，1,2,,r,r1是向量组中任意r1个，则由极大线性无关组的定义可知，1,2,,r,r1可由1,2,,r线性表示，因此有
R(1,2,,r,r1)=R(1,2,,r)rr1，
故1,2,,r,r1线性相关．
推论 若一个向量组的秩为r，则该向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大线性无关组．
证 设1,2,,r是向量组中r个线性无关的向量，是向量组中任意向量，则1,2,,r,线性相关，于是可由1,2,,r线性表示，故1,2,,r是
向量组的一个极大线性无关组．
定理3 若n维向量组1,2,,s可由n维向量组1,2,,m线性表示，则
21
R{1,2,,s}R{1,2,,m}．
证 设i,i,,i是1,2,,s的极大线性无关组，i,12t1i2,,ir是
1,2,,m的极大线性无关组，则i1,i2,,it与1,2,,s等价，i1,i2,,,ir与1,2,,m等价，又1,2,,s可由1,2,,m线性表
,,i示，所以i1i2t可由i1,i2,,ir线性表示，由定理3.3.1的推论4得tr，
故结论成立．
推论 等价的向量组有相同的秩．
定理4 对任意向量组1,2,,m，有
R{1,2,,m}= R(1,2,,m).
证 设R{1,2,,m}＝r，且个极大线性无关组，则ii1,i2,,ir是向量组1,2,,m的一
1,i2,,ir与1,2,,m等价，于是有
iR(1,2,,m)=R(1,i2,,ir)=r，
所以，
R{1,2,,m}＝R(1,2,,m)． 证毕
定理4表明，矩阵A的秩等于它的列向量组的秩．由于转置不改变矩阵的秩，而转置后矩阵的列向量就是原矩阵的行向量，所以矩阵A的秩也等于它的行向量组的秩．因此，可以利用矩阵的秩来讨论向量组的秩，也可以利用向量组的秩来讨论矩阵的秩．
例4 求向量组1＝(1，0，1，2)T，2＝(0，1，1，2)T，3＝(－1，1，0，k)T， 4＝(1，2，k，6)，5＝(1，1，2，4)的秩和一个极大线性无关组，并用极大线性无关组表示其余向量．
解 向量的分量中含有参数k，向量组的秩和极大线性无关组与k的取值有关．对下列矩阵作行初等变换： 10(1,2,3,4,5)12
T
T
0112110k12k611r3r11042r1r024022
011211121
1k11k24211r3r20r42r2000100110k12k301110rr340000010011k0120k311 （3.2） 001）当k=3时，对式（3.2）中最后一个矩阵作初等行变换
1r1r331r2r332r33100001001130120011100000010000101121， 0000则
R(1,2,3,45)3；1,2,3是极大线性无关组，且
42,12 5．12）当k= 0时，对式（3.2）中最后一个矩阵作初等行变换
1r1r332r2r332r331000010011001121000003010100110000011101011011013r4r， 000010000000则
R(1,2,3,45)3；1,2,4是极大线性无关组，且
31,25 ．
（3）当k 0，3时，对式（3.2）中最后一个矩阵作初等行变换
1000010011k0120k311r31k1r4103k0000010011101121 0010100r1r3010r2r300100011100r1r421010r2r2400100100000101 0010则R(1,2,3,45)4；1,2,3,4是极大组，且512．
例5 设向量组1,2,,m可由向量组1,2,,m线性表示，
23
ja1j1a2j2amjm(j1,2,,m)，Aaijmm．证明：
（1）若矩阵A不可逆，则1,2,,m线性相关．
（2）若1,2,,m线性无关，则1,2,,m线性无关充分必要条件是，矩阵A可逆．
证 由已知条件得
(1,2,,m)＝(1,2,,m)A．
（1）若A不可逆，则R(A)m，由矩阵秩的性质有
R(1,2,,m)R(A)m，
于是1,2,,m线性相关．
（2）因为1,2,,m线性无关，所以R(1,2,,m)m．
若A可逆，则(1,2,,m)＝(1,2,,m)A1，于是1,2,,m可由1,2,,m线性表示，从而1,2,,m与1,2,,m等价，因而有
