山东省德州市2022年中考数学真题试题(含解析)

2022年山东省德州市中考数学试卷

一、选择题〔本大题共12小题，共48.0分〕 1. -2的倒数是〔 〕

A. −2

B. 2

11C. 2 D. 1

2. 以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔 〕

A. B. C. D.

3. 据国家统计局统计，我国 2022年国民生产总值〔GDP〕为900300亿元．用科学记

数法表示900300亿是〔 〕 A. 9.003×1012 B. 90.03×1012 C. 0.9003×1014 D. 9.003×1013 4. 以下运算正确的选项是〔 〕

A. (−2𝑎)2=−4𝑎2 B. (𝑎+𝑎)2=𝑎2+𝑎2 C. (𝑎5)2=𝑎7 D. (−𝑎+2)(−𝑎−2)=𝑎2−4

𝑎5. 假设函数y=𝑎与y=ax2+bx+c的图象如下图，那么函数y=kx+b的大致图象为〔 〕

A. B.

C. D.

6. 不等式组{15𝑎+2＞3(𝑎−1)𝑎−1≤7−2𝑎23的所有非负整数解的和是〔 〕

A. 10 B. 7 C. 6 D. 0 7. 以下命题是真命题的是〔 〕

A. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B. 平分弦的直径垂直于

C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8. ?孙子算经?中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；

屈绳量之，缺乏一尺．木长几何？〞意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩

1

余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，那么可列二元一次方程组为〔 〕

𝑎−𝑎=4.5𝑎−𝑎=4.5𝑎−𝑎=4.5𝑎−𝑎=4.5A. {𝑎−1𝑎=1 B. {𝑎−1𝑎=1 C. {1𝑎−𝑎=1 D. {1𝑎−𝑎=1

22229. 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，假设∠ABC=40°，

那么∠ADC的度数是〔 〕

A. 130∘ B. 140∘ C. 150∘

11D. 160∘

10. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字4，2，1的卡片，乙中有三张标

有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差异，现制定一个游戏规那么：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．假

2

设a，b能使关于x的一元二次方程ax+bx+1=0有两个不相等的实数根，那么甲获胜；否那么乙获胜．那么乙获胜的概率为〔 〕 A. 3

2B. 9

5C. 9

4D. 3

𝑎2−𝑎1111. 在以下函数图象上任取不同两点P1〔x1，y1〕、P2〔x2，y2〕，一定能使𝑎2−𝑎1＜0

成立的是〔 〕

A. 𝑎=3𝑎−1(𝑎<0) C. 𝑎=−√(𝑎>0)

𝑎3B. 𝑎=−𝑎2+2𝑎−1(𝑎>0) D. 𝑎=𝑎2−4𝑎−1(𝑎<0)

12. 如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，

垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，

使BG=2BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；②AN=√AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB=1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是〔 〕 A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④

二、填空题〔本大题共6小题，共24.0分〕 13. |x-3|=3-x，那么x的取值范围是______． 14. 方程(𝑎+1)(𝑎−1)-𝑎−1=1的解为______．

15. 如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这

时测得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，那么梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50°，那么AC的长度约为______米．〔sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.〕

2

63124

16. ：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]=4，[-0.8]=-1．现定义：{x}=x-[x]，

例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，那么{3.9}+{-1.8}-{1}=______．

𝑎𝑎⏜=𝑎𝑎⏜，17. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，

CE=1，AB=6，那么弦AF的长度为______． 18. 如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y=𝑎〔x＞0〕的图象上，点A2、A4、A6……在反

𝑎比例函数y=−𝑎〔x＞0〕的图象上，∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°，且OA1=2，那么An〔n为正整数〕的纵坐标为______．〔用含n的式子表示〕

𝑎

三、计算题〔本大题共1小题，共10.0分〕

19. **总说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩

然之气〞．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，假设进馆人次的月平均增长率相同． 〔1〕求进馆人次的月平均增长率；

