一、总体与样本 (一) 总体与个体
在一个统计问题中，称研究对象的全体为总体，构成总体的每个成员称为个体。若关心的是研究对象的某个数量指标，那么将每个个体具有的数量指标 称为个体，这样一来，总体就是某数量指标值 的全体 (即一堆数)，这一堆数有一个分布，从而总体可用一个分布描述，简单地说，总体就是一个分布。统计学的主要任务就是:
(1)研究总体是什么分布?
(2)这个总体 (即分布)的均值、方差 (或标准差)是多少?
[例1.3-1] (1) 对某产品仅考察其合格与否，记合格品为0，不合格品为1，那么:
总体={该产品的全体}={由0或1组成的一堆数},这一堆数的分布是什么呢? 若记1在总体中所占比例为P，则该总体可用二点分布b(1,p)(n=l的二项分布)表示:
X0 1 P
比如，有两个工厂生产同一产品，甲厂的不合格品率 ，乙厂的不合格品率 ，甲乙两厂所生产的产品(即两个总体)分别用如下两个分布描述：
X甲0 1 P X乙0 1 P
如此认识总体，既能看到总体的本质，又能看到不同总体的差别。 (2)考察某橡胶件的抗张强度，它可用0到∞上一个实数表示，这时总体可用区间 [0，∞)上的一个概率分布表示。国内外橡胶业对其抗张强度有较多研究，认为橡胶件的抗张强度服从正态分布 ，该总体常称为正态总体。这时统计要研究的问题是:正态均值 是多少?正态分布方差 是多少?又如若对橡胶件进行技术改进，如通过改进配料，提高了该橡胶件抗张强度的均值。这时我们要研究的问题是:技术改进前后的正态均值有多大改变?
(3)用非对称分布 (即偏态分布)描述的总体也是常见的。比如某型号电视机寿命的全体所构成的总体就是一个偏态分布
(二)样本
从总体中抽取部分个体所组成的集合称为样本。样本中的个体有时也称为样品，样本中所包含的个体的个数称为样本量，常用n表示。
人们从总体中抽取样本是为了认识总体，即从样本推断总体，如推断总体是什么类型的分布?总体均值为多少? 总体的标准差是多少? 为了使此种统计推断有所依据，推断结果有效，对样本的抽取应有所要求。
满足下面两个条件的样本称为简单随机样本，简称随机样本。
(1)随机性。总体中每个个体都有相同的机会入样。比如，按随机性要求抽出5个样品，记为 ，则其中每一个个体的分布都应与总体分布相同。只要随机抽样就可保证此点实施。
(2)独立性。从总体中抽取的每个个体对其他个体的抽取无任何影响。假如总体是无限的，独立性容易实现;若总体很大，特别地，与样本量n相比是很大时，即使总体是有限的，此种抽样独立性也可得到基本保证。
综上两点，随机样本 可以看做n个相互独立的、同分布的随机变量，每一个个体的分布与总体分布相同。今后讨论的样本都是指满足这些要求的简单随机样本。在实际中抽样时，也应按此要求从总体中进行抽样。这样获得的样本能够很好地反映实际总体。图1.3-3显示两个不同的总体，图上用虚线画出的曲线是两个未知总体。若是按随机性和独立性要求进行抽样，则机会大的地方 (概率密度值大)被抽出的样品就多;而机会少的地方 (概率密度值小),被抽出的样品就少。分布愈分散，样本也很分散;分布愈集中，样本也相对集中。
抽样切忌受到干扰，特别是人为干扰。某些人为的倾向性会使所得样本不是简单随机样本，从而使最后的统计推断失效。
若 是从总体X中获得的样本，那么 是独立同分布的随机变量。样本的观测值用 表示，这也是我们常说的数据。有时，为了方便起见，不分大写与小写，样本及其观测值都用 表示，今后将采用这一方法表示。
[例1.3-2] 样本的例子及表示方法。
(1)某食品厂用自动装罐机生产净重为345g的午餐罐头。由于生产中众多因素的干扰，每只罐头净重都有差别，现从生产线上随机抽10个罐头，称其净重，得：
344336345342340338344348344346
这就是样本量为10的一个样本，它是来自该生产线上罐头净重这个总体的一个样本。
(2)某型号的20辆汽车记录了各自每加仑汽油行驶的里程数(单位：km)如下：
29.827.628.328.727.930.129.928.028.727.9
28.529.527.226.928.427.928.030.029.629.1
这是来自该型号汽车每加仑汽油行驶里程这个总体的一个样本，样本量是20。
(3)(分组样本)对363个零售商店调查其周零售额(单位：千元)的结果如下表1.3-1所示：
表1.3-1 周零售额的调查结果(单位：千元) 零售额(1,5](5,10](10,20](20,30] 商店数611351104215