R(1,2,,m)＝R(1,2,,m)m，即1,2,,m线性无关．
若1,2,,m线性无关，则由（1）结论知A可逆．
24
第四讲 向量空间
教 学 目 的：1.了解向量空间的定义、相关概念等。
2.理解向量内积、长度和正交的概念及性质，掌握施密特方法 3.了解标准正交向量组、正交矩阵的概念及其性质。
教学重点与难点：1.向量空间的判别
2.施密特方法。
教学计划时数：2学时 教 学 过 程：
一、 向量空间的基本概念
设V是由n维向量组成的非空集合，若,V及任意数k，有,kV，则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭．
定义1：设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V为n维向量空间．
一些向量空间的实例
1.所有n维向量的集合Rn是一个向量空间，这个向量空间也叫做n维向量空间． 当n=1时，一维向量空间R1的几何意义是数轴； 当n=2时，二维向量空间R2的几何意义是平面； 当n=3时，三维向量空间R3的几何意义是几何空间； 当n3时，n维向量空间Rn没有直观的几何意义．
2．单个n维零向量组成的集合也是一个向量空间，叫做零空间，记作{0}．
若向量空间V{0}，则存在V，0，于是当k取不同的数时就得到V中的不
同向量k，所以V含有无穷多个向量．
3．例1 判别下列集合
V1{(x1,,xn1,0)|x1,,xn1R}， V2{(x1,,xn1,1)|x1,,xn1R}，
TT是否是向量空间．
解 因为对于V1中的任意两个向量
(x1,,xn1,0),(y1,,yn1,0)，
25
TT及任意数k，有
(x1y1,,xn1yn1,0)V1,k(kx1,,kxn1,0)V1，
TT即V1对向量的加法与数乘两种运算封闭，所以V1是向量空间．
因为(x1,,xn1,1)TV2，而2(x1,,xn1,2)TV2，所以V2不是向量空间．
4．例2 设1,2,,m是n维向量组，则集合
V{|k11k22kmm,k1,k2,,kmR}
是一个向量空间．
证 ,V，有
k11k22kmm，l11l22lmm，
于是对任意两个数k,l，有
kl(kk1ll1)1(kk2ll2)2(kkmllm)mV，
故V是向量空间．
通常称例2中的向量空间为由向量1,2,,m生成的向量空间，记作
L(1,2,,m)．
定理1 设V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量空间的充分必要条件是，对V中任意两个向量,及任意两个数k,l，有klV.
证 必要性．因为V是向量空间，所以对V中的向量,及数k,l有，k,lV，从而有，klV．
充分性．因为对任意两个数k,l，有klV，所以只要取kl1及l0就有，
,kV，于是V是向量空间．
定义2：设V1,V2是两个向量空间，若V1V2，则称V1是V2的子空间． 显然，由n维向量组成的向量空间都是Rn的子空间．
每一个向量空间V都至少有两个子空间：零空间{0}和V本身，这两个子空间称为V的
26
平凡子空间．
例3 若向量组1,2,,s可由向量组1,2,,m线性表示，则
L(1,2,,s)是L(1,2,,m)的子空间．
证明 L(1,2,,s)，则可由1,2,,s线性表示．
又因为1,2,,s可由1,2,,m线性表示，故可由1,2,,m线性表示，所以L(1,2,,m)，于是L(1,2,,s)L(1,2,,m)．
故L(1,2,,s)是L(1,2,,m)的子空间．
定义3：向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一个基，基所含的向量个数称为向量空间V维数，记作dimV．
当V={0}时，V没有基，规定零向量空间{0}的维数为0．因此，dimV0，当且仅当
V＝{0}时，dimV＝0．
一些结论
1．因为n维单位坐标向量组1,2,,n是Rn的一个极大线性无关组，所以它是n维向量空间Rn的一个基，从而dimRnn，1,2,,n也叫做Rn的自然基．
2．若1,2,,m是向量空间V中的m个向量，则1,2,,m是V的基的充分必要条件是：