〔2〕因条件，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

四、解答题〔本大题共6小题，共68.0分〕 20. 先化简，再求值：〔𝑎-𝑎〕÷〔

2

21𝑎2𝑎𝑎2+𝑎25𝑎-𝑎〕•〔2𝑎+𝑎+2〕，其中√𝑎+1+〔n-3〕𝑎𝑎=0．

3

21. ?中学生体质健康标准?规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～分为良好，

60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下： 七年级 80 八年级 74 74 61 83 83 63 91 90 60 91 85 74 46 61 84 82 74 62 82 〔1〕根据上述数据，补充完成以下表格． 整理数据：

优秀 良好 及格 不及格 七年级 八年级 分析数据： 年级 七年级 八年级 2 1 平均数 76 ______ 3 4 众数 74 74 5 ______ 0 1 中位数 77 ______ 〔2〕该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级到达优秀的学生共有多少人？ 〔3〕结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．

22. 如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2√3．

〔1〕用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保存作图痕迹；

〔2〕根据〔1〕的作法，结合已有条件，请写出和求证，并证明； 〔3〕求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

4

23. 下表中给出A，B，C三种 通话的收费方式．

收费方式 月通话费/元 30 50 100 包时通话时间/h 25 50 不限时 超时费/〔元/min〕 0.1 0.1 A B C 〔1〕设月通话时间为x小时，那么方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式． 〔2〕填空：

假设选择方式A最省钱，那么月通话时间x的取值范围为______； 假设选择方式B最省钱，那么月通话时间x的取值范围为______； 假设选择方式C最省钱，那么月通话时间x的取值范围为______；

〔3〕小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．

24. 〔1〕如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接

写出HD：GC：EB的结果〔不必写计算过程〕

〔2〕将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；

〔3〕把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与〔2〕小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果〔不必写计算过程〕；假设无变化，请说明理由．

5

25. 如图，抛物线y=mx2-2mx-4与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，

0〕两点，与y轴交于点C，且x2-x1=2．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕假设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥2时，均有y1≤y2，求a的取值范围； 〔3〕抛物线上一点D〔1，-5〕，直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．

9115

6

答案和解析

1.【答案】A 【解析】

解：-的到数是-2，

应选：A．

根据倒数的定义求解即可．

此题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2.【答案】B 【解析】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误， B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确， C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误， D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 应选：B．

根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．

题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两局部完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中． 3.【答案】D 【解析】

解：将900300亿元用科学记数法表示为：9.003×1013． 应选：D．

n

科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】D 【解析】

解：〔-2a〕2=4a2，应选项A不合题意； 〔a+b〕2=a2+2ab+b2，应选项B不合题意； 〔a5〕2=a10，应选项C不合题意；

2

〔-a+2〕〔-a-2〕=a-4，应选项D符合题意． 应选：D．

按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择． 此题考查整式的运算，掌握各运算法那么是关键，还要注意符号的处理． 5.【答案】C 【解析】

解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0， 根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，

∴函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限， 应选：C．

首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．

此题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．

7

6.【答案】A 【解析】 解：

，

解不等式①得：x＞-2.5， 解不等式②得：x≤4，

∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，

∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10， 应选：A．

分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．

此题主要考查解一元一次不等式组的根本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键． 7.【答案】C 【解析】

解：A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；

B、平分弦〔非直径〕的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；

C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题； 应选：C．

A、根据全等三角形的判定方法，判断即可． B、根据垂径定理的推理对B进行判断； C、根据平行四边形的判定进行判断； D、根据平行线的判定进行判断．

此题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 8.【答案】B 【解析】

解：设绳长x尺，长木为y尺， 依题意得应选：B．

此题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-绳长=1，据此可列方程组求解． 此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 9.【答案】B 【解析】

解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如下图， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=40°， ∴∠ADC=140°， 应选：B．

8

，

根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解此题的关键． 10.【答案】C 【解析】

解：〔1〕画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数， ∴乙获胜的概率为，

应选：C．

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得乙获胜的概率

此题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 11.【答案】D 【解析】

解：A、∵k=3＞0

∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2 ∴当x＜0时，

＞0，

故A选项不符合；

B、∵对称轴为直线x=1，

∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小， ∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2 此时