这是一个样本量为363的样本，对应的总体是该地区全部零售商店的周零售额。这个样本与前两个样本不同，它仅给出样本所在区间，没有给出具体的零售额。这样做虽会失去一些信息，但要准确获得每个零售店的周零售额并非易事，能做到的是把区间再缩小一些。这种样本称为分组样本。在样本量n很大时，比如几百甚至上千个，罗列所有数据非常不便，且使人眼花缭乱，不得要领，这时可把样本作初步整理转化为分组样本并加以表达，这样可立即给人一个大致的印象。以后在作频率直方图时，也要用到这个方法。
(4)(有序样本)设 是从某总体随机抽取的一个样本。将它们按从小到大的顺序排列为 ，这便是有序样本。比如，在本例中(1)的样本量为10的样本，经排序可得如下的有序样本：
从有序样本可获得一些有用信息。比如，样本中的最小值为 ，最大值为 ，两者之差,即样本极差 。这些量对我们认识生产线都是有帮助的。
二、频数 (频率)直方图
(一) 直方图的作法
为研究一批产品的质量情况，需要研究它的某个质量特性 (这里为了叙述简单起见，仅讨论一个质量特性，有必要时也可以同时讨论多个质量特性)X的变化规律。为此，从这批产品(总体)中抽取一个样本 (设样本量为n)，对每个样本产品进行该特性的测量 (观测)后得到一组样本观测值，记为 ，这便是我们通常说的数据。
为了研究数据的变化规律，需要对数据进行一定的加工整理。直方图是为研究数据变化规律而对数据进行加工整理的一种基本方法。下面用一个例子来说明直方图的概念及其作法。
[例1.3-3] 食品厂用自动装罐机生产罐头食品，从一批罐头中随机抽取100个进行称量，获得罐头的净重数据如下:
342352346344343339336342347340
340350347336341349346348342346 347346346345344350348352340356 339348338342347347344343349341 348341340347342337344340344346 342344345338351348345339343345 346344344344343345345350353345 352350345343347354350343350344 351348352344345349332343340346 342335349348344347341346341342
为了解这组数据的分布规律，对数据作如下整理:
(1)找出这组数据中的最大值 ,及最小值 ，计算它们的差R= - ,R称为极差，也就是这组数据的取值范围。在本例中 =356, , =332，从而R=356-332=24。
(2)根据数据个数，即样本量n，决定分组数k及组距h。
一批数据究竟分多少组，通常根据n的多少而定，不过这也不是绝对的，表1.3-2是可以参考的分组数。
表1.3-2 直方图分组组数选用表 样本量推荐组数 50~100 101~250 250以上6~10 7~12 10~20
选择k的原则是要能显示出数据中所隐藏的规律，组数不能过多，但也不能太少。
每一组的区间长度，称为组距。组距可以相等，也可以不相等。组距相等的情况用得比较多，不过也有不少情形在对应于数据最大及最小的一个或两个组，使用与其他组不相等的组距。对于完全相等的组距，通常取组距h为接近R/k的某个整数值。
在本例中，n=100，取k=9，R/k=24/9=2.7，故取组距h=3。
(3)确定组限(即每个区间的端点)及组中值。为了避免一个数据可能同时属于两个组，因此通常将各组的区间确定为左开右闭的:
通常要求 ， 。在等距分组时 ，而每一组的组中值 。 在本例中取 =331.5，则每组的组限及组中值。 (4)计算落在每组的数据的频数及频率
确定分组后，统计每组的频数，即落在组中的数据个数 以及频率 ，列出每组的频数、频率表。
(5)作频数频率直方图
在横轴上标上每个组的组限，以每一组的区间为底，以频数(频率)为高画一个矩形，所得的图形称为频数 (频率)直方图，如图1.3-4。在本例中频数直方图及频率直方图的形状是完全一致的，这是因为分组是等距的。该图特点是:中间高，两边低，左右基本对称。这说明:这个样本可能取自某正态总体。
在分组不完全等距的情形，在作频率直方图时，应当用每个组的频率与组距的比值 为高作矩形，此时以每个矩形的面积表示频率。
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