1）1,2,,m线性无关；
2）V中的每个向量都可由1,2,,m线性表示． 因此，1,2,,n1是例1中V1的基，所以dimV1n1．
3．若1,2,,m是向量空间V的基，则V=L(1,2,,m)；若非零向量组1,2,,m线性相关，由于向量组1,2,,m与其极大线性无关组等价，所以1,2,,m的极大线性无关组也是向量空间L(1,2,,m)的基，且有
dimL(1,2,,m)=R{1,2,,m}．
定理2 设V是向量空间，若dimVr，则V中任意r+1个向量都线性相关．
27
推论 设V是向量空间，若dimVr，则V中任意r个线性无关的向量组都是V的一个基．
如，向量组1＝(1，1，1)T，2＝(0，1，1)T，3＝(0，0，1)T线性无关，所以1,2,3也是R3的基．
若1,2,,m是向量空间V的一个基，则V中任一向量可唯一地表示为 k1k2 ＝k11k22kmm =1,2,,mkm 定义3：上式中的数组k1,k2,,km称为向量在基1,2,,m下的坐标． 如，Rn中的向量在Rn的自然基下的坐标就是该向量的分量． 注意：向量空间V中的向量在V的不同基下的坐标是不同的．
三、向量的内积
定义4：设有n维向量
(x1,x2,,xn)，(y1,y2,,yn)
x1y1xyxnyn 令 [,]22TT则称[,]为与的内积．
结论：1．内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．
2．内积可用矩阵乘法表示为
[,]x1y1x2y2xnyn＝x1,x2,,xny1y2＝T． yn内积的性质：（设,,是n维向量，k是实数） （1）[,]＝[,]； （2）[k,]=k[,]；
（3）[,]＝[,]＋[,]；
28
（4）[,]0，当且仅当＝0时，[,]＝0． 定义5：设(x1,x2,,xn)T，令
||||＝[,]则称||||为n维向量的长度（或范数）．
当||||＝1时，称为单位向量． 向量长度的性质：
x1x2xn，
222（1）非负性 |||| 0，当且仅当＝0时，||||＝0； （2）齐次性 ||k|| = |k|||||，k是实数； （3）柯西－施瓦茨不等式 |[,]||||| ||||； （4）三角不等式 ||||||||＋||||．
对任一n维向量，若0，则向量
是单位向量，因为
11．
上述得到的单位向量
，通常称为把向量单位化．
定义6：当0，0时，
[,]arccos
称为n维向量与的夹角.
如，＝(1，2，2，3)，＝(3，1，5，1)的夹角是
[,]1832622T
T
arccos＝arccosarccos4．
定义7：若两向量与的内积等于零，即
[,]＝0，
则称向量与正交，记作．
29
显然，零向量与任意向量都正交．当0，0时，与的夹角是
2．
定义8：若n维向量1,2,,m不含零向量，且1,2,,m中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该正交向量组为标准正交向量组． 定理3 正交向量组是线性无关向量组． 证 设1,2,,m是正交向量组，若
k11k22kmm=0，
则对任意i（i=1，2，„，m），
[i,k11k22kmm]=[i,0]=0，
于是
k1[i,1]k2[i,2]km[i,m]=0，
由正交性，得ki[i,i]=0，因为i0，所以ki=0（i=1，2，„，m），从而1,2,,m线性无关． 证毕
四、标准正交基和正交矩阵
1．标准正交基的定义
定义9：设1,2,,m是向量空间V的一个基．
（1）若1,2,,m是正交向量组，则称1,2,,m是V的正交基； （2）若1,2,,m是标准正交向量组，则称1,2,,m是V的标准正交基． 如，n维单位坐标向量组1,2,,n是Rn的一个标准正交基． 又如，
e1121,e,e23613121 61302613
30
也是R3的一个标准正交基．
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来．设e1,e2,,er是向量空间V标准正交基，V，则
x1e1x2e2xrer．
用ei与上式两边作内积，即得
xi[,ei](i1,2,,r)．
2．施密特正交化
在一般情况下，问题所给出的基往往不一定是标准正交基，这就需要把它正交化、单位化，从而得到标准正交基．