＞0，

故B选项不符合；

C、当x＞0时，y随x的增大而增大， 即当x1＞x2时，必有y1＞y2 此时

＞0，

故C选项不符合；

D、∵对称轴为直线x=2，

∴当x＜0时y随x的增大而减小， 即当x1＞x2时，必有y1＜y2 此时

＜0，

故D选项符合； 应选：D．

根据各函数的增减性依次进行判断即可．

此题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，有点难度．

9

12.【答案】C 【解析】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°， ∵CE⊥DF，

∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADF=∠DCE， 在△ADF与△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE〔ASA〕， ∴DE=AF；故①正确； ∵AB∥CD， ∴

=

，

∵AF：FB=1：2，

∴AF：AB=AF：CD=1：3， ∴∴∵AC=∴∴AN=

=， =， AB， =，

AB；故②正确；

a，

作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，那么AB=CD=BC=3a，EC=由△CMD∽△CDE，可得CM=由△GHC∽△CDE，可得CH=∴CH=MH=CM，

∵GH⊥CM， ∴GM=GC，

∴∠GMH=∠GCH，

∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°， ∴∠FEG=∠DCE， ∵∠ADF=∠DCE，

∴∠ADF=∠GMF；故③正确， 设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴

=

=

，△AFN∽△CDN，

a， a，

∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB=1：11，故④错误，

10

应选：C．

①正确．证明△ADF≌△DCE〔ASA〕，即可判断．

②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，那么AB=CD=BC=3a，EC=a，通过计算证明MH=CH即可解决问题．

④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出

=

=

，△AFN∽△CDN，推出

△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积=△ABC的面积=12m，由此即可判断．

此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 13.【答案】x≤3 【解析】 解：3-x≥0， ∴x≤3；

故答案为x≤3；

根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3-x≥0，即可求解； 此题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键． 14.【答案】x=-4 【解析】 解：

-=1，

=1，

=1，

=1，

x+1=-3， x=-4，

经检验x=-4是原方程的根； 故答案为x=-4；

根据分式方程的解法，先将式子通分化简为

=1，最后验证根的情况，进而求解；

此题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，勿遗漏验根环节是解题的关键．

15.【答案】1.02 【解析】

解：由题意可得：

∵∠ABO=70°，AB=6m， ∴sin70°=

=

≈0.94，

解得：AO=5.〔m〕， ∵∠CDO=50°，DC=6m， ∴sin50°=

≈0.77，

解得：CO=4.62〔m〕，

那么AC=5.-4.62=1.02〔m〕， 答：AC的长度约为1.02米．

11

故答案为：1.02．

直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键． 16.【答案】0.7 【解析】

解；根据题意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7， 故答案为：0.7

根据题意列出代数式解答即可．

此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答． 17.【答案】5

【解析】

解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图， ∵AB⊥CD， ∴AE=BE=AB=3，

设⊙O的半径为r，那么OE=r-1，OA=r， 在Rt△OAE中，32+〔r-1〕2=r2，解得r=5， ∵

=

，

48∴OB⊥AF，AG=FG，

222

在Rt△OAG中，AG+OG=5，①

222

在Rt△ABG中，AG+〔5-OG〕=6，② 解由①②组成的方程组得到AG=∴AF=2AG=故答案为

． ．

，

连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE=BE=3，设⊙O的半径为r，那么OE=r-1，OA=r，根据勾股定理得到32+〔r-1〕2=r2，解得r=5，再利用垂径定理得到

222222

OB⊥AF，AG=FG，那么AG+OG=5，AG+〔5-OG〕=6，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．

此题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．

n+1

18.【答案】〔-1〕√3〔√𝑎−√𝑎−1〕 【解析】

解：过A1作A1D1⊥x轴于D1， ∵OA1=2，∠OA1A2=∠α=60°， ∴△OA1E是等边三角形， ∴A1〔1，〕， ∴k=， ∴y=

和y=-，

过A2作A2D2⊥x轴于D2， ∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°， ∴△A2EF是等边三角形，