设1,2,,r是向量空间V的基． 首先把这组基化为正交基，为此取
11，
再取
22k11（k1为待定系数），
则20，令[2,1][2,1]k1[1,1]0，得k1[2,1][1,1][2,1][1,1]，所以
221；
类似地，再取33k11k22(k1,k2是待定系数），30，令
[3,1][3,1]k1[1,1]k2[2,1]0， [3,2][3,2]k1[1,2]k2[2,2]0，
得
所以
k1[3,1][1,1]，k2[3,2][2,2]，
31
33继续做下去，„，可得
[3,1][1,1]1[3,2][2,2]2；
rr[r,1][1,1]1[r,2][2,2]2[r,r1][r1,r1]r1，
从而得到向量空间V的正交基1,2,,r．
再令eii||i||(i1,2,,r)，就得到向量空间V的标准正交基e1,e2,,er．
上面由基1,2,,r化为正交基1,2,,r的过程称为施密特正交化过程． 例3 设1＝(1，1，1，1)T，2＝(3，3，－1，－1)T，3＝(－2，0，6，8)T，试用施密特正交化方法将向量组1,2,3标准正交化．
解 令1＝1＝(1，1，1，1)T， 22[2,1][1,1]1＝(3，3，－1，－1)
T
44(1，1，1，1)，
T
＝(2，2，－2，－2)T，
33[3,1][1,1]1[3,2][2,2]T
T
2=(－2，0，6，8)－
124(1，1，1，1)T
－
(32)16(2，2，－2，－2)=(－1，1，－1，1)，
T
再把它们单位化，令
e11||1||=
12(1，1，1，1)T，
e22||2||＝
1412(2，2，－2，－2)T，
e33||3||＝
(－1，1，－1，1)T，
e1,e2,e3即为所求．
3．正交矩阵的定义及性质
32
定义10：若n阶方阵A满足ATAE，则称A为正交矩阵，简称正交阵． 显然，单位矩阵是正交矩阵．
定理4 设A是n阶方阵，则下列各条件等价. （1）A是正交矩阵； （2）AATE； （3）A1AT；
（4）A的列向量组是标准正交向量组； （5）A的行向量组是标准正交向量组． 正交矩阵的性质：
1）若A是正交矩阵，则A1，AT也是正交矩阵； 2）若A,B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵； 3）若A是正交矩阵，则|A|=1或1． 例4 判别下列矩阵是否为正交矩阵．.
（1）0261313121611112231111. ， （2）2261111323解 （1）是正交矩阵，因为易验证该矩阵的列向量组是标准正交向量组． （2）不是正交矩阵， 因为该矩阵第1列和第2列的内积是
1(12)(12)11312560
即该矩阵的列向量组不是标准正交向量组，所以该矩阵不是正交矩阵．
33
第五讲 习题课
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌
握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.
教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
1 内容精要
n维向量的定义与运算；线性表示与线性相关性；极大线性无关组与向量组的秩；向
量空间的基本概念与向量的内积．
2 知识脉络图
概念运算（加法、数乘）及其性质定义及判定线性（组合）表示向量组的等价（定义、判定）定义及判定定义及求法线性相（无）关极大线性无关组定义向量组的秩求法n维向量基本概念向量空间基变换与坐标变换 定义及性质向量的长度、夹角、正交向量的内积定义标准正交基施密特正叫化方法正交矩阵（定义、判定、性质）3典型例题:
34
例1 已知有向量组1(1,4,0,2)T,2(2,7,1,3)T,3(0,1,1,a)T与向量(3,10,b,4)T，问a,b为何值时
（1）不能由1,2,3线性表示；
（2）能由1,2,3唯一地线性表示，并写出表示式；
（3）能由1,2,3线性表示，但表示式不唯一，并写出两个表示式． 分析 要讨论能否由1,2,3线性表示及表示式情况，需看矩阵(1,2,3)与矩阵(1,2,3,)的秩是否相等，若不相等则不能表示；若相等且等于3则可唯一表示；若相等且小于3则可多种表示．因此要解答本题，需先对矩阵(1,2,3,)作行初等变换化为阶梯形矩阵，然后再讨论矩阵的秩对本题作出解答．
解 因为
1247(1,2,3,)01231r3r20r4r1002100010a131r24r1110042r1r01ba403100021000211101a103121ba220b230 （3.1）
23r4rb20所以
（1）当b2时，R(1,2,3,)R(1,2,3)1R(1,2,3)，不能由1,2,3线性表示；
R(1,2,3,)R(1,2,3)3，（2）当b2,a1时，能由1,2,3唯一地线性表示．为写出表示式，将a,b值代入式(3.1)最后一个矩阵并对其作行初等变换，
10003r1r123a1r12r211201)r1(00a100000200100102
a10000 35
由此可知，122．
（3）当b2,a1时，R(1,2,3,)R(1,2,3)2，3能由
线性表示，且表示式不唯一．为写出表示式，将a,b值代入式(3.1)最后一个1,2,3矩阵并对其作行初等变换，
10002100031r12r21201)r1(0000000100210012 00由此可知，122或3123
注 1）R(A)表示矩阵A的秩．
2）若以向量1,2,,m,为列的矩阵A(1,2,,m,)，经行初等变换变成以向量1,2,,m,为列的矩阵B(1,2,,m,)，则k11k22kmmk11k22mkm ．
比如，若将例3中情况（3）的最后一个矩阵的列向量用1,2,3,表示，则易知122或3123，于是就有122或3123．
3）当能由1,2,3线性表示，且表示式不唯一时，到底有多少种表示式，能否把一般的表示式写出，目前还不能解决．但在第四章用解线性方程组的方法就能解决这些问题．
例2 若向量组1,2,,m与向量组1,2,,m满足关系式
(1,2,,m)(1,2,,m)A
其中A是mm矩阵，则
1）当A不可逆时，1,2,,m线性相关；
1,2,,m线性相关充分必要条件是1,2,,m线性相关；2）当A可逆时，
3）当1,2,,m线性无关时，1,2,,m线性相关充分必要条件是A不可逆．
36
证明 1）因为A不可逆，所以R(A)m，由矩阵秩的性质得
R(1,2,,m)R(A)m
故1,2,,m线性相关．
2）因为A可逆，所以由(1,2,,m)(1,2,,m)A，有
(1,2,,m)A1(1,2,,m)
因此向量组1,2,,m与向量组1,2,,m等价，从而有
R(1,2,,m)R(1,2,,m)
故，1,2,,m线性相关R(1,2,,m)m R(1,2,,m)m 1,2,,m线性相关．
3）当1,2,,m线性相关时，若A可逆，则由2）知1,2,,m线性相关与已知条件矛盾，故A不可逆．反之，当A不可逆时，由1）知1,2,,m线性相关． 注 本例题结论常用来判断，能由某一向量组线性表示的向量组的线性相关性．
例3 设向量组1,2,3,4线性无关，讨论下列各向量组的线性相关性． （1）12,23,34,41； （2）12,23,34,41； （3）12,23,34,41； （4）12,23,34,41．
分析 因为本题中各组向量均可由线性无关向量组1,2,3,4线性表示，所以本题可用例2中的结论3）判断．
解 因为
11(12,23,34,41)(1,2,3,4)000110001110 01 37
11(12,23,34,41)(1,2,3,4)0011(12,23,34,41)(1,2,3,4)0011(12,23,34,41)(1,2,3,4)0001100110011000110011001110 0110 0110 01而 11000110001110010，
11000110001110010，
11000110001110012，
11000110001110010
所以向量组（1）、（2）、（4）线性相关，向量组（3）线性无关．
TTT例4 确定a取何值时，向量组1(1,1,a),2(1,a,1),3(a,1,1)与向
TTT量组1(1,1,a),2(2,a,4),3(2,a,a)有下列关系？
（1）1,2,3可由1,2,3线性表示，但1,2,3不能由1,2,3线性表示；