12

设A2〔x，-〕，那么A2D2=

，

Rt△EA2D2中，∠EA2D2=30°， ∴ED2=∵OD2=2+

， =x，

〔舍〕，x2=1+=

， =2〔

-1〕=2

-2，

解得：x1=1-∴EF=

=

A2D2===， ；

即A2的纵坐标为-

过A3作A3D3⊥x轴于D3，

同理得：△A3FG是等边三角形， 设A3〔x，

〕，那么A3D3=

，

Rt△FA3D3中，∠FA3D3=30°， ∴FD3=

，

-2+

=x， 〔舍〕，x2==2〔=

〔--+〕=2

； -2

，

∵OD3=2+2解得：x1=∴GF=A3D3=

==

〕，

即A3的纵坐标为〔-〕； …

n+1

∴An〔n为正整数〕的纵坐标为：〔-1〕〔〕； 故答案为：〔-1〕n+1〔〕； 先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2〔x，-〕，根据OD2=2+

=x，解方程可得等边三角形的边长和A2

的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用〔-1〕n+1来解决这个问题．

此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．

19.【答案】解：〔1〕设进馆人次的月平均增长率为x，那么由题意得： 128+128〔1+x〕+128〔1+x〕2=608 化简得：4x2+12x-7=0 ∴〔2x-1〕〔2x+7〕=0， ∴x=0.5=50%或x=-3.5〔舍〕

答：进馆人次的月平均增长率为50%．

13

〔2〕∵进馆人次的月平均增长率为50%，

∴第四个月的进馆人次为：128〔1+50%〕=128×8=432＜500

答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】

〔1〕先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；

〔2〕根据〔1〕所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比拟大小即可．

此题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．此题难度适中，属于中档题． 20.【答案】解：〔𝑎-𝑎〕÷〔

21𝑎2𝑎𝑎2+𝑎25𝑎-𝑎〕•〔2𝑎+𝑎+2〕 𝑎𝑎3

272𝑎−𝑎𝑎2+𝑎2−5𝑎2𝑎2+4𝑎2+4𝑎𝑎=𝑎𝑎÷•

𝑎𝑎2𝑎𝑎=

𝑎𝑎2𝑎−𝑎(𝑎+2𝑎)2•• 𝑎𝑎(𝑎+2𝑎)(𝑎−2𝑎)2𝑎𝑎𝑎+2𝑎=-2𝑎𝑎．

∵√𝑎+1+〔n-3〕=0． ∴m+1=0，n-3=0， ∴m=-1，n=3．

2

∴-2𝑎𝑎=-2×(−1)×3=6． ∴原式的值为6．

【解析】

先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．

此题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算． 21.【答案】74 78 【解析】

解：〔1〕八年级及格的人数是4，平均数=

，中位数=

故答案为：4；74；78；

〔2〕计两个年级体质健康等级到达优秀的学生共有200×

人；

〔3〕根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好． 〔1〕根据平均数和中位数的概念解答即可； 〔2〕根据样本估计总体解答即可； 〔3〕根据数据调查信息解答即可．

此题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．

；

5𝑎+2𝑎−1+2×35 14

22.【答案】解：〔1〕如图，

〔2〕：如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2√3，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB， 求证：PB、PC为⊙O的切线；

证明：∵∠BPD=120°，PAC=30°， ∴∠PCA=30°， ∴PA=PC， 连接OP，

∵OA⊥PA，PC⊥OC， ∴∠PAO=∠PCO=90°， ∵OP=OP，

∴Rt△PAO≌Rt△PCO〔HL〕 ∴OA=OC，

∴PB、PC为⊙O的切线；

〔3〕∵∠OAP=∠OCP=90°-30°=60°， ∴△OAC为等边三角形， ∴OA=AC=2√3，∠AOC=60°， ∵OP平分∠APC， ∴∠APO=60°，

∴AP=√×2√3=2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积=S四边形APCO-S扇形

3160⋅𝑎⋅(2√3)2=4√3-2π． AOC=2××2√3×2-23603【解析】

〔1〕过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可； 〔2〕写出、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；

〔3〕先证明△OAC为等边三角形得到OA=AC=2，∠AOC=60°，再计算出AP=2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积进行计算． 此题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种根本作图的根底上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和根本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉根本几何图形的性质，结合几何图形的根本性质把复杂作图拆解成根本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和扇形面积公式． 23.【答案】0≤x≤3