（2）1,2,3不能由1,2,3线性表示，但1,2,3能由1,2,3线性表示；
（3）1,2,3与1,2,3等价；
（4）1,2,3不能由1,2,3线性表示，1,2,3也不能由1,2,3线性表示．
分析 向量组1,2,3与向量组1,2,3间的线性表示关系，是由
R(1,2,3)，R(1,2,3)，R(1,2,3,1,2,3)这三个数确定的．
解 对矩阵(1,2,3,1,2,3)与矩阵(1,2,3)作行初等变换：
38
11a1(1,2,3,1,2,3)1a11a11a11a0a11a01a1a2r2r1r2ar12a42aa
1002a242a2a2a2a1r3r2001a10a1a(a1)(a2)2a41002a23a622a2
4a21(1,2,3)1a21r2r1r3ar1a00a2a2a20a422a2a242a3a
1r32r200所以
（1）当a1时，
R(1,2,3)1R(1,2,3,1,2,3)R(1,2,3)3
此时，1,2,3可由1,2,3线性表示，但1,2,3不能由1,2,3线性表示．
（2）当a4时，
R(1,2,3)R(1,2,3,1,2,3)3R(1,2,3)2
此时，1,2,3不能由1,2,3线性表示，但1,2,3能由1,2,3线性表示．
（3）当a1,2,4时，
R(1,2,3)R(1,2,3,1,2,3)R(1,2,3)3
此时，1,2,3与1,2,3等价．
（4）a2时，
R(1,2,3)R(1,2,3)2R(1,2,3,1,2,3)3
此时，1,2,3不能由1,2,3线性表示，1,2,3也不能由1,2,3线
39
性表示．
注 对于向量组1,2,,m与向量组1,2,,s有下列结论：
（1）R(1,2,,m)R(1,2,,m,1,2,s)R(1,2,,s) 充分必要条件是，1,2,,s可由1,2,,m线性表示，但1,2,,m不能由1,2,,s线性表示．
（2）R(1,2,,m)R(1,2,,m,1,2,s)R(1,2,,s) 充分必要条件是，1,2,,m可由1,2,,s线性表示，但1,2,,s不能由1,2,,m．
（3）R(1,2,,m)R(1,2,,m,1,2,s)R(1,2,,s) 充分必要条件是，1,2,,m与1,2,,s等价．
（4）R(1,2,,m),R(1,2,s)R(1,2,3,1,2,,s) 充分必要条件是，1,2,,m不能由1,2,,s线性表示，且1,2,,s也不能由1,2,,m线性表示．
TTT例5 求向量组1(1,1,1,3),2(1,3,5,1),3(3,2,1,k2)，
4(2,6,10,k)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线
T性表示．
分析 因为向量组1,2,3,4的秩等于矩阵(1,2,3,4)的秩，所以只需对矩阵(1,2,3,4)做行初等变换化为阶梯形矩阵即可求出向量组的秩，在每一个阶梯上取一列，则这些列所对应的向量构成的向量组即为已知向量组的一个极大线性无关组．另外，由于向量的分量中含有参数k，所以向量组的秩和极大线性无关组与k的取值有关．
解 因为
40
32113211r2r1r3r113260214r43r1(1,2,3,4)151100641231k2k04k7k61r1r32710r33r22r42r202100700k91r1r2204 0k2000111k9r4r3r302040770007000k200所以
1r2r371r220100001002 0k2（1）当k2时，R{1,2,3,4}＝4，极大线性无关组是向量组自身． （2）当k2时，R{1,2,3,4}＝3，一个极大线性无关组是1,2,3，且
422．
注 若以向量1,2,,m为列的矩阵A(1,2,,m)，经初等行变换变成以向量1,2,,m为列的矩阵B(1,2,,m)，则向量组1,2,,m与向量组1,2,,m有相同的线性关系．
比如，在例5中k2时，最后一个矩阵的列向量用1,2,3,4表示，则易知1,2,3是极大线性无关组，且422．于是对应于原向量组1,2,3,4的一个
极大线性无关组是1,2,3，且422．
例6 已知向量组1,2,,r线性无关，且1,2,,r可由向量组
1,2,,r线性表示．证明，1,2,,r与1,2,,r等价．