8585175≤x≤ 33 x＞

175 3【解析】

解：〔1〕∵0.1元/min=6元/h， ∴由题意可得， y1=y2=

， ，

y3=100〔x≥0〕；

〔2〕作出函数图象如图：

15

结合图象可得：

假设选择方式A最省钱，那么月通话时间x的取值范围为：0≤x≤假设选择方式B最省钱，那么月通话时间x的取值范围为：

≤x≤

． ， ，

假设选择方式C最省钱，那么月通话时间x的取值范围为：x＞故答案为：0≤x≤

，

≤x≤

，x＞

．

〔3〕∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长， ∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B， 将y=80分别代入y2=

，可得

6x-250=80， 解得：x=55，

∴小王该月的通话时间为55小时．

〔1〕根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；

〔2〕根据题意作出图象，结合图象即可作答；

〔3〕结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y=81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．

此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 24.【答案】解：〔1〕连接AG，

∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°， ∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD， ∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH， ∴HD=EB，

延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，那么GMCN也为菱

16

形，

∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°， ∴𝑎𝑎=cos30°=√， ∵GC=2OG， ∴𝑎𝑎=√3，

∵HGND为平行四边形， ∴HD=GN，

∴HD：GC：EB=1：√3：1．

𝑎𝑎1𝑎𝑎32

〔2〕如图2，连接AG，AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，

∴AD：AC=AH：AG=1：√3，∠DAC=∠HAG=30°， ∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=1：√3， ∵∠DAB=∠HAE=60°， ∴∠DAH=∠BAE， 在△DAH和△BAE中，

𝑎𝑎=𝑎𝑎{∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎=𝑎𝑎∴△DAH≌△BAE〔SAS〕 ∴HD=EB，

∴HD：GC：EB=1：√3：1．

〔3〕有变化．

如图3，连接AG，AC，

∵AD：AB=AH：AE=1：2，∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG，

∴AD：AC=AH：AG=1：√5， ∵∠DAC=∠HAG， ∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG，

∴HD：GC=AD：AC=1：√5， ∵∠DAB=∠HAE=90°，

17

∴∠DAH=∠BAE，

∵DA：AB=HA：AE=1：2， ∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE=AD：AB=1：2， ∴HD：GC：EB=1：√5：2

【解析】

〔1〕连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，那么GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论； 〔2〕连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；

〔3〕连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．

此题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大． 25.【答案】解：〔1〕函数的对称轴为：x=-2𝑎=4=将上述两式联立并解得：x1=-2，x2=4，

那么函数的表达式为：y=a〔x+2〕〔x-4〕=a〔x2-4x+2x-6〕， 即：-6a=-4，解得：a=3，

故抛物线的表达式为：y=3x2-3x-4； 〔2〕当x2=4时，y2=2，

①当a≤a+2≤4时〔即：a≤-4〕，

539252333𝑎5𝑎1+𝑎2，而且2x2-x1=2，

11y1≤y2，那么3a2-3a-4≤2，

解得：-2≤a≤-2，而a≤-4， 故：-2≤a≤−4；

②当4≤a≤a+2〔即a≥4〕时， 那么3〔a+2〕2-3〔a+2〕-4≤2， 同理可得：-4≤a≤4，

35255539325 18

故a的取值范围为：-2≤a≤4；

〔3〕∵当∠BDC=∠MCE，△MDC为等腰三角形，

5

故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，那么点M为符合条件的点，

点H〔2，-2〕，

将点C、D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得： 直线CD的表达式为：y=-x-4，

同理可得：直线BD的表达式为：y=3x-3…①， 直线DC⊥MH，那么直线MH表达式中的k值为1， 同理可得直线HM的表达式为：y=x-5…②， 联立①②并解得：x=2， 故点M〔2，-2〕． 【解析】

〔1〕函数的对称轴为：x=-x1=-，x2=4，即可求解； 〔2〕分a≤a+2≤、

≤a≤a+2两种情况，分别求解即可；

==

，而且x2-x1=

，将上述两式联立并解得：

55552019〔3〕取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，那么点M为符合条件的点，即可求解．

此题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等，其中〔2〕，要注意分类求解，防止遗漏．

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