分析 思路一，因为已知1,2,,r可由1,2,,r线性表示，所以要证两向量组等价，只需证明1,2,,r也可由1,2,,r线性表示，即1,2,,r中的每一个向量都可由1,2,,r线性表示即可．
思路二，根据两个向量组等价的充分必要条件，只需证明三个向量组（I）
41
（II）1,2,,r；（III）1,2,,r,1,2,,r的秩相等1,2,,r；即可．
证明一 因为1,2,,r可由1,2,,r线性表示，所以对任意i(i1,2,,r)，向量组1,2,,r,i可由1,2,,r线性表示，所以，
于是1,2,,r,i线性相R{1,2,,r,i}R{1,2,,r}rr1，
关，又已知1,2,,r线性无关，所以i(i1,2,,r)可由1,2,,r线性表示，从而1,2,,r可由1,2,,r线性表示，因此1,2,,r与
1,2,,r等价．
证明二 因为1,2,,r可由1,2,,r线性表示，且1,2,,r线性无关，所以
rR{1,2,,r}R{1,2,,r,1,2,,r}R{1,2,,r}r
从而有
R{1,2,,r}R{1,2,,r,1,2,,r}R{1,2,,r}r
故1,2,,r与1,2,,r等价．
TTT例8 设1(2,1,2),2(1,0,1),3(1,4,k)．
1）k取何值时，1,2,3是R3的基． 2）由1,2,3求出R3的一个标准正交基．
分析 1）因为R3的维数是3，所以要使1,2,3成为R3的基，只需使1,2,3线性无关即可．2）只需将1,2,3标准正交化即可．
解 1）因为
42
2(1,2,3)121011r2rr132r224k10070101014k87
0r3r110r1r24k11000107k14所以，k1时，1,2,3是R3的基．
2）取k0，则由1）知1(2,1,2),基．对这个基实施施密特正交化．
令11 22
[2,1][1,1]T1(,0,21),(1,4,0)3TT是R3的
1(1,0,1)T49(2,1,2)T19(1,4,1)
T33(12[3,1][1,1],0,12)T1[3,2][2,2]2(1,4,0)T69(2,1,2)T15129(1,4,1)T再令，11||1||19(2,1,2)
T 22||2||132(1,4,1)
T 33||3||22(1,01)
T则1,2,3R3的一个标准正交基．
注 由施密特正交化过程可知：若线性无关向量组1,2,,r经施密特正交化过程得到正交向量组1,2,,r，则1,2,,(t1,2,r,．
t与1,2,,t等价
例如，例17中1与1等价，1,2与1,2等价，1,2,3与1,2,3等价．
43
4练习：
1．设(2,2k1,T2),(T4,2,3)T，,求数k使得
．
2．设向量组1(1,2,0)T,2(1,a2,3a)T,3(1,b2,a2b)T与向量(1,3,3)T，问a,b为何值时
（1）不能由1,2,3线性表示；
（2）能由1,2,3唯一地线性表示，并写出表示式；
（3）能由1,2,3线性表示，但表示式不唯一，并写出两个表示式． 3．确定a取何值时，向量组1(1,0,2)T,2(1,1,3)T,3(1,1,a2)T与
TTT向量组1(1,2,a3),2(2,1,a6),3(2,1,a4)有下列关系？
（1）1,2,3可由1,2,3线性表示，但1,2,3不能由1,2,3线性表示；
（2）1,2,3不能由1,2,3线性表示，但1,2,3能由1,2,3线性表示；
（3）1,2,3与1,2,3等价；
（4）1,2,3不能由1,2,3线性表示，1,2,3也不能由1,2,3线性表示．
4．设1,2,问当h,k满足什么条件时，h21,k32,133线性无关，也线性无关．
5
．
设
2Tt1,t2,t3为
2互不
T相等
2的常
T数，讨论向量组
1(1,t1,t1),2(1,t2,t2),3(1,t3,t3)的线性相关性.
6．证明，对任意实数a，向量组
1(a,a,a,a),2(a,a1,a2,a3),3(a,2a,3a,4a)
TTT线性相关．
44
7．设n维向量组1,2,,n线性无关，若
n1k11k22knn
且ki0(i1,2,,n)，则1,2,,n,n1中任意n个向量都线性无关．
45
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容